RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.6

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में x तथा y दिए समीकरणों द्वारा एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए :

प्रश्न 1.
x = 2at², y = at⁴
हल:
प्रश्नानुसार x = 2at², y = at⁴ के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 2.
x = a cos θ, y = b cos θ
हल:
प्रश्नानुसार x = a cos θ, y = b cos θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 3.
x = sin t, y = cos 2t
हल:
प्रश्नानुसार x = sin t, y = cos 2t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 4.
x = 4t, y = \(\frac{4}{t}\)
हल:
प्रश्नानुसार x = 4t, y = \(\frac{4}{t}\)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 5.
x = cos θ - cos 2θ, y = sin θ - sin 2θ
हल
प्रश्नानुसार x = cos θ - cos 2θ, y = sin θ - sin 2θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
x = a(θ - sin θ), y = a(1 + cos θ)
हल:
प्रश्नानुसार x = a(θ - sin θ), y = a(1 + cos θ)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 7.
x = \(\frac{\sin ^3 t}{\sqrt{\cos 2 t}}\), y = \(\frac{\cos ^3 t}{\sqrt{\cos 2 t}}\)
हल:
प्रश्नानुसार
x = \(\frac{\sin ^3 t}{\sqrt{\cos 2 t}}\), y = \(\frac{\cos ^3 t}{\sqrt{\cos 2 t}}\)
\(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2}\) के अनुसार

t के सापेक्ष अवकलन करने पर

तथा y = \(\frac{\cos ^3 t}{\sqrt{\cos 2 t}}\)

प्रश्न 8.
x = a(cost + log tan \(\frac{t}{2}\)), y = a sin t
हल:
प्रश्नानुसार x = a(cost + log tan \(\frac{t}{2}\)), y = a sin t
x = a(cos t + log tan \(\frac{t}{2}\))
t के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल:
प्रश्नानुसार x = a sec θ, y = b tan θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 10.
x = a(cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ - θ cos θ)
हल:
प्रश्नानुसार x = a(cos θ + θ sinθ), y = a(sinθ - θ cos θ)
∵ x = a (cos θ + θ sin θ)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{dx}{dθ}\) = a [- sin θ + 1 . sin θ + θ cos θ]
= a θ cos θ
y = a (sin θ - θ cos θ)

θ के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{dx}{dθ}\) = a [cos θ - {1 . cos θ + 0 (- sin θ)}]
= a θ sin θ
∵ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d \theta} \div \frac{d x}{d \theta}=\frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta}\) = tan θ

प्रश्न 11.
यदि x = \(\sqrt{a^{\sin ^{-1} t}} \), y = \(\sqrt{a^{\cos ^{-1} t}}\) तो दर्शाइए कि \(\frac{d y}{d x}=\frac{-y}{x}\)
हल:
प्रश्नानुसार x = \(\sqrt{a^{\sin ^{-1} t}}\)