RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.4

प्रश्नाव 1 से 10 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल:
दिया है \(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
चरों को अलग-अलग करते हुये समाकलन करने पर

प्रश्न 2.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\sqrt{4-y^2}\) (- 2 < y < 2)
हल:

समाकलन करने पर
sin^-1 \(\frac{y}{2}\) = x + C या y = 2 sin (x + C)
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
\(\frac{d y}{d x}\) + y = 1 (y ≠ 1)
हल:

समाकलन करने पर
- log (1 - y) = x + log C
या x = - log (1 - y) - log C
या - x = log C (1 - y)
∴ C(1 - y) = e^-x

प्रश्न 4.
sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
हल:
दिया है sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
tan x tan y का भाग देने पर
\(\frac{\sec ^2 x}{\tan x}\) d x + \(\frac{\sec ^2 y}{\tan y}\) d y = 0
दोनों पक्षों को समाकलित करने पर
∫\(\frac{\sec ^2 x}{\tan x}\) dx + ∫\(\frac{\sec ^2 y}{\tan x}\) dy = ∫0 dx
log |tan x| + log |tan y| = log C
या log |tan x tan y| = log C
या tan x tan y = C
x, y ∈ R - {\(\frac{\pi}{2}\) का विषम गुणांक}
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
(e^x + e^-x)dy - (e^x - e^-x) dx = 0
हल:
दिया है (e^x + e^-x)dy - (e^x - e^-x) dx = 0
या (e^x + e^-x)dy = (e^x - e^-x) dx
∴ dy = \(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) dx
या ∫dy = ∫\(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) dx
समाकलन करने पर
y = log (e^x + e^-x) + c
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 6.
\(\frac{d y}{d x}\) = (1 + x²) (1 + y²)
हल:

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.
y log y dx - x dy = 0
हल:
दिया है y log y dx - x dy = 0
या y log y dx = x dy

या y = e^Cx
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.
x⁵ \(\frac{d y}{d x}\) = - y⁵
हल:

⇒ x^-4 + y^-4 = C
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 9.
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1x dx
हल:
दिया है

y = x sin^-1 x + √t + C
y = x sin^-1 x + \(\sqrt{1-x^2}\) + C
यही अभीष्ट हल है। उत्तर

प्रश्न 10.
e^x tan y dx + (1 - e^x) sec² y dy = 0
हल:
दिया है e^x tan y dx + (1 - e^x) sec² y dy = 0
(1 - e^x) tan y से भाग देने पर

I₁ एवं I₂ के मान (i) में रखने पर
- log |(1 - e^x) + log |tan y| = log |C|
∵ ∫o.dx = नियतांक = log|C |
∴ log tan y = log |(1 - e^x)] + log |C| = log |C (1 - e^x)|
∴ tan y = C (1 - e^x)
यही अभीष्ट हल है।

11 से 14 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 11.
(x³ + x² + x + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x y = 1 यदि x = 0
हल:
प्रश्नानुसार (x³ + x² + x + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x

∴ 2x² + x = A(x² + 1) + (Bx + C) (x + 1)
= A(x² + 1) + B(x² + x) + C(x + 1)
यहाँ x = - 1 रखने पर,
2 - 1 = A(1 + 1) ∴ A = \(\frac{1}{2}\)
x² के गुणांकों की तुलना करने पर
2 = A + B
∴ B = 2 - A = 2 - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{2}\)
तथा x के गुणांकों की तुलना करने पर
1 = B + C

प्रश्न 12.
x(x² - 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1; y = 0 यदि x = 2
हल:
प्रश्नानुसार

प्रश्न 13.
cos\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = a (a ∈ R); y = 1 यदि x = 0
हल:
प्रश्नानुसार
cos\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = a ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = cos^-1 a
या dy = (cos^-1 a) dx
समाकलन करने पर ∫ dy = cos^-1 a ∫dx
∴ y = x cos^-1 a + C
x = 0, y = 1 रखने पर, 1 = 0 + C ∴ C = 1
∴ अभीष्ट हल है
y = x cos^-1a + 1 या cos \(\frac{y-1}{x}\) = a

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}\) = y tan x; y = 1 यदि x = 0
हल:
प्रश्नानुसार
\(\frac{d y}{d x}\) = y tan x या \(\frac{1}{y}\) dy = tan x dx
समाकलन करने पर
∫ \(\frac{1}{y}\) dy = ∫ tan x dx
log |y| = - log |cos x| + C
x = 0 तथा y = 1 रखने पर
log 1 = - log cos 0 + C ⇒ C = 0
∴ log y = - log cos x = log sec x
∴ y = sec x अभीष्ट हल है।

प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए. जिसका अवकल समीकरण y' = e^x sin x है।
हल:
दिया है y' = e^x या sin x 2 = et sin x
dy = e^x sin x dx
∴ ∫ dy = ∫ e^x sin x dx
या y = ∫e^x sin x dx + c ....... (i)
माना कि I = ∫e^x sin x dx
e^x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
I = e^x(- cos x) - ∫e^x (- cos x) dx
= - e^x cos x + [e^x(cos x)dx
∫e^x cos x dx का खण्डशः समाकलन करने पर
1 = - e^x cos x + e^x sin x - ∫e^x sin x dx
= - e^x cos x + e^x sin x - I
∴ 2I = - e^x cos x + e^x sin x
या I = \(\frac{1}{2}\)e^x (- cos x + sin x)
I का मान (i) में रखने पर
y = \(\frac{1}{2}\)e^x (- cos x + sin x) + C
x = 0, y = 0 रखने पर
0 = - \(\frac{1}{2}\) × 1 + C ∴ C = \(\frac{1}{2}\)
इसलिये समीकरण का अभीष्ट हल होगा
y = \(\frac{1}{2}\)e^x ( - cos x + sin x) + \(\frac{1}{2}\)
y = \(\frac{1}{2}\){2}e^x (sin x - cos x) + \(\frac{1}{2}\)
या 2y - 1 = e^x (sin x - cos x)

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण xy \(\frac{d y}{d x}\) = (x + 2) (y + 2) के लिए बिन्दु (1, - 1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है

∴ y - 2 log |(y + 2)| = x + 2 log |x| + C ...... (i)
यह वक्र (1 - 1) से गुजरता है अतः
- 1 - 2 log 1 = 1 + 2 log 1 + C
∴ C = - 2
(i) में C का मान रखने पर
y - 2 log |(y + 2) = x + 2 log |x| - 2
y = 2 log |(y + 2) + x + 2 log |x| - 2
= 2 (log |(y + 2) + log |x|) + x - 2
दिए हुए अवकल समीकरण का हल
y = x + 2 log x (y + 2) - 2
या y - x + 2 = log [x² (y + 2)²]

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, - 2) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
हल:
वक्र के बिन्दु (x, y) पर प्रवणता = \(\frac{d y}{d x}\)
∴ प्रश्नानुसार y\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = x
या y dy = x dx
समाकलन करने पर ∫y dy = ∫x dx + c
या \(\frac{y^2}{2}\) = \(\frac{x^2}{2}\) + c
या y² = x² + 2C .....(i)
चूँकि वक्र (0, -2) से गुजरता है, अतः 4 = 0 + 2C
∴ C = 2
C का मान (i) में रखने पर अवकल समीकरण का हल
y = x² + 4 या y² - x² = 4

प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता स्पर्श बिन्दु को, बिन्दु (-4, -3) से मिलाने वाले रेखाखण्ड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (-2, 1) से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा की प्रवणता = \(\frac{d y}{d x}\)
बिन्दु (x, y) एवं (- 4, - 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड की प्रवणता

∴ log |y + 3| = 2 log |x + 4| + C ...... (i)
अब x = - 2, y = 1 रखने पर
log 4 = 2 log 2+C
log 4 = log 4+ C ⇒ C = 0
C का यह मान (i) में रखने पर
log |y + 3| = log |x + 4|²
'अतः अभीष्ट हल है
y + 3 = (x + 4)²

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भर कर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है तो 1 सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना किसी समय पर गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन v है।

समीकरण (ii) में k का मान रखने पर
\(\frac{4}{3}\)πr³ = 84π t + 36π
या πr³ = 63πt + 27π
अभीष्ट समीकरण r³ = 63t + 27
या r = (63t + 27)^1/3

प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रुपये 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं तो r का मान ज्ञात कीजिए।
(log_e2 = 0.6931)
हल:
माना किसी समय पर मूलधन P है एवं दर r है

प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में Rs. 1000 जमा कराए जाते हैं । ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? (e^0.5 = 1.648)
हल:
माना कि मूलधन P रु. है। ब्याज की दर 5% वार्षिक है
अतः प्रश्नानुसार

⇒ P = Ce^{0.05 t}
जब t = 0, तथा P = 1000 तो (j) से
∴ 1000 = Ce⁰ ∴ C = 1000
∴ (i) से P = 1000 × e^0.05t
जब 1 = 10 वर्ष, P = 1000 × e^{0.05 × 10}
= 1000 × e^0.5
= 1000 × 1.648 = 1648
अर्थात् 10 वर्षों में 100 रु. 1648 रु, हो जाएँगे।

प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घण्टों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी। यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
हल:
माना कि किसी समय 1 पर जीवाणुओं की संख्या y है।

प्रश्न 23.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = e^{x + y} का व्यापक हल है-
(A) e^x + e^-y = c
(B) e^x + e^y = c
(C) e^-x + e^y = c
(D) e^-x + e^-y = c
उत्तर:
(A) e^x + e^-y = c

हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x + y} = e^x e^y
⇒ \(\frac{d y}{e^y}\) = e^x dx या e^-y dy = e^x dx
∴ ∫e^-y dy = ∫e^x dx
⇒ - e^-y = e^x + c
या e^x + e^-y = c
अतः सही विकल्प (A) है।