RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.11

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.11 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.11

निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए 1 से 19 हलतक के प्रश्नों में समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\) cos² x dx
हल:
माना कि

प्रश्न 2.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) dx
हल:
माना कि

प्रश्न 3.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}\) dx
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^5 x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\int_{-5}^5\) |x + 2| dx
हल:

प्रश्न 6.
\(\int_2^8\) |x - 5| dx
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_0^1\) x(1 - x)ⁿ dx
हल:
माना कि

प्रश्न 8.
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\) log(1 + tan x) dx
हल:
माना कि

प्रश्न 9.
\(\int_0^2 x\sqrt{2-x}\) dx
हल:
माना कि

प्रश्न 10.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\) (2 log sin x - log sin 2x) dx
हल:
माना कि

प्रश्न 11.
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) sin² x dx
हल:
माना कि

प्रश्न 12.
\(\int_0^\pi \frac{x d x}{1+\sin x}\)
हल:
माना कि

= π[0 - sec π - 0 + sec 0]
= π[1 + 1] = 2π
∴ I = π

प्रश्न 13.
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) sin⁷x dx
हल:
माना कि I = \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) sin⁷x dx
यहाँ f(x) = sin⁷ (- x)
= sin⁷ (-x) = - sin⁷ x = - f(x)
अर्थात् f एक विषम फलन है। अतः
I = 0
∴ [\(\int_{-a}^a\) f(x) dx = 0 जब f(x) विषम फलन हो]
∴ \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) sin⁷ x dx = 0

प्रश्न 14.
\(\int_0^{2 \pi}\) cos⁵ x dx
हल:
माना कि I = \(\int_0^{2 \pi}\) cos⁵ x dx
यादि f(x) = cos⁵ x, f(2π - π) = cos⁵ (2π - x)
= cos⁵ x = f(x)

प्रश्न 15.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x}\) dx
हल:

प्रश्न 16.
\(\int_0^\pi\) log(1 + cos x) dx
हल:

प्रश्न 17.
\(\int_0^a \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}}\) dx
हल:

प्रश्न 18.
\(\int_0^4\) |x - 1| dx
हल:
माना कि

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि \(\int_0^a\) f(x) g(x) dx = 2 \(\int_0^a\) f(x), यदि f और g को f(x) = f(a - x) एवं g(x) + g(a - x) = 4 के रूप में परिभाषित किया गया है।
हल:
माना कि I = \(\int_0^a\) f(x) g(x) dx ........ (1)
अब I = \(\int_0^a\) f(a - x) g(a - x) dx ......... (2)
[∵ \(\int_0^a\) f(x) dx = \(\int_0^a\) f(a - x) dx]
हमें दिया है f(a - x) = (x), g(x) + g(a - x) = 4
∴ g(a - x) = 4 - g(x)
(2) में f(a - x) व g(a - x) के मान रखने पर

प्रश्न 20 एवं 21 में सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 20.
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) (x³ + x cos x + tan⁵ x + 1) dx का मान है
(A) 0
(B) 2
(C) π
(D) 1
उत्तर:
(C) π

हल:
माना कि
I = \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) (x³ + x cos x + tan⁵ x + 1) dx
I = \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) (x³ + x cos x + tan⁵ x + 1) dx + \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) dx
चूँकि f(x) = x³ + x cos x + tan⁵x
∴ f(- x) = (- x)³ + (- x) cos (- x) + tan⁵ (-x)
= - x - x cos x - tan⁵x
= - (x + x cos x + tan⁵x)
= - f(x)
अर्थात् f(- x) = - f (x)
जो कि एक विषम फलन है

अतः I = π
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 21.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right)\) dx का मान है
(A) 2
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) 0
(D) - 2
उत्तर
(C) 0

हल:
माना कि

अर्थात् I = 0
अतः सही विकल्प (C) है।