RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) (1,0), (6,0), (4, 3)
हल:
त्रिभुज जिसके शीर्ष (1,0), (6, 0) और (4, 3) हैं, का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{array}\right|\)
C₂ से प्रसरण करने पर

(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8).
हल:
त्रिभुज के शीर्ष (2, 7), (1, 1), (10, 8)

(iii) (-2, - 3), (3, 2), (- 1, - 8)
हल:
त्रिभुज का क्षेत्रफल (-2, - 3), (3, 2), (- 1, - 8)

∴ |∆| = 15 वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु A (a, b + c), B (b, c + a) और C (c, a + b) संरेख हैं।
हल:
त्रिभुज के शीर्ष A (a, b + c), B (b, c + a), C (c, a + b) से बने

= 0
∵ C₁, C₃ समान हैं।
अतः बिन्दु A, B, C संरेख हैं।

प्रश्न 3.
प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है जहाँ शीर्ष बिन्दु निम्नलिखित हैं
(i) (k, 0), (4,0), (0, 2)
(ii) (- 2, 0), (0, 4), (0, k)
हल:
(i) त्रिभुज के शीर्ष (k, 0), (4, 0), (0, 2)

धनात्मक चिह्न लेने पर
- k + 4 = 4 ∴ k = 0 या
ऋणात्मक चिह्न लेने पर
- k + 4 = - 4 ∴ k = 8

(ii) त्रिभुज के शीर्ष (- 2, 0), (0, 4), (0, k)।

C से प्रसरण करने पर
∆ = \(\frac{1}{2} × (- 2) \left|\begin{array}{ll} 4 & 1 \\ k & 1 \end{array}\right|\)
= - (4 - k) = k - 4 = +4 (दिया है)
धनात्मक चिह्न लेने पर
k - 4 = 4 ∴ k = 8 या
ऋणात्मक चिह्न लेने पर
k - 4 = - 4 ∴ k = 0

प्रश्न 4.
(i) सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि रेखा पर कोई बिन्दु (x, y) है।
त्रिभुज के शीर्ष (x, y), (1, 2), (3, 6)

R₁ से प्रसरण करने पर
∆ = \(\frac{1}{2}\) [x (2 - 6) - y (1 – 3) + (6 - 6)]
या \(\frac{1}{2}\) [- 4x + 2y] = - 2x + y
यदि (x, y), (1, 2), (3, 6) संरेख हैं तो क्षेत्रफल ∆ = 0 ⇒ (1, 2), (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण - 2x + y = 0 या 2x - y = 0

(ii) सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि त्रिभुज का एक शीर्ष (x, ) है और शेष दो शीर्ष (3, 1) और (9, 3) हैं।
त्रिभुज जिसके शीर्ष (x, y), (3, 1) और (9, 3) हैं, का क्षेत्रफल

बिन्दु (x, y), (3, 1), (9, 3) संरेख हैं
यदि ∆ = 0, - x + 3y = 0 या x - 3y = 0.
⇒ बिन्दु (3, 1), (9, 3) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण
x - 3y = 0

प्रश्न 5.
यदि शीर्ष (2, – 6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो k का मान है:
(A) 12
(B) - 2
(C) - 12, - 2
(D) 12, - 2
उत्तर:
(D) 12, - 2

हल: त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \\ k & 4 & 1 \end{array}\right|\) = ± 35
⇒ 2(4 - 4) + 6(5 - k) + (20 - 4k) = ± 70
⇒ 0 + 30 - 6k + 20 - 4k = ± 70
⇒ 50 - 10k = ± 70
धनात्मक चिह्न लेने पर
50 - 10k = 70 ⇒ 10k = 50 - 70 = - 20
∴ k = \(\frac{-20}{10}\) = - 2
ऋणात्मक चिह्न लेने पर
50 - 10k = - 70 ⇒ 10k = 50 + 70 = 120
k = \(\frac{120}{10}\) = 12
अतः k = 12, - 2
अतः सही विकल्प (D) है।