RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.1

प्रश्न 1.
वक्र y = x, रेखाओं x = 1, x = 4 एवंx-अक्ष से घिरे क्षेत्र का प्रथम पाद में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र y = x, x-अक्ष के सममित है। इसका शीर्ष 0 मूल बिन्दु है।

अब y² = x ∴ y = √x
क्षेत्र जो x = 1, x = 4, x-अक्ष तथा वक्रों से घिरा हुआ है, का अभीष्ट

प्रश्न 2.
प्रथम चतुर्थांश में वक्र y² = 9x, x = 2, x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y² = 9x एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) है।
वक्र x-अक्ष के सममित है।

क्षेत्र जो वक्र y² = 9x, x = 2, x = 4 तथा x-अक्ष से घिरा है।
y² = 9x .
y = \(\sqrt{9x}\) = 3√x

∴ क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 3.
प्रथम चतुर्थांश में x² = 4y, y = 2, y = 4 एवं y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x² = 4y एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) है । अक्ष y-अक्ष तथा यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्र जो y-अक्ष y = 2, y = 4 तथा वक्र x² = 4y; या x = 2√y से घिरा है।

प्रश्न 4.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1 घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1 एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। यह दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है क्योंकि समीकरण में x तथा y की समघात है।

दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1 का क्षेत्रफल = 4 × OAC का क्षेत्रफल
[∵ दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के प्रति सममित है।]

प्रश्न 5.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\) = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार दिया गया समीकरण \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\) = 1 है
जो कि दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है।

इस दीर्घवृत्त का केन्द्र (0, 0) है। अर्ध दीर्घ अक्ष की लम्बाई 3 और अर्ध लघु अक्ष की लम्बाई 2 है।
अतः दीर्घवृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल
= 4 × AOB का क्षेत्रफल

प्रश्न 6.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4, रेखा x = √3y एवं x-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
x² + y² = 4 = (2)² जो कि एक वृत्त है जिसका केन्द्र (0,0) और त्रिज्या 2 के समान है।
x = √3y एक रेखा है

इसलिये y = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)x यह रेखा मूल बिन्दु से गुजरती है जिसका प्रतिच्छेद बिन्दु Q है।
रेखा y = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)x एवं वृत्त x² + y² = 4 को हल करने पर

इसलिए रेखा व वृत्त का प्रतिच्छेद बिन्दु (√3,1) है।
क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल OQP + क्षेत्रफल PQA

प्रश्न 7.
छेदक रेखा x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) द्वारा वृत्त x² + y² = a² के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार वक्र के समीकरण x² + y² = a² .....(i)
और x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
स्पष्ट है समीकरण (i), एक वृत्त को निरूपित करती है और (ii) yअक्ष के समान्तर x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) मात्रक दूरी पर इसके दायीं ओर एक सरल रेखा स्थित है।

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर,

प्रश्न 8.
यदि वक्र x = y² एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x=a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है तो का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x = y² एक परवलय का समीकरण है, जिसका शीर्ष (0, 0) है और y = 0 इसका अक्ष है जिसके सापेक्ष परवलय सममित है।

x = 4 सरल रेखा है जो y-अक्ष से 4 इकाई की दूरी पर है।

प्रश्न 9.
परवलय y = x² एवं y = |x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया हुआ है

तथा y = x² ....(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को हल करने पर
y = x², y = x और y = -x
x² =x ∴ x² - x = 0
x (x - 1) = 0
x = 0,1

इसी तरह से
x² = -x
x² + x = 0
x(x + 1) = 0 ∴ x = 0, -1
अतः समीकरण (i) तथा (ii) का हल
x = 0 एवं x = ±1

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 10.
वक्र x² = 4y एवं रेखा x = 4y - 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया वक्र x² = 4y ...........(i)
तथा रेखा का समीकरण x = 4y - 2 .....(ii)

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर,
या (4y - 2)² = 4y
या 16y² - 16y + 4 = 4y
या 16y² - 20y + 4 = 0
या 4y² - 5y + 1 = 0 .
या (4y - 1) (y - 1) = 0
y = \(\frac{1}{4}\), 1

अब समीकरण (ii) से, जब y = \(\frac{1}{4}\), x = 1 - 2 = - 1
तथा यदि जब y = 1,x = 4 - 2 = 2
A(-1, \(\frac{1}{4}\)) और B(2, 1), (i) और (ii) के प्रतिच्छेदन बिन्दु हैं। स्पष्टतया आकृति में छायांकित भाग AOBDA अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल है।

प्रश्न 11.
वक्र y² = 4x एवं रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = 4x, एक परवलय का समीकरण है जिसका शीर्ष (0, 0) है और
OX इसका अक्ष है जिसमें सापेक्ष परवलय सममित है।
प्रश्न में x=3 एक सरल रेखा है जो y-अक्ष के समान्तर 3 इकाई दूरी पर है।

प्रश्न 12 एवं 13 में सही उत्तर का चयन कीजिए :

प्रश्न 12.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखाओं x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(A) π
(B) \(\frac{\pi}{2}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{\pi}{4}\)
हल:
(A) π

= वर्ग इकाई
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 13.
वक्र y = 4x, y-अक्ष एवं रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(A) 2
(B) \(\frac{9}{4}\)
(C) \(\frac{9}{3}\)
(D) \(\frac{9}{2}\)
हल:
(B) \(\frac{9}{4}\)

अतः सही विकल्प (B) है।