RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.3

1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
sin² (2x + 5)
हल:

प्रश्न 2.
sin 3x cos 4x
हल:

प्रश्न 3.
cos 2x cos 4x cos 6x
हल:
I = ∫cos 2x cos 4x cos 6x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫(2 cos 4x cos 2x) cos 6x dx
[∵ 2 cos A cos B = cos(A + B) - cos(A - B)]

प्रश्न 4.
sin³ (2x + 1)
हल:
माना I = ∫sin³ (2x + 1) dx

प्रश्न 5.
sin³ x cos³ x
हल:
माना I = ∫sin³ x cos³ x dx
= ∫(1 - cos² x)cos³ x sin x dx
यहाँ cos x = t रखने पर, - sin x dx = dt
I = -∫(1 - t²)t³ dt = - ∫(t³ - t⁵)dt
= - \(\frac{t^4}{4}\) + \(\frac{t^6}{6}\) + C
= \(\frac{1}{6}\) cos⁶ x - \(\frac{1}{4}\) cos ⁴ x + C

प्रश्न 6.
sin x sin 2x sin 3x
हल:

प्रश्न 7.
sin 4x sin 8x
हल:
माना I = ∫sin 4x sin 8x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫(2 sin 8x sin 4x) dx
[∵ 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)]

प्रश्न 8.
\(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 10.
sin⁴ x
हल:
माना I = ∫sin⁴ x dx = ∫(sin² x)² dx

प्रश्न 11.
cos⁴ 2x
हल:

प्रश्न 12.
\(\frac{\sin ^2 x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}\)
हल:
माना I = ∫\(\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}\) dx
हम जानते हैं कि 1 = cos² x + sin² x
और sin 2x = 2 cos x sin x

प्रश्न 15.
tan³ 2x sec 2x
हल:
माना I = ∫tan³ 2x sec 2x dx
= ∫tan² 2x.sec 2x tan 2x dx
= ∫ (sec² 2x - 1) sec 2x tan 2x dx
यहाँ sec 2x = t रखने पर, ∴ 2 sec 2x tan 2x dx = dt

प्रश्न 16.
tan⁴ x
हल:
माना I = ∫tan⁴ x dx = ∫tan² x . tan² x dx
= ∫tan² x (sec² x - 1) dx
= ∫tan² x sec² x dx - ∫tan² x dx
= ∫tan² x sec² x dx - ∫(sec² x - 1) dx
अब tan x = 1 रखने पर sec² x dx = dt
∴ I = ∫t² dx - (tan x - x)
= \(\frac{t^3}{3}\) - tan x + x + c
= \(\frac{1}{3}\)tan³ x - tan x + x + C

प्रश्न 17.
\(\frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\)
हल:

= ∫sec x tan x dx + ∫cosec x cot x dx
I = sec x - cosec x + C

प्रश्न 18.
\(\frac{\cos 2 x+2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x}\)
हल:

प्रश्न 19.
\(\frac{1}{\sin x \cos ^3 x}\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2}\)
हल:

अब cos x + sin x = t रखने पर,
∴ (- sin x + cos x) dx = dt
∴ I = ∫\(\frac{d t}{t}\) = log|t| + C
= log |cos x + sin x| + C

प्रश्न 21.
sin^-1 (cos x)
हल:

प्रश्न 22.
\(\frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}\)
हल:

प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए-

प्रश्न 23.
∫\(\frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\) dx बराबर है
(A) tan x + cot x + C
(B) tan x + cosec x + C
(C) - tan x + cot x + C
(D) tan x + sec x + C
उत्तरः
(A) tan x + cot x + C

हल:

= ∫sec² x dx - ∫cosec² x dx
= tan x - {- cot x} + C
= tan x + cot x + C
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 24.
∫\(\frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(e^x x\right)}\) dx बराबर है
(A) - cot (e.x^x) + C
(B) tan (xe^x) + C
(C) tan (e^x) + C
(D) cot (e^x) + C
उत्तरः
(B) tan (xe^x) + C

हल:
∫\(\frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(e^x x\right)}\) dx
माना (Put) e^xx = t ⇒ (1 .e^x + xe^x) dx = dt
⇒ e^x (1 + x)dx = dt
∫\(\frac{d t}{\cos ^2 t}\) = ∫sec² t dt
= tan t + C
= tan(xe^x) + C
अतः सही विकल्प (B) है।