RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.6

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.6

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 6 तक दी गई समीकरण निकायों का संगत हल अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए:

प्रश्न 1.
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
माना A = \(\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\), B = \( \left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right]\)
∴ |A| = \(\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right|\) = 3 - 4 = - 1 ≠ 0
|A| ≠ 0
अर्थात् A व्युत्क्रमणीय है अर्थात् यहाँ A-1 का अस्तित्व है।
∴ दिया हुआ समीकरण निकाय संगत है।

प्रश्न 2.
2x - y = 5
x + y = 4
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
2x - y = 5
x + y = 4
माना A = \(\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}\right]\)
∴ |A| = \(\left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\) = 2 - (- 1) = 3 ≠ 0
अर्थात् यहाँ A^-1 का अस्तित्व है।
∴ समीकरण निकाय संगत है।

प्रश्न 3.
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x + 3y = 5
2x + 6y = 8

∴ दिया हुआ समीकरण निकाय असंगत है।

प्रश्न 4.
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4

संक्रिया C₁ → C₁ - C₂ से
|A| = a\(\left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|\) = a\(\left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right|\)
= (2 - 1) a = a ≠ 0
अर्थात् यहाँ A^-1 का अस्तित्व है।
अतः दिया हुआ समीकरण निकाय संगत है।

प्रश्न 5.
3x - y - 2z = 2
2y - z = - 1
3x - 5y = 3
हल:
दिया हुआ समीकरण निकाय
3x - y - 2z = 2
2y - z = - 1
3x - 5y = 3
माना A = \(\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right]\)
|A| को C स्तम्भ से प्रसरण
3 (0 - 5) + 3 (1 + 4) = - 15 + 15 = 0
अर्थात् यहाँ A^-1 का अस्तित्व नहीं है।
|A| के सहखण्ड

∴ दिया हुआ समीकरण निकाय असंगत है।

प्रश्न 6.
5x - y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x - 2y + 6z = - 1
हल:
दिया हुआ समीकरण निकाय
5x - y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x - 2y + 6z = - 1
माना कि A = \(\left[\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6 \end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]\)
|A| = \(\left|\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6 \end{array}\right|\)
R₁ पंक्ति से प्रसरण करने से
= 5(18 + 10) + 1(12 - 25) + 4(- 4 - 15)
= 140 - 13 - 76
= 140 - 89
= 51 ≠ 0
अर्थात् यहाँ A^-1 का अस्तित्व है।
∴ दिया हुआ समीकरण निकाय संगत है।

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 14 तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए

प्रश्न 7.
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
हल:
रैखिक समीकरण निकाय
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5

⇒ x = 2, y = - 3

प्रश्न 8.
2x - y = - 2
3x + 4y = 3
हल:
समीकरण निकाय है।
2x - y = - 2
3x + 4y = 3
माना A = \(\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array}\right]\)
A_ij अवयव a_ij के सहखण्ड हैं
∴ A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = 4,
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = - 3,
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} M₂₁ = (- 1) (- 1) = 1,
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂ = 2,

प्रश्न 9.
4x - 3y = 3
3x - 5y = 7
हल:
रैखिक समीकरण निकाय
4x - 3y = 3
3x - 5y = 7
माना A = \(\left[\begin{array}{ll} 4 & -3 \\ 3 & -5 \end{array}\right]\), x = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}\right]\)
∴ A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = - 5,
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = - 3
A₂₁ = (- 1)^{2+ 1} M₂₁ = - (- 3) = 3,
A₂₂ = (- 1)^{2+ 2} M₂₂ = 4

प्रश्न 10.
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
हल:
समीकरण निकाय
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
माना A = \(\left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right]\), x = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}\right]\)
A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = 2,
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = - 3
A₂₁ = (- 1)^{2+ 1} M₂₁ = - 2,
A₂₂ = (- 1)^{2+ 2} M₂₂ = 5

adj A = [33] = [33] (A) = [33] = 10 - 6 = 4 + 0 A' = khaj A = HBE x =A'B-[2][3]-1 [9-2] -16] - []
∴ x = - 1, y = 4

प्रश्न 11.
2x + y + z = 1
x - 2y - z = \(\frac{3}{2}\)
3y - 5z = 9
हल:
समीकरण निकाय
2x + y + z = 1
x - 2y - z = \(\frac{3}{2}\)
3y - 5z = 9
माना A = \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 / 2 \\ 9 \end{array}\right]\)

|A| = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃.
= 2 × 13 + 1 × 5 + 1 × 3 = 26 + 5 + 3 = 34 ≠ 0

∴ x = 1, y = \(\frac{1}{2}\), z = - \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 12.
x - y + z = 4.
2x + y - 3z = 0
x + y + z= 2
हल:
समीकरण निकाय
x - y + z = 4
2x + y - 3z = 0
x + y + z = 2
जिसे AX = B लिख सकते हैं जबकि
x = A^-1 B
A = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right]\)
A_ij अवयव a_ij सहखण्ड है।

|A| = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃
= 1 × 4 + (- 1) (-5) + 1 × 1
= 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0

प्रश्न 13.
2x + 3y + 3z = 5
x - 2y + 2 = - 4
3x - y - 2z = 3
हल:
समीकरण निकाय
2x + 3y + 3z = 5
x - 2 + z = - 4
3x - y - 2z = 3
जिसे AX = B लिखा जा सकता है, जबकि

x = 1, y = 2, z = - 1

प्रश्न 14.
x - y + 2z = 7
3x + 4y - 5z = - 5
2x - y + 3z = 12
हल:
समीकरण निकाय है ।
x - y + 2z = 7
3x + 4y - 5z = - 5
2x - y + 3z = 12
इसे AX = B लिखा जा सकता है जबकि


⇒ x = 2, y = 1 तथा z = 3

प्रश्न 15.
यदि A = यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right]\) है तो A^-1 ज्ञात कीजिए। A^-1 का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए:
2x - 3y + 5z = 11
3x + 2y - 4z = - 5
x + y - 2z = - 3
हल:
A = \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right]\)
माना A_ij, अवयव a_ij का सहखण्ड है।

∴ |A| = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃
= 2 × 0 + (- 3) × 2 + 5 × 1
= 0 - 6 + 5 = - 1 ≠ 0
∴ A^-1 = \(\frac{1}{|\mathrm{~A}|}\) (adj A) = \(\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{array}\right]\)
समीकरण निकाय
2x - 3y + 5z = 11,
3x + 2y - 4z = - 5,
x + y - 2z = - 3
को AX = B भी लिख सकते हैं, जबकि

⇒ x = 1, y = 2 तथा z = 3

प्रश्न 16.
4 kg. प्याज, 3 kg. गेहूँ और 2 kg. चावल का मूल्य Rs. 60 है। 2 kg. प्याज, 4 kg. गेहूँ, 6 kg. चावल का मूल्य Rs. 90 है। 6 kg. प्याज, 2 kg. गेहूँ और 3 kg. चावल का मूल्य Rs. 70 है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg. ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि प्याज, गेहूँ व चावल का मूल्य प्रति किलोग्राम क्रमशः
x रु., " रु., z रु. है।
∵ 4 किग्रा. प्याज, 3 किग्रा. गेहूँ व 2 किग्रा. चावल का मूल्य = 60 रु. है।
∴ 4x + 3y + 2z = 60 ...... (1)
∵ 2 किग्रा. प्याज, 4 किग्रा. गेहूँ व 6 किग्रा. चावल का मूल्य = 90 रु. है।
∴ 2x + 4y + 6z = 90 .... (2)
तथा 6 किग्रा. प्याज, 2 किग्रा. गेहूँ व 3 किग्रा. चावल का मूल्य = 70 रु. है।
∴ 6x + 2y + 3z = 70 ...... (3)
अब समीकरण निकाय होगा
4x + 3y + 2z = 60
2x + 4y + 6z = 90 या x + 2y + 3z = 45
6x + 2y + 3z = 70
इसे AX = B के रूप में लिख सकते हैं, जबकि

∴ x = 5, y = 8, z = 8.
⇒ प्याज, गेहूँ व चावल का मूल्य प्रति किलोग्राम क्रमशः 5 रु., 8 रु., 8 रु. है।