RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.1

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x - 3, x = 0, x = - 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल:
प्रश्नानुसार फलन f(x) = 5x - 3
यह फलन x = 0, -3 तथा 5 पर परिभाषित है।

x = 5 पर fसंतत है। (इतिसिद्धम्)

 

प्रश्न 2.
x= 3 पर फलन f(x) = 2x² - 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार फलन f(x) = 2x² - 1 यह फलन x = 3 पर परिभाषित है।
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3}\) (2x² - 1) = 2 × 9 - 1
= 18 - 1 = 17
अब f(3) = 17
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) f(x) = 17 = f(3)
x = 3 पर f संतत है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए :
(a) f(x) = x - 5
हल:
प्रश्नानुसार फलन f(x) = x - 5
x - 5 एक बहुपदीय व्यंजक है। अतः हर बिन्दु x ∈ R
पर f संतत है।

(b) (x) = \(\frac{1}{x-5}\), x ≠ 5
हल:
प्रश्नानुसार फलन f(x) = \(\frac{1}{x-5}\)
x = 5 पर f(x) परिभाषित नहीं है।
∴ x = 5 पर f संतत नहीं है। परन्तु x ∈ R - {5} के
प्रत्येक बिन्दु पर f संतत है।

(c) f(x) = \(\frac{x^2-25}{x+5}\),
हल:
प्रश्नानुसार फलन f(x) = \(\frac{x^2-25}{x+5}\), x ≠ -5
x = - 5 पर f परिभाषित नहीं है।
∴ x = - 5 पर fसंतत नहीं है।
x ≠ - 5, माना कि x = c ≠ - 5

⇒ x ∈ R - {-5} के प्रत्येक बिन्दु पर सिंतत है।

(d) (x) = |x - 5|
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = |x - 5|
x = 5, पर \(\lim _{x \rightarrow 5}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 5}\) |x - 5| = 0
x = 5 पर fसंतत है।
यदि x > 5, माना कि x = c > 5,
\(\lim _{x \rightarrow 5}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 5}\) |x – 5| = c - 5 [∵ c > 5]
∴ जब x > 5, f संतत है।
यदि x < 5, माना कि x = c <5 .
\(\lim _{x \rightarrow 5}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 5}\)|x - 5|
= - (c - 5) = 5 - c
जब x < 5, f संतत है।
⇒ x ∈ R, प्रत्येक बिन्दु पर f संतत है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xⁿ, x = n पर संतत है। जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
f(x) = xⁿ एक बहुपदीय (या घातांकी) फलन है। यह संतत है यदि x ∈ R और n ∈ N.
यहाँ x = n एक पूर्णांक है।
\(\lim _{x \rightarrow n}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow n}\) xⁿ = nⁿ [n > 0]
तथा f(n) = nⁿ (n > 0)
यहाँ पर \(\lim _{x \rightarrow n}\) f(x) = nⁿ = f(n)
∴ f, x = n पर संतत फलन है।

प्रश्न 5.

द्वारा परिभाषित फलन f x = 0, x = 1, तथा x = 2 पर संतत है?
हल:

अतःf, x = 2 पर संतत फलन है।
f के सभी असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :

प्रश्न 6.

हल:
प्रश्नानुसार f(x) = 12x-3, यदि x>2
x = 2 पर जब x < 2 हो तो f(x) = 2x + 3 ∴ f(2) = 2 × 2 + 3 = 4 + 3 = 7 L.H.L. = \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) (2x + 3) = 7 जब x > 2 हो तो
f(x) = 2x - 3
R.H.L. = \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) (2x - 3) = 1
\(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) f(x)
⇒ L.H.L. ≠ R.H.L.
∴ x = 2 पर f संतत नहीं है।
x = c < 2 पर,
\(\lim _{x \rightarrow c}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow c}\) (2x + 3) = -2c + 3 = f(c)
∴ x = c < 2, f संतत फलन है। ∴ x = c > 2 पर,
\(\lim _{x \rightarrow c}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow c}\) (2x - 3) = 2c - 3 = f(c)
∴ x = c > 2 पर f संतत फलन है।
अतः f का असांतत्य बिन्दु x = 2 है।

प्रश्न 7.

हल:
स्थिति I यदि c < -3
\(\lim _{x \rightarrow c}\)f(x) = lim (|x| + 3) = |c| + 3 = f(c)
⇒ c < -3 पर f संतत है।

स्थिति II जब c = -3

x = -3 पर f संतत है।

स्थिति III यदि - 3 < c < 3

तो x = 3 पर f, असंतत है। स्थिति V यदि c > 3,
∴ \(\lim _{x \rightarrow c}\)f(x) = \(\lim _{x \rightarrow c}\) (6x + 2) = 6 + 2 = f(c)
⇒ c > 3 पर संतत है।
f = 3 पर बीजीय फलन असंतत है।

प्रश्न 8.

हल:

⇒ x = c, c < 0 या c > 0 पर f संतत है।
अतः दिया गया फलन x = 0 पर असंतत है।

प्रश्न 9.

हल:

∴ x = c > 0 पर f संतत फलन है।
अतः दिया हुआ फलन x ∈ R का कोई बिन्दु असांतत्य नहीं है।

प्रश्न 10.

हल:

अर्थात् x = c < 1 पर f संतत है। अतः x ∈ R, f सभी बिन्दुओं पर संतत है, असांतत्यता का कोई बिन्दु नहीं है।

प्रश्न 11.

हल:
प्रश्नानुसार


अर्थात् x = c > 2 पर f संतत है।
अतः फलन f, x ∈ R सभी बिन्दुओं पर संतत है तथा असांतत्यता का कोई बिन्दु नहीं है।

प्रश्न 12.

हल:

⇒ x ∈ R - {1} के लिए f संतत फलन है।
∴ दिए गए फलन f का x = 1, असातत्य बिन्दु है। उत्तर

प्रश्न 13.

द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल:

∴ x = c > 1 पर f संतत है।
अतः x ∈ R - {1} के सभी बिन्दुओं पर fसंतत है लेकिन x = 1 पर संतत नहीं है।
फलन f, के सातत्य पर विचार कीजिए, जहाँ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है

प्रश्न 14.

हल:

∴ x = c, 3 < x ≤ 10 पर f संतत है।
अर्थात् x = 1, x = 3 पर f असंतत है और x ∈ R - {1, 3}, f संतत है।

प्रश्न 15.

हल:

x = c₁, 0 < c₁ < 1 पर f संतत है।
x = c₂ > 1, f(x) = 4x जब x > 1
\(\lim _{x \rightarrow c_2}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow c_2}\)(4 x) = 4c₂, f(c) = 4c,
x = c₂ > 1 पर f संतत है।
अतः x = 1, f संतत नहीं है।
⇒ x ∈ R – {1} पर f संतत है लेकिन x = 1 पर फलन असंतत है।

प्रश्न 16.

हल:

∴ x = c₃ > 1 पर f संतत है।
∴ दिया गया फलन प्रत्येक बिन्दु x ∈ R पर f सिंतत है।

प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल:

x = 3 पर यदि f संतत है तो
3a + 1 = 3b + 3 या a = b + \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
हल:

∴ x = 0 पर λ किसी भी मान के लिए f संतत नहीं है।

(ii) x = 1 पर
f(x) = 4x + 1 जब x > 0
(1) = 4 × 1 + 1 = 4 + 1 = 5
R.H.L. lim (4x + 1) = 4 × 1 + 1 = 5
अर्थात् x = 1 पर संतत है
अतः x = 0 पर λ के किसी भी मान के लिए फलन | संतत नहीं है।
लेकिन फलन x = 1 पर संतत है।

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x - [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
हल:
x= c पूर्णांक पर f(x) = x - [x]

f(c) = c - [c] = c - c = 0
इस प्रकार . L.H.L. ≠ R.H.L. = f(c)
अर्थात् x = c पूर्णांक पर f संतत नहीं है।

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² - sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल:
माना कि f(x) = x² - sin x + 5

= π² +5
f(π) = π² + 5
∴ L.H.L. = R.H.L. = f(π)
अतः दिया गया फलन x = π पर संतत है।

प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए :
(a) f(x) = sin x + cos x
हल:
प्रश्नानुसार
f(x) = sin x + cos x

समीकरण (1), (2) तथा (3) से स्पष्ट है कि
x = c ∈ R पर f संतत है।

(b) f(x) = sin x - cos x
हल:
x = c ∈ R पर

समीकरण (1), (2) तथा (3) से स्पष्ट है कि
L.H.L. = R.H.L. = f(c)
∴ x = c ∈ R पर f संतत है।

(c) f(x) = sin x . cos x
हल:

अतः L.H.L. = R.H.L. = f(c)
अर्थात् दिया गया फलन f x = c ∈ R पर संतत है।

प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल:
(a) f(x)= cos x
x = c, c ∈ R, lim cos x = cos c = f(c)
∴ x = c ∈ R पर प्रत्येक x ∈ R के लिए f संतत है।

(b) f(x) = cosec x
x = nπ, f परिभाषित नहीं है।
x = nπ पर f संतत नहीं है।
x = c ∈ R - {nπ}, n ∈ Z, f(x) = cosecx
\(\lim _{x \rightarrow c}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow c}\) cosec x
= cosec c = f(c)
⇒ x = c ∈ R - {nπ}, n ∈ Z के सभी बिन्दुओं पर f संतत है।

(c) f(x) = sec x
x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) पर परिभाषित नहीं है। जबकि n ∈ Z
x = \(\frac{\pi}{2}\) पर

⇒ R - {(2n+1)\(\frac{\pi}{2}\)} ∈ Z के सभी बिन्दुओं पर संतत है।

(d) f(x) = cot x
यह फलन भी x = nπ पर f परिभाषित नहीं है। जबकि n ∈ z
∴ x = nπ पर f संतत नहीं है।
x = c ∈ R - {nπ}, n ∈ Z पर (x) = cot x
\(\lim _{x \rightarrow c}\)f(x) = \(\lim _{x \rightarrow c}\) . x = c = f(c)
x = c ∈ R – {nπ}, n ∈ Z के सभी बिन्दुओं पर f संतत है।

प्रश्न 23.
f के सभी असांतत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ

हल:

⇒ x = c₁, < 0 पर f संतत है।
x = c₂, > 0, (x) = x + 1
\(\lim _{x \rightarrow c_2}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow c_2}\) (x + 1) = c₂ + 1 = f(c₂)
⇒ x = c₁ > 0 पर f संतत है।
अर्थात् असांतत्यता का दिए गए फलन में कोई बिन्दु नहीं है।

प्रश्न 24.
निर्धारित कीजिए कि फलन f

द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
हल:

⇒ x = c ≠ 0 पर f संतत है।
अर्थात् प्रत्येक x ∈ R के लिए fसंतत फलन है।

प्रश्न 25.
f के सातत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है :

हल:

f(0) = - 1
L.H.L. = R.H.L. = f(0)
x = 0 पर f संतत है।
x = c ≠ 0 पर f(x) = sin x - cos x
lim (sin x - cos x) = sin c - cos c = f(c)
∴ x = c ≠ 0 पर f संतत है।
अर्थात् प्रत्येक x ∈ R के लिए. सभी बिन्दुओं पर fसंतत है।

प्रश्न 26 से 29 में k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिन्दुओं पर संतत हो :

प्रश्न 26.

द्वारा परिभाषित फलन x = \(\frac{\pi}{2}\) पर
हल:

प्रश्न 27.

द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर
हल:

प्रश्न 28.

द्वारा परिभाषित फलन x = π पर
हल:

प्रश्न 29.

द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर
हल:

प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि

हल:

L.H.L. = R.H.L. = f(21)
अर्थात् 10a + b = 21 ..... (2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
8a = 21 - 5 = 16 ∴ a = 2
(1) से 2 × 2 + b = 5 ∴ b = 1
अतः । एक संतत फलन है यदि a = 2, b = 1

प्रश्न 31.
दर्शाइए कि (x) = cos (x) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल:
f(x) = cos x²
माना f(x) = x² एवं g(x) = cos x
तब (gof) (x) = g[f(x)] = g(x²) = cos x²
चूँकि f(x) एवं g(x) संतत फलन हैं, अतः उनका संयुक्त फलन (gof) भी संतत होगा।
अत: cos x² संतत फलन है।

प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल:
f(x) = |cos x| हम जानते हैं कि cos x प्रत्येक बिन्दु पर संतत होता है तथा मापांक फलन भी सदैव संतत होते हैं ।
अतः |cos x| भी प्रत्येक बिन्दु पर संतत होगा।

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या |sin x| एक संतत फलन है?
हल:
माना f(x) = |x| और g(x) = sin x
⇒ (gof) (x) = g[f(x)] = g(|x|) = sin|x| चूँकि एवं g संतत फलन हैं,
अतः इनका संयुक्त फलन (gof) भी संतत होगा।

प्रश्न 34.
f(x) = |x| - |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असांतत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = |x| - x + 1|
जब x < - 1, f(x) = - x - [- (x + 1)]
= - x + x + 1 = 1

जब - 1 ≤ x < 0, f(x) = - x - (x + 1) = - 2x - 1
जब x ≥ 0, f(x) = x – (x + 1) = - 1

∴ f संतत है।
अर्थात् दिया गया फलन f किसी भी बिन्दु पर असंतत नहीं है।