RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली

प्रश्न संख्या 1 से 1 तक प्रदत्त फलनों का, के सापेक्ष अक्कलन कीजिए

प्रश्न 1.
(3x² - 9x + 5)⁹
हल:
प्रश्नानुसार y = (3x² - 9x + 5)⁹
= u⁹, माना कि u = 3x² - 9x + 5
\(\frac{d y}{d u}\)= = 9u^9-1 = 9u⁸, \(\frac{du}{dx}\) = 6x - 9
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}\)
= 9 (3x² - 9x + 5)⁸ . (6x - 9)
= 27 (2x – 3) (3x² - 9x + 5)⁸

प्रश्न 2.
sin³ x + cos⁶ x
हल:
प्रश्नानुसार y = sin³ x + cos⁶ x
= u + v, (माना कि)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\)
u = sin³x = t³, t = sin x

प्रश्न 3.
(5x)^{3cos 2x}
हल:
प्रश्नानुसार माना कि y = (5x)^{3cos 2x}
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log y = log (5x)^{3cos 2x} [log mⁿ = n log m]
= 3 cos 2x log 5x

अवकलन करने पर

 

प्रश्न 4.
sin^-1 (x√x), 0 ≤ x ≤ 1
हल:
प्रश्नानुसार y = sin^-1 (x√x), 0 ≤ x ≤ 1
माना कि y = sin^-1 (x√x) = sin^-1 (x)^3/2
x^3/2 = t रखने पर

प्रश्न 5.
\(\frac{\cos ^{-1} \frac{x}{2}}{\sqrt{2 x+7}}\), - 2 < x < 2
हल:
माना कि y = \(\frac{\cos ^{-1} \frac{x}{2}}{\sqrt{2 x+7}}\), - 2 < x < 2
= \(\frac{u}{v}\)(मान लिया)

प्रश्न 6.
cot^-1\(\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]\), 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
माना कि y = cot^-1\(\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]\), 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)

x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 7.
(log x)^{log x}, x > 1
हल:
माना कि (log x)^{log x}, x > 1

दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log y = log [(log x)^{log x}] [log mⁿ = n log m]
= (log x) log (log x) = uv (मान लिया)

प्रश्न 8.
cos (a cos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए
हल:
माना कि y = cos (a cos x + b sin x)
a cos x + b sin x = t रखने पर
अतः y = cos t, t = a cos x + b sin x
∴ \(\frac{d y}{d t}\) = - sin t तथा \(\frac{d t}{d x}\) = - a sin x + b cos x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x}\)
= - sint (- a sin x + b cos x)
= (sin (a cos x + b sin x)] [a sin x – 5 cos x]
= (a sin x - b cos x) sin (a cos x + b sin x)

प्रश्न 9.
(sin x - cos x)^{(sin x - cos x)}, \(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{3 \pi}{4}\)
हल;
माना कि y = (sin x - cos x)^{(sin x - cos x)}
लघुगणक लेने पर
log y = (sin x - cos x) log (sin x - cos x)

अवकलन करने पर
\(\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}\) = (cos x + sin x) log (sin x - cos x) + (sin x - cos x) × \(\frac{1}{\sin x-\cos x} \times \frac{d}{d x}\)(sin x - cos x)
= (cos x + sin x) log (sin x - cos x) + (cos x + sin x)
= (sin x + cos x) [log (sin x - cos x) + 1]

y से गुणा करने पर
\(\frac{dy}{dx}\) = y (sin x + cos x) [1 + log (sin x - cos x)] dr.
= (sin x + cos x) (sin x - cos x)^{sin x - cos x}
[1 + log (sin x - cos x)], sin x>cos x

प्रश्न 10.
x^x + x^a + a^x + a^a, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए
हल:
माना कि y = x^x + x^a + a^x + a^a

अवकलन करने पर

प्रश्न 11.
x^x2-3 + (x - 3)^x2, x > 3 के लिए
हल:
माना कि y = x^x2-3 + (x - 3)^x2 = u + y
u = x^x2-3

लघुगणक लेने पर
log u = log x^x2-3 = (x² - 3) log x [log mⁿ = n log m]

अवकलन करने पर
\(\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}\) = 2x log x + (x² - 3) × \(\frac{1}{x}\)

प्रश्न 12.
यदि y = 12 (1 - cos t), x = 10 (1 – sin t), - \(\frac{\pi}{2}\) < t < \(\frac{\pi}{2}\) है तो ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार y = 12 (1 - cost), x = 10 (t - sin t)

प्रश्न 13.
यदि y = sin^-1x + sin^-1\(\sqrt{1-x^2}\), 0 < x < 1 है तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार y = sin^-1x + sin^-1\(\sqrt{1-x^2}\)
x = sin θ रखने पर
y= sin^-1(sin θ) + sin^-1\(\sqrt{1-\sin ^2 \theta}\)
= θ + sin^-1(cos θ)[1 - sin²θ = cos²θ]
= θ + sin^-1[sin(\(\frac{\pi}{2}\) - θ)]
\(\frac{dy}{dx}\) = 0

प्रश्न 14.
यदि - 1 < x < 1 के लिए x\(\sqrt{1+y}\) + y\(\sqrt{1+x}\) = 0 है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
हल:
प्रश्नानुसार x\(\sqrt{1+y}\) + y\(\sqrt{1+x}\) = 0
x\(\sqrt{1+y}\) = - y\(\sqrt{1+x}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
x²(1 + y) = y²(1 +x)
⇒ x² - y² - y²x + x²y = 0
⇒ (x + y) (x - y) + xy (x - y)= 0
x ≠ y, x - y से भाग देने पर
⇒ x + y + xy = 0
x + (1 + x) y= 0

y = -\(\frac{x}{1+x}\)
\(\frac{d y}{d x}=-\frac{1 \cdot(1+x)-x \cdot 1}{(1+x)^2}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)

प्रश्न 15.
यदि किसी c > 0 के लिए (x - a)² + (y - b)² = c² है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right\}^{3 / 2}}{\frac{d^2 y}{d x^2}}\), a और b से स्वतन्त्र एक स्थिर राशि है।
हल:
प्रश्नानुसार (x - a)² + (y - b)² = c² .... (1)

अवकलन करने पर
2(x - a) + 2(y - b) \(\frac{d y}{d x}\) = 0 ...........(1)
या (x - a) + (y - b)\(\frac{d y}{d x}\) = 0 .... (2)

(2) का अवकलन करने पर

(1) में (3) व (4) से (y - b) तथा (x - a) का मान रखने पर

प्रश्न 16.
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ + 1, है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^2(a+y)}{\sin a}\)
हल:
प्रश्नानुसार cos y = x cos (a + y)
x = \(\frac{\cos y}{\cos (a+y)}\)

y के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 17.
यदि x = a (cos t + t sin t) और y = a (sin t - t cos t), तो \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार
x = a (cos t + t sin t), y = a (sin t - t cos t)
= a (- sin t + sin t + t cos t)
= at cost. [(uv)' = u'v + uv']

तथा y = a (sin t - t cos t)
\(\frac{dy}{dx}\) = a (cos t - cos t + t sin t) = at sin t
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \div \frac{d x}{d t}=\frac{a t \sin t}{a t \cos t}\) = tan t

x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर

प्रश्न 18.
यदि f(x) = |x|³, तो प्रमाणित कीजिए कि f" (x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
हल:

प्रश्न 19.
गणितीय आगमन के सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक 7 के लिए : \(\frac{d}{dx}\)(xⁿ) = nx^n-1 है।
हल:
n = 1 के लिए \(\frac{d}{dx}\)(x¹) = \(\frac{dy}{dx}\) = 1
nx^n-1= (1) x^1-1 = x⁰ = 1
\(\frac{d}{dx}\)(xⁿ) = nx^1-1, n = 1 के लिए सत्य है।

माना कि n = m ∈ N के लिए परिणाम ठीक है।
\(\frac{d}{dx}\)(x^m) = mx^m-1 [जहाँ m एक पूर्णांक है।
अब \(\frac{d}{dx}\)(x^m+1) = \(\frac{d}{dx}\)(x^m. x)
= x^m \(\frac{d}{dx}\)(x) + x.\(\frac{d}{dx}\)(x^m)
= x^m + x . mx^m-1 = x^m + mx^m
= (m + 1)x^m = (m + 1)x^m+1-1

अतः दिया गया परिणाम n = m + 1 के लिए सही है। अर्थात् \(\frac{d}{dx}\)(xⁿ) = nx^n-1 सभी धनात्मक पूर्णांक x के लिए।

प्रश्न 20.
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
हल:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
B को स्थिर मानकर, x के सापेक्ष अवकलन करने पर
cos (A + B) \(\frac{d}{dA}\) (A + B) = \(\frac{d}{dA}\) (sin A) cos B + \(\frac{d}{dA}\) (cos A). sin B
⇒ cos (A + B) (1 + 0) = cos A cos B - sin A sin B
⇒ cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

प्रश्न 21.
क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है जो प्रत्येक बिन्दु पर संतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल:
माना कि f(x) = |x| + |x – 1|

∵ Modulus फलन सभी x पर संतत है और दो संतत फलन का योगफल भी संतत है अत: f(x) सभी जगह संतत है। अवकलन f(x) के लिए
यदि x < 0 हो तो f(x) = - x - (x - 1) = 1 - 2x यदि x > 0 और x ≤ 1 हो तो f(x) = x - (x - 1) = 1
यदि x > 1 हो तो f(x) = x + x - 1 = 2x - 1

L.H.D. ≠ R.H.D.
f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
अतः (x) प्रत्येक बिन्दु पर संतत है लेकिन केवल दो बिन्दुओं x = 0, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 22.
यदि y = \(\left|\begin{array}{ccc} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right|\) है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d y}{d x}=\left|\begin{array}{ccc} f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right|\)
हल:
y = \(\left|\begin{array}{ccc} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right|\)
= (mc - nb) f(x) + (na + lc) g(x) + (lb – ma) h(x)
= (mc - nb) f"(x) + (na - lc) g'(x) + (lb - ma) h'(x).
= \(\left|\begin{array}{ccc} f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right|\)

प्रश्न 23.
यदि y = e^{a cos-1x} - 1 ≤ x ≤ 1, तो दर्शाइए कि
हल:
प्रश्नानुसार y = e^{a cos-1x}
अवकलन करने पर