RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2

प्रश्न 1.
प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए :
sin (x² + 5)
हल:
माना कि y = sin (x² + 5)
x² + 5 = t रखने पर
y = sin t, यहाँ t = x² + 5
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = cos t \cdot \frac{d t}{d x}\)
= cos (x² + 5) \(\frac{d}{dx}\)(x² + 5)
= cos (x² + 5) × 2x
= 2x cos(x² + 5)

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल:
माना कि y = cos (sin x)
sin x = t रखने पर

= -[sin(sin x)] cos x
= -cos x sin(sin x)

प्रश्न 3.
sin(ax + b)
हल:
माना कि y = sin(ax + b)
ax + b = t रखने पर
y = sin t, यहाँ t = ax + b
\(\frac{d y}{d t}\) = cos t, \(\frac{d t}{d x}\) = \(\frac{d}{d x}\) (ax + b)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}\) = (cos t) × a = a cost
= a cos (ax + b)

प्रश्न 4.
sec(tan (√x))
हल:
माना कि y = sec(tan(√x))
√x = t, s = tan √x = tan t (∵√x = t)
अर्थात् y = sec s, s = tan t, t = √x

प्रश्न 5.
\(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = \(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
माना कि u = sin (ax + b), v = cos (cx + d)
∴ u' = \(\frac{d u}{d x}\) = cos (ax + b) \(\frac{d}{dx}\)(ax + b)
= a cos(ax + b)

v' = \(\frac{d v}{d x}\) = cos (cx + d)
= -sin(cx + d) \(\frac{d}{dx}\)(cx + d)
= - c sin (cx + d)

∴ y = \(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}=\frac{u}{v}\)

= a cos (ax + b) sec (cx + d) + c sin
(ax + b) tan (cx + d) sec (cx + d)

प्रश्न 6.
cos x³ sin² (x⁵)
हल:
प्रश्नानुसार y = cos x³ sin² (x⁵)
माना कि u = cos x³, v = sin² (x⁵)
∴ y = uv
अब u = cos x³ में x³ = t रखने पर
u = cos t, t = x³
\(\frac{du}{dt}\) = -sin t, \(\frac{dt}{dx}\) = 3x²
∴ u' = \(\frac{d u}{d x}=\frac{d u}{d t} \times \frac{d t}{d x}\) = (-sin t)(3x²)
= -sin x³(3x²) = -3x² sin x³ .........(1)
v = sin² x⁵

माना t = x⁵, sin t = s
∴ v = sin²t = s², s = sin t
∴ v = s², s = sin t, t = x⁵
\(\frac{d v}{d s}\) = 2 s, \(\frac{d s}{d t}\) = cos t, \(\frac{d t}{d x}\) = 5x⁴

v' = \(\frac{d v}{d x}=\frac{d v}{d s} \times \frac{d s}{d t} \times \frac{d t}{d x}\)
= 2s × cos t × 5x⁴ = 10x⁴ sint cos t
= 10x⁴ sin x⁵ cos x⁵ ......................(2)
[(1) व (2) से u', v' का मान रखने पर]
\(\frac{dy}{dx}\) = u' × v + u × v'
= (- 3x² sin x³) * sin²x⁵ + cos x³ 10x⁴ sin x⁵ cos x⁵
= - 3x² sin x³ sin²x⁵ + 10x⁴ cos x³ sin x⁵ cos x⁵
= 10x⁴ sin x⁵ cos x⁵ cos x³ - 3x² sin x⁵ sin² x⁵

प्रश्न 7.
2\(\sqrt{\cot \left(x^2\right)}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = 2\(\sqrt{\cot \left(x^2\right)}\)
यहाँ x² = t, cot t = s रखने पर
y = 2√s , s = cot t, t = x²

प्रश्न 8.
cos (√x)
हल:
प्रश्नानुसार y = cos √x, यहाँ √x = t रखने पर
y = cos t, t = √x

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन (x) = |x - 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = |x – 1|, x ∈ R

= x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = [x]
(i) x = 1 पर

x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। उत्तर x = 2 पर

(ii) x = 2 पर

अर्थात् x = 2 पर अवकलनीय नहीं है।