RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए :
2x + 3y = sin x
हल:
प्रश्नानुसार 2x + 3y = sin x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2 + 3\(\frac{d y}{d x}\) = cos x ∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{3}\) (cos x - 2)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{\cos x-2}{3}\)

प्रश्न 2.
2x + 3y = sin y
हल:
प्रश्नानुसार 2x + 3y = sin y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2 + 3\(\frac{d y}{d x}\) = cos y \(\frac{d y}{d x}\) or (cos y - 3)\(\frac{d y}{d x}\) = 2
\(\frac{d y}{d x} =\frac{2}{\cos y-3}\)

प्रश्न 3.
ax + by² = cos y
हल:
प्रश्नानुसार ax + by² = cos y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
a + 2by\(\frac{d y}{d x}\) = -sin y \(\frac{d y}{d x}\)
या (2by + sin y)\(\frac{d y}{d x}\) = - a
\(\frac{d y}{d x}=\frac{-a}{2 b y+\sin y}\)

प्रश्न 4.
xy + y² = tan x + y
हल:
प्रश्नानुसार
xy + y = tan x + y x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 5.
x² + xy + y² = 100
हल:
प्रश्नानुसार
x² + xy + y² = 100
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + (1.y + x\(\frac{d y}{d x}\)) + 2x\(\frac{d y}{d x}\) = 0
या (x + 2y)\(\frac{d y}{d x}\) = - 2x - y
\(\frac{d y}{d x}=-\frac{2 x+y}{x+2 y}\)

प्रश्न 6.
x³ + x²y + xy² + y³ = 81
हल:
प्रश्नानुसार x³ + x²y + xy² + y³ = 81
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 7.
sin² y + cos xy = k
हल:
प्रश्नानुसार sin² y + cos ry = k
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
या 2 sin y cos y \(\frac{d y}{d x}\) - sin xy [1.y + x.\(\frac{d y}{d x}\)] = 0
या - y sin xy + (2 sin y cos y - x sin xy)\(\frac{d y}{d x}\) = 0
\(\frac{d y}{d x}=\frac{y \sin x y}{2 \sin y \cos y-x \sin x y}\)
= \(\frac{y \sin x y}{\sin 2 y-x \sin x y}\)

प्रश्न 8.
sin² y + cos²y = 1
हल:
प्रश्नानुसार sin²x + cos²y = 1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2 sin x \(\frac{d y}{d x}\)(sin y) + 2 cos y \(\frac{d y}{d x}\) (cos y) = 0
या 2 sin x cos x + 2 cos y (- sin y)\(\frac{d y}{d x}\) = 0
या 2 sin x cos x - 2 cos y sin y \(\frac{d y}{d x}\) = 0
\(\frac{d y}{d x}=\frac{2 \sin x \cos x}{2 \sin y \cos y}=\frac{\sin 2 x}{\sin 2 y}\)

प्रश्न 9.
y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
हल:
प्रश्नानुसार
y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
x = tan θ रखने पर
y = sin^-1\(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\) = sin^-1(sin 2θ)
= 2θ = 2 tan^-1x
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^2}\)

प्रश्न 10.
y = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\). \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) < x < \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)
यहाँ x = tan θ रखने पर
y = tan^-1\(\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}\right)\)
= tan^-1(tan 3θ) = 3θ = 3 tan^-1x

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}=\frac{3}{1+x^2}\)

प्रश्न 11.
y = cos^-1\(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\), 0 < x < 1
हल:
प्रश्नानुसार y = cos^-1\(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\). 0 < x < 1
x = tan θ रखने पर
y = cos^-1\(\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\)
= 2θ = 2 tan^-1x
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^2}\)

प्रश्न 12.
y = sin^-1\(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\). 0 < x < 1
हल:
प्रश्नानुसार y = sin^-1\(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\), 0 < x < 1
x = tan θ रखने पर

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}=\frac{-2}{1+x^2}\)

प्रश्न 13.
y = cos^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\), - 1 < x < 1
हल:
प्रश्नानुसार y = cos^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\), - 1 < x < 1
x = tan θ रखने पर

अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}=\frac{-2}{1+x^2}\)

प्रश्न 14.
y = sin^-1(2x\(\sqrt{1-x^2}\)), -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) < x < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = sin^-1(2x\(\sqrt{1-x^2}\))
x = sin θ रखने पर
y = sin^-1(2sinθ\(\sqrt{1-\sin ^2 \theta}\))
= sin^-1(2 sin θ cosθ)
= sin^-1(sin 2θ) = 2θ = 2 sin^-1x
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)

प्रश्न 15.
y = sec^-1\(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\). 0 < x < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = sec^-1\(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\)
x = cos θ रखने पर
y = sec^-1\(\left(\frac{1}{2 \cos ^2 \theta-1}\right)\) = sec^-1\((\frac{1}{\cos 2 \theta})\)
Y = sec^-1(sec 2θ) = 2θ = 2 cos^-1x
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}\)