RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.2

 Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.2

1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:

प्रश्न 1.
y = e^x + 1 : y" - y' = 0
हल:
दिया है y = e^x + 1 तथा अवकल समीकरण
y" - y' = 0
अवकलन करने पर y' = e^x ........ (i)
पुनः अवकलन करने पर y'' = e^x .......(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
y" - y' = e^x - e^x = 0
या y" - y' = 0
अतः y = e^x + 1
अवकल समीकरण y" - y' = 0 का हल है।

प्रश्न 2.
y = x² + 2x + C : y' - 2x - 2 = 0
हल:
दिया गया फलन
y = x² + 2x + C
तथा अवकल समीकरण y' - 2x - 2 = 0
y = x² + 2x + C का अवकलन करने पर
y' = 2x + 2
या y' - 2x - 2 = 0
अतः y = x² + 2x + C, अवकल समीकरण रल
y' - 2x - 2 = 0 का हल है।

प्रश्न 3.
y = cos x + C : y' + sin x = 0
हल:
दिया गया फलन
y = cos x + C तथा
अवकल समीकरण y' + sin x = 0
y = cos x + C का अवकलन करने पर
y' = \(\frac{d y}{d x}\) = - sin x
या y' + sin x = 0
अतः y = cos x + C, अवकल समीकरण
y' + sin x = 0 का हल है।

प्रश्न 4.
y = \(\sqrt{1+x^2}\): y' = \(\frac{x y}{1+x^2}\)
हल:
दिया गया फलन

प्रश्न 5.
y = Ax : xy' = y (x ≠ 0)
हल:
दिया गया फलन
y = Ax तथा अवकल समीकरण xy' = y (x ≠ 0)
y = Ax का अवकलन करने पर
y' = A परन्तु A = \(\frac{y}{x}\)
A का मान रखने पर
y' = \(\frac{y}{x}\)
∴ xy' = y
अत: xy' = y (x ≠ 0) का हल y = Ax है।

प्रश्न 6.
y = x sin x : xy' = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\) (x ≠ 0 और x > y अथवा x < - y) हल: दिया गया फलन y = x sin x तथा अवकल समीकरण x y' = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\), x ≠ 0 और x > y अथवा x < - y
अब y = x sin x का अवकलन करने पर
y' = 1 . sin x + x . cos x
y' = sin x + x cos x ...... (i)
∵ समीकरण
y = x sin x
अतः sin x = \(\frac{y}{x}\) एवं cos x = \(\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{x}\)
sin x व cos x का मान (i) में रखने पर

प्रश्न 7.
xy = log y + C : y' = \(\frac{y^2}{1-x y}\) (xy ≠ 1)
हल:
दिया गया फलन
xy = logy + C तथा अवकल समीकरण .
y' = \(\frac{y^2}{1-x \cdot y}\) (xy ≠ 1)
अब xy = logy + C का अवकलन करने पर
अब
1. y + xy' = \(\frac{1}{y}\) × y'
y से गुणा करने पर
y² + xy y' = y'
या y² = y' - xy y' = y' (1 - xy)
∴ y' = \(\frac{y^2}{-x y}\)
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल xy = log y + C

प्रश्न 8.
y - cos y = x : (y sin y + cos y + x) y' = y
हल:
दिया गया फलन y - cos y = x : तथा
अवकल समीकरण (y sin x + cos y + x) y' = y
y - cos y = x का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y' + (sin y) y' = 1
या (1 + sin y)y' = 1
y से गुणा करने पर (y + y sin y) y' = y
y - cos y = x से y का मान रखने पर
(x + cos y + y sin y) y' = y
अतः (y sin y + cos y + x) y' = y
इस अवकल समीकरण का हल y - cos y = x है।

प्रश्न 9.
x + y = tan^-1 y : y²y' + y² + 1 = 0
हल:
दिया गया फलन x + y = tan^-1 y
तथा अवकल समीकरण
y²y' + y² + 1 = 0
x + y = tan^-1 y का x के सापेक्ष
अवकलन करने पर
1 + y' = \(\frac{1}{1+y^2}\) × y
1 + y²से गुणा करने से
1 + y² + y' (1 + y²) = y'
या 1 + y² + y' + y'y² = y
या 1 + y² + y'y² = 0
अतः अवकल समीकरण y²y' + y² + 1 = 0 का हल x + y = tan^-1 y है।

प्रश्न 10.
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\), x ∈ (- a, a): x + y\(\frac{d y}{d x}\) = 0 (y ≠ 0)
हल:
दिया गया फलन
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\) तथा अवकल समीकरण
x + y\(\frac{d y}{d x}\) = 0
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\) का वर्ग करने पर
y² = a² - x² या x² + y² = a²
x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2x + 2y y' = 0
या x + yy' = 0
अतः x + yy' = 0 का हल y = \(\sqrt{a^2-x^2}\) है।

प्रश्न 11.
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(A) 0
(B) 2
(C)3
(D) 4
उत्तर:
(D) 4

हल:
चार कोटि वाले अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या 4 होगी।
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 12.
तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
उत्तर:
(D) 0

हल:
तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या शून्य होगी। चूँकि विशिष्ट हल में कोई भी स्वेच्छ अचर नहीं आता है।
अतः सही विकल्प (D) है।