RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए:
(i) \(\left[\begin{array}{c} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{ccc} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right]\)
हल:
पंक्तियों को स्तम्भों में, स्तम्भों को पंक्तियों में बदलने पर

प्रश्न 2.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ccc} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right]\) हैं तो सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + B) = A' + B.
हल:

(1) व (2) से
अतः (A+ B) = A' + B'

(ii) (A - B) = A' - B'
हल:

(1) व (2) से
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अत: (A - B)' = A' - B'

प्रश्न 3.
यदि A' = \(\left[\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]\) हैं तो सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + B)' = A' + B'
हल:

(1) और (2) से बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः (A + B)' = A' + B'

(ii) (A - B)' = A' - B'
हल:

(1) और (2) से बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः (A - B)' = A' - B'

प्रश्न 4.
यदि A' = \(\left[\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right]\) हैं तो (A + 2B)' ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)' = B'A' जहाँ
(i) A = \(\left[\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right]\), B = [- 1, 2, 1]
हल:

(1) और (2) से बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः (AB)' = B'A'

(ii) A = \(\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]\), B = [1, 5, 7]
हल:

(1) व (2) से
अतः (AB)' = B'A'

प्रश्न 6.
(i) यदि A = \(\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि A'A = I
हल:

(ü) (i) यदि A = \(\left[\begin{array}{cc} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि A'A = I
हल:

प्रश्न 7.
(i) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right]\) एक सममित आव्यूह है।
हल:

∴ A' = A ⇒ A सममित आव्यूह है।

(ii) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right]\) एक सममित आव्यूह है।
हल:

∴ A' = A ⇒ A एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 8.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ll} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{array}\right]\) के लिए सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + A') एक सममित आव्यूह है।
हल:

(A + A') = A + A'
अतः A + A' एक सममित आव्यूह है।

(ii) (A - A') एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:

∴ (A - A)' = - (A - A)'
⇒ (A - A)' एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 9.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array}\right]\) तो \(\frac{1}{2}(A + A')\) तथा \(\frac{1}{2}\)(A - A') ज्ञात कीजिए।
हल:
(i)

(ii)

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) \(\left[\begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\)
हल:

अत: आव्यूह A एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त किया गया है।

(ii)
\(\left[\begin{array}{ccc} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right]\)
हल:

= सममित आव्यूह + विषम सममित आव्यूह
= A उत्तर
अतः आव्यूह A एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त किया गया है।

(iii) \(\left[\begin{array}{ccc} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{array}\right]\)
हल:


= सममित आव्यूह + विषम सममित आव्यूह
= A उत्तर
अतः आव्यूह A एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त किया गया है।

(iv) \(\left[\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\)
हल:

= सममित आव्यूह + विषम सममित आव्यूह
= A
अतः आव्यूह A एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त किया गया है।

प्रश्न संख्या 11 तथा 12 में सही उत्तर चुनिए :

प्रश्न 11.
यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB - BA एक
(A) विषम सममित आव्यूह है
(B) सममित आव्यूह है
(C) शून्य आव्यूह है
(D) तत्समक आव्यूह है
उत्तर:
(A) विषम सममित आव्यूह है

हल:
∵ A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं
A' = A
B' = B
तब (AB - BA)' = (AB)' - (BA)'
= B’A’ - A’B’
= BA - AB
= - (AB - BA)
∴AB - BA एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\) तो A + A' = I यदि α का मान है:
(A) \(\frac{\pi}{6}\)
(B) \(\frac{\pi}{3}\)
(C) π
(D) \(\frac{3 \pi}{2}\)
उत्तर:
(B) \(\frac{\pi}{3}\)

हल:

या अतः सही विकल्प (B) है।