RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x - 8, x ∈ [- 4, 2] के लिए रोल के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल:
f(x) = x² + 2x - 8 दिया गया फलन f(x) एक बहुपदीय व्यंजक है।
इसलिए यह अन्तराल [-4, 2] में संतत है और अन्तराल (- 4, 2) में अवकलनीय भी है।
f(- 4) = 16 - 2 × 4 - 8 = 16 - 16 = 0
f(2) = 4 + 4 - 8 = 8 - 8 = 0
f(- 4) = f(2)

इसलिए रोल प्रमेय के अनुसार एक बिन्दु C ∈ (-4, 2) होगा जहाँ f"(c) = 0
f"(x) = 2x + 2
f"(c) = 2c + 2
f"(c) = 0 ⇒ 2c + 2 = 0
c = - 1 ∈ [- 4, 2]

अत: c = -1 पर f"(c) = 0
∴ रोल प्रमेय सत्यापित होती है।

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोल का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोल के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं ?
(i) f(x) = [x] के लिए x ∈ [5, 9]
हल:
f(x) = [x] के लिए x ∈ [5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 5, 6, 7, 8, 9 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
चूंकि यह महत्तम पूर्णांक फलन है और यह फलन पूर्णाकों पर असंतत हो जाता है।
इसलिए (x) पर रोल प्रमेय लागू नहीं है।
परन्तु f" (x) = 0 यदि x ≠ 6, 7, 8 6 (5, 9)
अतः विलोम सत्य नहीं है।

(ii) f(x) = [x] के लिए x ∈ [- 2, 2]
हल:
f(x)= [x], x ∈ [- 2, 2]
f(x)= [x], बिन्दु x = - 1, 0, 1 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
चूंकि यह महत्तम पूर्णांक फलन है और यह फलन पूर्णांकों पर असंतत हो जाता है।
इसलिए रोल प्रमेय लागू नहीं है तथा इसका विलोम भी सत्य नहीं है।

(iii) f(x) = x² - 1 के लिए x ∈ [1, 2]
हल:
f(x) = (x² - 1), x ∈ [1, 2] के लिए
f(1) = 1² - 1 = 0, f(2) = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
f(1) ≠ f(2).
यद्यपि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2). इसलिए रोल प्रमेय लागू नहीं है तथा इसका विलोम भी सत्य नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f : [-5, 5] → R एक संतत फलन है और यदि f (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).
हल:
f: [- 5, 5] → R
(i) fसंतत है तथा अवकलनीय परन्तु
(ii) f"(x) ≠ 0,

अन्तराल (-5, 5) में रोल प्रमेय के लिए आवश्यक है यदि
(i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलनीय होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f(c) = 0, c ∈ (a, b)
f' (c) ≠ 0 = f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5) (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² - 4x - 3, जहाँ a = 1, b = 4 है।
हल:
दिया गया फलन f(x) = x² - 4x - 3. [1, 4] अन्तराल के लिए एक बहुपदीय व्यंजक है। यह (1, 4) में संतत है तथा (1, 4) में अवकलनीय है।
अतः f(x), [1, 4] में माध्यमान प्रमेय के सभी प्रतिबन्ध सत्य हैं।
f(4) = 16 - 16 - 3 = -3
f(1) = 1 - 4 - 3 = -6
f'(x) = 2x - 4
f'(c) = 2c - 4
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ 2c - 4 = \(\frac{-3-(-6)}{4-1}=\frac{3}{3}\) = 1
⇒ 2c = 4 + 1 या c = \(\frac{5}{2}\) जो कि अन्तराल (1, 4) में है।
इसलिए माध्यमान प्रमेय सत्य है। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ - 5x² - 3x, जहाँ a = 1, b = 3 है। f"(c) = 0 के लिए c ∈ (1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x³ - 5x² - 3x
[1, 3] में f संतत है तथा (1, 3) में अवकलनीय है क्योंकि यह बहुपदीय है।
f(1) = 1 - 5 - 3 = - 7.
f(3) = 27 - 45 - 9 = - 27
f"(x) = 3x² - 10x - 3
f"(c) = 3c² - 10c - 3
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
या 3c² - 10c - 3= \(\frac{-27-(-7)}{3-1}=\frac{-20}{2} \)= -10
या 3c² - 10c + 7 = 0 या (c - 1) (3c - 7) = 0
∴ c ≠ 1, c = \(\frac{7}{2}\) ∈ (1, 3)

अतः माध्यमान प्रमेय सत्य है।
f"(c) = 3c² - 10c - 3 = 0

अत: C ∈ (1, 3) में ऐसा कोई भी बिन्दु विद्यमान नहीं है, जहाँ f"(c) = 0 हो।

प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल:
(i) f(x) = [x], x ∈ [5, 9]
अन्तरांल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न ही संतत है और न ही अवकलनीय है। अतः माध्यमान प्रमेय यहाँ लागू. नहीं है।

(ii) f(x) = [x], x ∈ [- 2, 2]
अन्तराल [- 2, 2] में f बिन्दु x = - 1, 0, 1 पर न ही संतत है और न ही अवकलनीय है। अतः माध्यमान प्रमेय यहाँ लागू नहीं है।

(iii) f(x) = x² - 1, x ∈ [1, 2]
दिया गया फलन एक बहु पदीय फलन है। यह अन्तराल [1, 2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।
f(1) = 1 - 1 = 0
f(2) = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
तथा f' (x) = 2x
f(c) = 2c

f"(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
2c = \(\frac{3-0}{2-1}=\frac{3}{1}\) = 3
c = \(\frac{3}{2}\) ∈ (1, 2)
अत: माध्यमान प्रमेय लागू होता है यहाँ c = \(\frac{3}{2}\) ∈ (1, 2)