RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²) dx
हल:
दिया है ।

प्रश्न 2.
y' = \(\frac{x+y}{x}\)
हल:

प्रश्न 3.
(x - y) dy - (x + y) dx = 0
हल:
प्रश्नानुसार (x - y) dy - (x + y) dx = 0

प्रश्न 4.
(x² - y²) dx + 2xy dy = 0
हल:
प्रश्नानुसार (x² - y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 5.
x²\(\frac{d y}{d x}\) = x² - 2y² + xy
हल:
प्रश्नानुसार

प्रश्न 6.
x dy - y dx = \(\sqrt{x^2+y^2} \) dx
हल:
प्रश्नानुसार
x dy - y dx = \(\sqrt{x^2+y^2} \)dx

प्रश्न 7.
\(\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\}\) y dx = \(\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\}\) x dy
हल:
प्रश्नानुसार

या - log |cos x| - log |v| = 2 log |x| + log C'
या log (sec v) - log |v| = log |x²| + log C'

प्रश्न 8.
x\(\frac{d y}{d x}\) - y + x sin\(\frac{y}{x}\) = 0
अथवा
निम्नलिखित अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए
x\(\frac{d y}{d x}\) - y + x sin \(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0
दिया गया है कि जब x = 2 है तो y = π
हल:

या log (cosec v - cot v) = - log |x| + log C
या log (cosec v - cot v) + log |x| = log C
या log |x (cosec v - cot v)| = log C
⇒ x (cosec v - cot v) = C

प्रश्न 9.
y dx + x log \(\left(\frac{y}{x}\right)\) dy - 2x dy = 0
हल:
प्रश्नानुसार
y dx + x log \(\left(\frac{y}{x}\right)\) dy - 2x dy = 0

⇒ λ⁰ f(x, y)
⇒ f(λx, λy) = λ⁰ f(x, y)
∴ f(x, y), 0 घात का समघातीय समीकरण है।
अब y = vx रखने पर

या - log |v| + log |log v - 1| = log |x| + log C
या log |log v - 1| = log v + log x + log C
= log |C vx|
या log v- 1 = C vx
या log v = 1 + C vx

प्रश्न 10.
\(\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right)\) dx + \(e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)\) dy = 0
हल:

11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 11.
(x + y) dy + (x-y) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
प्रश्नानुसार
(x + y) dy + (x - y) dx = 0

प्रश्न 12.
x² dy + (xy + y²) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
प्रश्नानुसार x² dy + (xy + y²) dx = 0

प्रश्न 13.
[x sin²\(\left(\frac{y}{x}\right)\) - y] dx + x dy = 0; y = \(\frac{\pi}{4}\) यदि x = 1
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}\) + cosec\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0; y = 0 यदि x = 1
हल:

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
∫sin v dv = - ∫\(\frac{d x}{x}\)
या - cos v = - log |x| + log C
या cos v = log |x| - C
या cos \(\frac{y}{x}\) = log |x| - C
x = 1, y = 0 रखने पर,
1 = 0 - C
C = - 1
या - C = 1
अतः अभीष्ट हल

प्रश्न 15.
2xy + y² - 2x² \(\frac{d y}{d x}\) = 0; y = 2 यदि x = 1
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण

प्रश्न 16.
\(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौनसा प्रतिस्थापन किया जाता है-
(A) y = vx
(B) v = yx
(C) x = vy
(D) x = v
उत्तर:
(C) x = vy

हल:
\(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) समघात अवकल समीकरण इसलिये x = vy
प्रतिस्थापन करना होगा।
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 17.
निम्नलिखित में से कौनसा समघातीय अवकल समीकरण है ?
(A) (4x + 6y + 5) dy - (3y + 2x + 4) dx = 0
(B) (xy) dx - (x³ + y³)dy = 0
(C) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0
(D) y² dx + (x² - xy - y²) dy = 0
उत्तर:
(D) y² dx + (x² - xy - y²) dy = 0

हल:
y²dx + (x² - xy - y²)dy = 0
⇒ y² dx = -(x² - xy - y²)dy