RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.6

1 से 22 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.
x sin x
हल:
माना कि I = ∫x sin x dx
∵∫uv dx = u∫v dx - ∫(\(\frac{d u}{d x}\)∫v dx) dx
अतः = x एवं y = sin x रखने पर

x∫sin x dx - ∫[(\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) x) ∫sin x dx] dx
(ILATE के अनुसार)
= x (- cos x) - ∫1(- cos x) dx
= - x cos x + sin x + C

प्रश्न 2.
x sin 3x
हल:
माना कि I = ∫x sin 3x dx
∵∫uv dx = u∫v dx - ∫(\(\frac{d u}{d x}\)∫v dx) dx
अतः u = x एवं y = 3x रखने पर

प्रश्न 3.
x² e^x
हल:
माना कि

(ILATE के अनुसार)
∵∫uv dx = u∫v dx - ∫(\(\frac{d u}{d x}\)∫v dx) dx
अतः u = x² एवं y = e^x रखने पर
∴ I = x² ∫e^x dx - ∫(\(\frac{d}{d x}\) x² ∫e^x dx) dx
= x² e^x - ∫2x e^x dx = x²e^x - 2 ∫x e^x dx
पुनः खण्डशः समाकलन करने पर
I = x² e^x - 2 [x. ∫e^x dx - ∫(1.∫e^x dx) dx]
= x² e^x - 2[x e^x dx]
= x²e^x - 2xe^x + 2e^x + C
= e^x (x² - 2x + 2) + C

प्रश्न 4.
x log x
हल:

प्रश्न 5.
x log 2x
हल:

प्रश्न 6.
x² log x
हल:
माना कि

प्रश्न 7.
x sin^-1 x
हल:
माना कि

(ILATE के अनुसार)
sin^-1 x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर

प्रश्न 8.
x tan^-1 x
हल:

प्रश्न 9.
x cos^-1 x
हल:
माना कि

प्रश्न 10.
(sin^-1 x)²
हल:
माना कि I = ∫(sin^-1 x)² dx
यहाँ sin^-1 x = θ रखने पर ∴ x = sin θ, dx = cos θ dθ

θ² को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर

पुनः खण्डशः समाकलन करने पर
I = θ² sin θ - 2[θ(- cos θ) - ∫1.(- cos θ) dθ]
= θ² sin θ + 2θ cos θ - 2∫cos θ dθ
= θ² sin θ + 2θ cos θ - 2 sin θ + C
= θ² sin θ + 2θ \(\sqrt{1-\sin ^2 \theta}\) - 2 sin θ + C
sine = x या θ = sin^-1 x रखने पर
I = x (sin^-1 x)² + 2\(\sqrt{1-x^2}\) (sin^-1 x) - 2x + C
= (sin^-1 x)² x + 2\(\sqrt{1-x^2}\) sin^-1 x - 2x + C

प्रश्न 11.
\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
हल:
माना कि

प्रश्न 12.
x sec² x
हल:
माना कि

(ILATE के अनुसार)
x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
I = x tan x - ∫1.tan x dx = x tan x + log | cos x| + C

प्रश्न 13.
tan^-1 x
हल:

प्रश्न 14.
x (log x)²
हल:

(log x)² को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर

पुनः log x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर

प्रश्न 15.
(x² + 1) log x
हल:

प्रश्न 16.
e^x (sin x + cos x)
हल:
माना कि
I = ∫e^x (sin x + cos x) dx

= sin x e^x - ∫cos x . e^x dx + ∫e^x cos x dx
I = sin x . e^x + C

अन्य विधिमाना
माना I = ∫e^x (sin x + cos x) dx
यदि f(x) = sin x
f'(x) = cos x
तब I = ∫e^x {f(x) + f'(x)}dx
= e^x f(x) + C
= e^x sin x + C

प्रश्न 17.
\(\frac{x e^x}{(1+x)^2}\)
हल:
माना कि

प्रश्न 18.
\(e^x\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\)
हल:
माना कि

प्रश्न 19.
\(e^x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3}\)
हल:

प्रश्न 21.
e^2x sin x
हल:
माना कि

(ILATE के अनुसार)
e^x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
I = e^2x (- cos x) - ∫2e^2x (- cos x) dx

पुनः खण्डशः समाकलन करने पर
I = - e^2x cos x + 2 [e^2x sin x - ∫2e^2x sin x dx]
= - e^2x cos x + 2e^2x sin x - 4 ∫e^2x sin x dx
I = - e^2x cos x + 2e^2x sin x - 4I
5I = e^2x . 2 sin x - e^2x cos x
∴ I = \(\frac{1}{5}\)e^2x (2 sin x - cos x) + C

प्रश्न 22.
sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
हल:
माना कि

प्रश्न 23 व 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए

प्रश्न 23.
∫x² e^x3 dx बराबर है
(A) \(\frac{1}{3}\) e^x3 + c
(B) \(\frac{1}{3}\) e^x2 + c
(C) \(\frac{1}{2}\) e^x3 + c
(D) \(\frac{1}{2}\) e^x2 + c
उत्तर:
(A) \(\frac{1}{3}\) e^x3 + c

हल:
∫x² e^x3 dx
माना (Put) x³ = 1, 3x² dx = dt
∴ x² dx = \(\frac{1}{3}\)dt

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 24.
∫e^x sec x (1 + tan x) dx बराबर है
(A) e^x cos x + C
(B) e^x sec x + C
(C) e^x sin x + C
(D) e^x tan x + C
उत्तर:
(B) e^x sec x + C

हल:
माना I = ∫e^x sec x(1 + tan x)dx

= sec x.e^x - ∫sec x tan x.e^x dx + ∫e^x sec x tan dx
= e^x sec x + C
अतः सही विकल्प (B) है।