RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.5

प्रश्न 1 और 2 में प्रत्येक आव्यूह का सहखण्डज (adjoint) ज्ञात कीजिए :

प्रश्न 1.
\(\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]\)
हल:
दिया गया आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]\)
यदि A_ij अवयव a_ij का सहखण्ड है तो
A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = 4,
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = - 3
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} M₂₁ = - 2,
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂ = 1
सहखण्डों का आव्यूह = \(\left[\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{array}\right]\)
अत: A का सहखण्डल adj A = \(\left[\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{array}\right]^{\prime} = \left[\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right]\)

प्रश्न 2.
\(\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 3 और 4 में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A = |A| . I है।

प्रश्न 3.
\(\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{array}\right]\)
हल:
माना A = \(\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{array}\right]\)
A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = - 6,
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = - ( - 4) = 4
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} M₂₁ = - 3
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂ = 2

= |A| I = 0
अतः A adj A = (adj A) . A = |A| I

प्रश्न 4.
\(\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right]\)
हल:


= 11 I = |A| I
∴ A (adj A) = (adj A) A
= AI

प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूहों के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए :

प्रश्न 5.
\(\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{array}\right]\)
हल:
माना कि \(\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{array}\right]\)
A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = 3,
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = - 4
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} M₂₁ = - (-2) = 2,
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂ = 2

प्रश्न 6.
\(\left[\begin{array}{ll} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{array}\right]\)
हल:
माना कि A = \(\left[\begin{array}{ll} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{array}\right]\)
A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = 2,
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = - (-3) = 3
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} M₂₁ = - 5,
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂ = - 1

प्रश्न 7.
\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right]\)
हल:
माना कि A = \(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right]\)

प्रश्न 8.
\(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{array}\right]\)
हल:
माना कि \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{array}\right]\)

प्रश्न 9.
\(\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right]\)
हल:
माना कि \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right]\)

प्रश्न 10.
\(\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right]\)
हल:
माना कि \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right]\)

प्रश्न 11.
\(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ll} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{array}\right]\) है तो सत्यापित
कीजिए कि (AB)^-1 = B^-1A^-1 है।
हल:

A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = 61,
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = - (47) = - 47
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} M₂₁ = - (87),
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂ = (67)

(1) और (2) से बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः (AB)^-1 = B^-1 A^-1

प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\) है तो दर्शाइए कि A² - 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

∴ A² - 5A + 7I = 0
A^-1 से गुणा करने पर
A^-1 A² - 5A^-1 A + 7A^-1 I = 0
IA - 5I + 7A^-1 = 0 [∵ A^-1 A = I]
∴ 7A^-1 = 51 - IA = 51 - A

प्रश्न 14.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\) के लिए 4 और 5 ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A² + aA + bI = 0 हो।
हल:

संगत अवयवों को बराबर रखने पर
11 + 3a + b= 0; 8 + 2a = 0;
4 + a= 0; 3 + a + b = 0
तब a = - 4, b = 1

प्रश्न 15.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]\) के लिए दर्शाइए कि A³ - 6A² + 5A + 11I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

अत: A³ - 6A² + 5A + 11 I = 0
A^-1 से गुणा करने पर
(A^-1 A)A² - 6 (A^-1 A)A + 5A^-1 A + 11A^-1 I = 0
या A² - 6A + 5I + 11A^-1 = 0
∴ 11A^-1 = - A² + 6A- 5I

प्रश्न 16.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]\), तो सत्यापित कीजिए कि A³ - 6A² + 9A - 4I = 0 है तथा इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

∴ A³ - 6A² + 9A - 4I = 0
A^-1 से गुणा करने पर
(A^-1 A)A² - 6 (A^-1 A) A + 9 (A^-1 A) - 4 (A^-1 I) = 0
या A² - 6A + 91 - 4A^-1 = 0
∴ 4A^-1 = A² - 6A + 9I

प्रश्न 17.
यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो |adj A| का मान है:
(A) |A|
(B) |A|²
(C) |A|³
(D) 3 |A|
उत्तर:
(B) |A|²

हल:
यदि कोई आव्यूह A, n × n कोटि का है,
तब |adj A| = |A|^n-1
∴ |adj A| = |A|^3-1 = |A|²
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 18.
यदि A कोटि दो का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A^-1) बराबर :
(A) det (A)
(B) \(\frac{1}{{det}(\mathbf{A})}\)
(C) 1
(D) 0
उत्तर:
(B) \(\frac{1}{{det}(\mathbf{A})}\)

हल:
यहाँ आव्यूह A, व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
इस स्थिति में |A | ≠ 0 AA^-1 = I
या |AA^-1| = |I| = I
या |A| |A^-1| = I
∴ det (A^-1) = \(\frac{1}{{det}(A)}\)
अतः सही विकल्प (B) है।