RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5

प्रश्न 1.
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए :
cos x . cos 2x . cos 3x
हल:
प्रश्नानुसार y = cos x . cos 2x . cos 3x
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log y = log (cos x . cos 2x . cos 3x)
= log cos x + log cos 2x + log cos 3x
[∵ log mn = log.m + log.n]

अब x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर

y का मान रखने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = - cos x . cos 2x . cos 3x × [tan x + 2 tan 2x + 3 tan 3x]

प्रश्न 2.
\(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = \(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\)
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log y= log \(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\)
[∵ log_amⁿ = n log_am]
= \(\frac{1}{2}\) log \(\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}\)
= \(\frac{1}{2}\)log [(x - 1) (x -2)] = \(\frac{1}{2}\) log[(x - 3)(x - 4)(x - 5)]
[∵log \(\frac{m}{n}\) = log m - log n]

= \(\frac{1}{2}\)[log (x - 1) + log (x - 2)] - \(\frac{1}{2}\)[log (x - 3) + log (x - 4) + log (x - 5)]
[∵ log mn = log m + log n]
अब x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर

 

प्रश्न 3.
(log x)^{cos x}
हल:
प्रश्नानुसार y = (log x)^{cos x}

दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log y = log (log x)^{cos x}
= cos x log (log x) [∵ log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर
\(\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}\) = (- sin x) log (log x) + cos x \(\frac{d}{d x}\) log (log x)
= - sin x log (log x) + cos x\(\left(\frac{1}{\log x}\right) \frac{d}{d x}\)(log x)
= - sin x log (log x) + \(\frac{\cos x}{\log (x)} \cdot \frac{1}{x}\)
= - sin x log (log x) + \(\frac{\cos x}{x \log x}\)

y से गुणा करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = y[-sin log(log x) + \(\frac{\cos x}{x \log x}\)]

y का मान रखने पर
= (log x)^{cos x}[- sin log(log x) + \(\frac{\cos x}{x \log x}\)]

प्रश्न 4.
x^x - 2^{sin x}
हल:
प्रश्नानुसार y = x^x - 2^{sin x}
= u - v (माना कि)
जबकि u = x^x, v = 2^{sin x}
u = x^x को हल करने पर

दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log u = log x^x = x log x [log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर

(1) और (2) से, \(\frac{d u}{d x}, \frac{d v}{d x}\) मान रखकर
= x^x (1 + log x) - 2x^{sin x} cos x log 2

प्रश्न 5.
(x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴
हल:
माना कि y = (x + 3)². (x + 4)³. (x + 5)⁴
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log y= log [(x + 3)². (x + 4)³. (x + 5)⁴]
= log (x + 3)² + log (x + 4)³ + log (x + 5)⁴ [∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5) [∵ log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^x+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^x+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\)
माना कि u = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^x\), v = \(x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\)
u = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^x\)

दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log u = log \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^x\) [∵ log mⁿ = n log m]
= x log (x + \(\frac{1}{x}\))

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 7.
(log x)^x + x^{log x}
हल:
प्रश्नानुसार y = (log x)^x + x^{log x}
= u + v (मान लिया)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\)
u = (log x)^{log x}

लघुगणक लेने पर
log u = log (log x)^x
= x log (log x) [∵ log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर

पुनः y = x^{log x}

लघुगणक लेने पर
log v = log (x^{log x}) [∵ log mⁿ = n log m]
= log x. log x = (log x)²

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 8.
(sin x)^x + sin^-1√x
हल:
प्रश्नानुसार y = (sin x)^x + sin^-1√x
= u + y (मान लिया)
अतः u = (sin x)^x

लघुगणक लेने पर
log u = log (sin x)^x
= x log (sin x) [log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर।
\(\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}\) = 1 . log sin x + x . \(\frac{1}{\sin x} \frac{d}{d x}\)(sin x)  [(uv)' = u'v + uv', u = x, v = log (sin x)]
= log sin x + \(\frac{x \cos x}{\sin x}\)
\(\frac{d u}{d x}\) = u[log sin x + x cot x]
= (sin x)^x [log sin x + x cot x] .... (1)
पुनः v = sin^-1 √x
√x = t रखने पर
v = sin^-1t, t = √x

प्रश्न 9.
x^{sin x} + (sin x)^{cos x}.
हल:
प्रश्नानुसार y = x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
= u + v (मान लिया)
u = x^{sin x}

लघुगणक लेने पर
log u = log x^{sin x}
= sin x log x [∵ log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{1}{u} \frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x}\) (sinx) log x + sin x \(\frac{d}{d x}\) log x
= cos x log x + sin x . \(\frac{1}{x}\)
\(\frac{d u}{d x}\) = u (cos x log x + \(\frac{\sin x}{x}\))

u का मान रखने पर
= x^{sin x} (cos x log x + \(\frac{\sin x}{x}\)) ... (1)
पुनः v = (sin x)^{cos x}

लघुगणक लेने पर
log v = log (sin x)cos x [log mⁿ = n log m]
= cos x log (sin x)

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 10.
x^{x cos x} + \(\frac{x^2+1}{x^2-1}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = x^{x cos x} + \(\frac{x^2+1}{x^2-1}\) = u + v (मान लिया)
अतः u = x^{x cos x}

लघुगणक लेने पर
log u = lo x^{x cos x} [log mⁿ = n log m]
= x cos x log x

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}\) = (\(\frac{d}{d x}\)x)cos x × log x + x (\(\frac{d}{d x}\)cos x) log x + x cos x \(\frac{d}{d x}\)(log x)
= 1 . cos x log x + (- sin x) (x log x) + \(\frac{1}{x}\) (x cos x)
= cos x log x - x sin x log x + cos x
∴ \(\frac{d u}{d x}\) = u × [cos x log x - x sin x log x + cos x]
= x^{x cos x} [cos x log x - x sin x log x + cos x] .. (1)

प्रश्न 11.
(x cos x)^x + (x sin x)^1/x
हल:
प्रश्नानुसार y = (x cos x)^x + (x sin x)^1/x = u + v (मान लिया)
अतः u = (x cos x)^x

लघुगणक लेने पर
log u = log (x cos x)^x
= x log (x cos x) [log mⁿ = n log m]
= x(log x + log cos x)

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}\) = 1. [log x + log cos x] + x. \(\frac{d}{dx}\)(log x + log cos x)
= (log x + log cos x) + x.[\(\frac{1}{x}+\frac{1}{\cos x} \frac{d}{d x}\) cos x]
= log x + log cos x + 1 + \(\frac{x}{\cos x}\)(-sin x)
= log x + log cos x + 1 - x tan x
\(\frac{d u}{d x}\) = u [log x + log cos x - x tan x + 1]
= (x cos x)^x [log x + log cos x - x tan x + 1] ...(1)

पुनः v = (x sin x)^1/x

लघुगणक लेने पर
log v = log (x sin x)^1/x [∵ log mⁿ = n log m]
= \(\frac{1}{x}\) log (e sin x) = \(\frac{1}{x}\)(log x + log sin x)

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर

12 से 15 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों के लिए कीजिए :

प्रश्न 12.
x^y + y^x = 1
हल:
प्रश्नानुसार x^y + y^z = 1
या u + y = 1 जबकि u = x^y, v = y^x मानने पर
u = x^y

लघुगणक लेने पर
log u = log x^y
= y log x [log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर

पुनः v = y^x

लघुगणक लेने पर
log v = log y^x
= x log y [log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 13.
y^x = x^y
हल:
प्रश्नानुसार y^z = x^y
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
log y^x = log x^y
x log y = y log x [log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर।

प्रश्न 14.
(cos x)^y = (cos y)^x
हल"
प्रश्नानुसार (cos x)^y = (cos y)^x
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
y log (cos x) = x log (cos y) [log mⁿ = n log m]

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 15.
xy = e^(x-y)
हल:
प्रश्नानुसार xy = e^(x-y)
लघुगणक लेने पर
log xy= log e^(x-y)
log x + log y= (x - y) log e [log xy = log x + log y]
= (x - y) [log_e e = 1]

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
लघुगणक लेने पर
log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x²) + log(1 + x⁴) + log (1 + x⁸)
[log mn = log m + log n]

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर

प्रश्न 17.
(x² - 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए :
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार तीनों उत्तर समान हैं।
हल:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
प्रश्नानुसार y = (x² - 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= uv (मान लिया)
\(\frac{d y}{d x}\) = u'y + uv'
\(\frac{d y}{d x}\) = [\(\frac{d}{d x}\)(x -5x+8)] (x³ + 7x + 9) + (x² - 5x + 8)\(\frac{d}{d x}\)(x³ + 7x + 9)
= (2x - 5) (x³ + 7x + 9) + (x² - 5x + 8) (3x² + 7)
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x (x² + 7x + 9)- 5 (x + 7x + 9) + 3x² (x² - 5x + 8) + 7 (x² - 5x + 8)
= 5x⁴ - 20x³ + 45x² - 52x + 11

(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके प्रश्नानुसार
y = (x² - 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= x² (x³ + 7x+9) - 5x (x³ + 7x + 9) + 8 (rs + 7x + 9)
=x⁵ - 5x⁴ + 15x³ - 26x² + 11x + 72
= 5x⁴ - 20x³ + 45x² - 52x + 11

(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
प्रश्नानुसार y = (x² - 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
लघुगणक लेने पर
logy = log (x² - 5x + 8) + log (x³ + 7x + 9)
[∵ log mn = log m + log n]

अवकलन करने पर

= (2x - 5) (x³ + 7x + 9) + (3x² + 7) (x² - 5x + 8)
= 2x (x³ + 7x + 9) - 5 (x³ + 7x + 9) + 3x² (x² - 5x + 8) + 7 (x² - 5x + 8)
= 2x⁴ + 14x² + 18x - 5x³ - 35x - 45 + 3x⁴ - 15x³ + 24x² + 7x² - 35x + 56
= 5x⁴ - 20x³ + 45x² - 52x + 11

प्रश्न 18.
यदि u, v और w, x के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय–लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि
\(\frac{d}{d x}\) (u. v. w) = \(\frac{d u}{d x}\) v. w + u . \(\frac{d v}{d x}\).w + u . v . \(\frac{d w}{d x}\)
हल:
(i) गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा
y = u . v . w = u . (vw)
अवकलन करने पर
a = u' . (vw) + u\(\frac{d}{dx}\) (ww)
= u' . (vw) + u[vw + vw']
= u' . v . w + uvw + uw'
= \(\frac{du}{dx}\) v. w + u .\(\frac{dv}{dx}\) . w + u. v.\(\frac{dw}{dx}\)

(ii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
y = u . v . w
लघुगणक लेने पर
log y = log u + log v + log w
[∵ log mn = log m + log n]