RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 1.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
हल:

यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 2.
y² = a (b² - x²)
हल:
दिया है
y² = a (b² - x²)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

⇒ xy y'' + x (y')² - y' y = 0
यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 3.
y = ae^3x + b e^-2x
हल:
दिया है y = ae^3x + b e^-2x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = 3a e^3x - 2b e^-2x
पुनःx के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 9a e^3x + 4b e^-2x
समीकरण (i) को 2 से गुणा करके (ii) में जोड़ने पर

यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 4.
y = e^2x (a + bx)
हल:
दिया है y = e^2x (a + bx) = ae^2x + bx e^2x ...... (i)
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = 2 e^2x (a + bx) + e^2x (b)
= 2 a e^2x + (2bx + b) e^2x ...... (ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करके (ii) में से घटाने पर
\(\frac{d y}{d x}\) - 2y = b e^2x ......... (iii)
इसका अवकलन करने पर

यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 5.
y = e^x (a cos x + b sin x)
हल:
दिया है y = e^x (a cos x + b sin x) ....... (i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x (a cos x + b sin x) + e^x(- a sin x + b cos x)
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = e^x [(a + b) cos x - (a - b) sin x] .......(ii)
पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = e^x [(a + b) cos x - (a - b) sin x] + e^x [- (a + b) sin x - (a - b) cos x]
= e^x (2b cos x - 2a sin x)
= 2e^x (b cos x - a sin x)
\(\frac{\frac{d^2 y}{d x^2}}{2}\) = e^x (b cos x – a sin x) ......(iii)
समीकरण (i) और (iii) को जोड़ने पर

यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 6.
y-अक्ष को मूल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
ऐसे वृत्त का समीकरण जोर-अक्ष पर मूल बिन्दु पर स्पर्श करता है और जिसकी त्रिज्या a हो
उसका समीकरण होगा (x - a)² + y² = a²
या x² + y² - 2a x = 0 ........ (i)

r के सापेक्ष अवकलन करने पर .
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) - 2a = 0
∴ a = x + y\(\frac{d y}{d x}\)
a का मान समीकरण (i) में रखने पर
x² + y² - 2x(x + y\(\frac{d y}{d x}\)) = 0
x² + y² - 2xy\(\frac{d y}{d x}\) = 0
या 2xy\(\frac{d y}{d x}\) + x² - y² = 0
⇒ 2xy y' + x² = y²

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिन्दु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y-अक्ष की दिशा में है।
हल:
ऐसा परवलय जिसका समीकरण का शीर्ष (0, 0) है तथा अक्ष OY है, का समीकरण
x² = 4ay ......... (i)

यहाँ a स्वेच्छ अचर है
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

⇒ xy' - 2y = 0 यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
यदि a > b तो ऐसे दीर्घ वृत्त कुल का समीकरण जिसकी नाभियाँ y
अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र (0, 0) है।
\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 ....... (i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

या - x (y'² + y y'') + y y' = 0
या - x y'² - xy y" + y y" = 0
अभीष्ट अवकल समीकरण
xy y" + x(y')² - yy' = 0

प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का समीकरण जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा केन्द्र मूल बिन्दु पर है,

या x (y'² + yy') - yy' = 0
= xy'² + xy y" - y y' = 0
∴ अभीष्ट अवकल समीकरण
xy y" + x (y')² - yy' = 0

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल:
माना कि ऐसे वृत्त का केन्द्र (0, b)
वृत्तों के कुल का समीकरण x² + (y - b)² = 9 ........ (i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2x + 2 (y - b)y' = 0
या y - b = - \(\frac{x}{y^{\prime}}\)
इसका मान समीकरण (i) में रखने से
x² + \(\left(-\frac{x}{y^{\prime}}\right)^2\) = 9
या x² y'² + x² = 9y²
या (x² - 9) y'² + x² = 0
∴ अभीष्ट अवकल समीकरण
(x² - 9) (y')² + x² = 0

प्रश्न 11.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल y = c₁ e^x + c₂ e^-x है :
(A) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + y = 0
(B) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - y = 0
(C) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 1 = 0
(D) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - 1 = 0
उत्तर:
(B) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - y = 0

हल:
y = c₁ e^x + c₂ e^-x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = c₁e^x - c₂e^-x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = c₁e^x + c₂e^-x = y
⇒ \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - y = 0
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y = x है?
(A) \(\frac{d^2 y}{d x^2}-x^2 \frac{d y}{d x}\) + xy = x
(B) \(\frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}\) + xy = x
(C) \(\frac{d^2 y}{d x^2}-x^2 \frac{d y}{d x}\) + xy = 0
(D) \(\frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}\) + xy = 0
उत्तर:
(C) \(\frac{d^2 y}{d x^2}-x^2 \frac{d y}{d x}\) + xy = 0

हल:

अतः सही विकल्प (C) है।