RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवंघात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
\(\frac{d^4 y}{d x^4}\) + sin (y''') = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन \(\frac{d^4 y}{d x^4}\) है। इसलिए इसकी कोटि 4 है। इस समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलनों में बहुपद नहीं है इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2.
y' + 5y = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन \(\frac{d y}{d x}\) है। इसलिए इसकी कोटि 1 है। यह y' में बहुपद समीकरण है एवं \(\frac{d y}{d x}\) की अधिकतम घातांक 1 है। इसलिए अवकल समीकरण की घात भी 1 होगी।

प्रश्न 3.
\(\left(\frac{d s}{d t}\right)^4\) + 3s\(\frac{d^2 s}{d t^2}\) = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन \(\frac{d^2 s}{d t^2}\) है। इसलिए इसकी कोटि 2 है। यह अवकल समीकरण \(\frac{d^2 s}{d t^2}\) एवं \(\frac{d s}{d t}\) में बहुपद समीकरण हैं तथा \(\frac{d^2 s}{d t^2}\) की अधिकतम घातांक 1 है। अतः इस अवकल समीकरण की घात = 1.

प्रश्न 4.
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\) + cos\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है। इसलिए इसकी कोटि = 2 तथा इस समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलनों में बहुपद नहीं है, इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 5.
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = cos 3x + sin 3x
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है। इसलिए इसकी कोटि = 2 तथा यह अवकल समीकरण \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) में बहुपद समीकरण है एवं \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) की अधिकतम घातांक 1 है अतः इस अवकल समीकरण की घात = 1.

प्रश्न 6.
(y''')² + (y'')³ + (y')⁴ + y⁵ = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन y'" है
अतः इसकी कोटि=3 तथा y"' की घातांक 2 है इसलिए इस अवकल समीकरण की घात = 2.

प्रश्न 7.
y"' + 2y" + y' = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन y"' है।
इसलिए इसकी कोटि = 3 तथा चूँकि y'" की घातांक 1 है अतः इस अवकल समीकरण की घात = 1.

प्रश्न 8.
y' + y = e^x
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन y' है। इसलिए इसकी कोटि 1 है तथा चूँकि y' की घातांक 1 है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात = 1.

प्रश्न 9.
y" + (y')² + 2y = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन y" है।
इसलिए इसकी कोटि 2 है तथा चूँकि y" की घातांक 1 है। अतः इस अवकल समीकरण की घात = 1.

प्रश्न 10.
y" + 2y' + sin y = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन y'' है।
इसलिए इसकी कोटि 2 है तथा चूँकि y" की घातांक 1 है। अतः इस अवकल समीकरण की घात = 1.

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण \(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + sin\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) + 1 = 0 की घात है-
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) परिभाषित नहीं है
उत्तर:
(D) परिभाषित नहीं है

हल:
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + sin\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) + 1 = 0
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है एवं यह समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) में बहुपदीय नहीं है अत: इसकी कोटि 2 है एवं इसकी घात परिभाषित नहीं है अर्थात् सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण 2x²\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - 3\(\frac{d y}{d x}\) + y = 0 की कोटि है
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) परिभाषित नहीं है

उत्तर:
(A) 2

हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है एवं \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) की अधिकतम घातांक इकाई है एवं अवकल समीकरण की कोटि = 2 एवं घात = 1 है अर्थात् सही विकल्प (A) है।