RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.2

बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 को सिद्ध कीजिए-

प्रश्न 1.
\(\left|\begin{array}{lll} x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c \end{array}\right|\) = 0
हल:
∆ = \(\left|\begin{array}{lll} x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c \end{array}\right|\) संक्रिया C₁ → C₁ + C₂ करने पर
= \(\left|\begin{array}{lll} x+a & a & x+a \\ y+b & b & y+b \\ z+c & c & z+c \end{array}\right|\) = 0
क्योंकि C₁ और C₃ समान हैं अतः दिए गए सारणिक का मान शून्य के बराबर होगा।

प्रश्न 2.
\(\left|\begin{array}{lll} a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c \end{array}\right|\) = 0
हल:

= 0 [∵ C₁ के समस्त अवयव शून्य हैं।]

प्रश्न 3.
\(\left|\begin{array}{lll} 2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86 \end{array}\right|\) = 0
हल:
∆ = \(\left|\begin{array}{lll} 2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86 \end{array}\right|\)
संक्रिया C₃ → C₃ - C₁ - 9C₂ करने पर

= 0 [∵ C₃ के समस्त अवयव शून्य हैं ।]

प्रश्न 4.
\(\left|\begin{array}{lll} 1 & b c & a(b+c) \\ 1 & c a & b(c+a) \\ 1 & a b & c(a+b) \end{array}\right|\) = 0
हल:

प्रश्न 5.
\(\left|\begin{array}{lll} b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y \end{array}\right|\) = 2\(\left|\begin{array}{lll} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z \end{array}\right|\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\left|\begin{array}{ccc} 0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array}\right|\) = 0
हल:

पंक्तियों और स्तम्भों को आपस में बदलने पर
∆ = - \(\left|\begin{array}{ccc} 0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array}\right|\) = - ∆
∴ 2∆ = 0
∴ ∆ = 0

प्रश्न 7.
\(\left|\begin{array}{ccc} -a^2 & a b & a c \\ b a & -b^2 & b c \\ c a & c b & -c^2 \end{array}\right|\) = 4a²b²c²
हल:

प्रश्न 8.
(i) \(\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right|\) = (a - b) (b - c) (c - a)
हल:

C₁ से प्रसरण करने पर
∆ = (a - b) (b - c) \(\left|\begin{array}{ll} 1 & a+b \\ 1 & b+c \end{array}\right|\)
= (a - b) (b - c) [(b + c) - (a + b)]
= (a - b) (b - c) (c - a)

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array}\right|\) = (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c)
हल:

= (a - b) (b - c) [(b² + bc + c²) - (a² + ab + b²)]
= (a - b) (b - c) [(bc - ab) + (c² - a²)]
= (a - b) (b - c) [b (c - a) + (c - a) (c + a)]
= (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c)

प्रश्न 9.
\(\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & y z \\ y & y^2 & z x \\ z & z^2 & x y \end{array}\right|\) = (x - y) (y - 2) (z - x) (xy + y + zx)
हल:

= - (x - y) (y - 2) (z - x) [z² - xy - z (x + y + z)]
= - (x - y) (y - 2) (z - x) (- xy - yz - zx)
= (x - y) (y - 2) (z - x) (xy + yz + zx)

प्रश्न 10.
(i) \(\left|\begin{array}{ccc} x+4 & 2 x & 2 x \\ 2 x & x+4 & 2 x \\ 2 x & 2 x & x+4 \end{array}\right|\) = (5x + 4) (4 - x)²
हल:

अब संक्रिया R₂ → R₂ - R₁ एवं R₃ → R₃ - R₁ करने पर .
∆ = (5x + 4) \(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 x & 2 x \\ 0 & 4-x & 0 \\ 0 & 0 & x-4 \end{array}\right|\)
= (5x + 4) (4 - x) (4 - x) \(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 x & 2 x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|\)
= (5x + 4) (4 - x)² [1 (1 - 0)]
= (5x + 4) (4 - x)²

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc} y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k \end{array}\right|\) = k²(3y + k)
हल:

प्रश्न 11.
(i) \(\left|\begin{array}{ccc} a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b \end{array}\right|\) = (a + b + c)³
हल:

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc} x+y+2 z & x & y \\ z & y+z+2 x & y \\ z & x & z+x+2 y \end{array}\right|\) = 2(x + y + z)³
हल:

प्रश्न 12.
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1 \end{array}\right|\) = (1 - x³)²
हल:

R₁ तथा R₂ में से 1 - x उभयनिष्ठ लेने पर
∆ = (1 - x)² (1 + x + x²) \( \left|\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -x \\ 0 & 1+x & -1 \\ 1 & x^2 & 1 \end{array}\right|\)
C₁ से प्रसरण करने से
∆ = (1 - x)² (1 + x + x²) \(\left|\begin{array}{cc} -1 & -x \\ 1+x & -1 \end{array}\right|\)
= (1 - x)² (1 + x + x²) [(1) + x(1 + x)]
= (1 - x)² (1 + x + x²) [1 + x + x²]
= (1 - x)² (1 + x + x²)²
= [(1 - x) (1 + x + x²)]²
= (1 - x³)²

प्रश्न 13.
\(\left|\begin{array}{ccc} 1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2 \end{array}\right|\) = (1 + a² + b²)³
हल:

= (1 + a² + b²)² [(1 - a² - b² + 2a²) - b (-2b)]
= (1 + a² + b²)² (1 + a² - b² + 2b²)
= (1 + a² + b²)² (1 + a² + b²)
= (1 + a² + b²)³

प्रश्न 14.
\(\left|\begin{array}{ccc} a^2+1 & a b & a c \\ a b & b^2+1 & b c \\ c a & c b & c^2+1 \end{array}\right|\) = 1 + a² + b² + c²
हल:

प्रश्न संख्या 15 व 16 में सही उत्तर चुनिए।

प्रश्न 15.
यदि A एक 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो |KA| का मान होगा-
(A) k |A|
(B) K² |A|
(C) k³ |A|
(D) 3k |A|
उत्तर:
(C) k³ |A|

हल: |KA| = K³A ∵ A की कोटि 3 × 3 है।
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 16.
निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही है
(A) सारणिक एक वर्ग आव्यूह है।
(B) सारणिक एक आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
(C) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर
(C) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
∵ सारणिक एक वर्ग आव्यूह से सम्बन्धित एक संख्या होती है।