RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1

प्रश्न 1.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{cccc} 2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17 \end{array}\right]\) के लिए ज्ञात कीजिए:
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃.
हल:
(i) आव्यूह की कोटि 3 × 4
(ii) अवयवों की संख्या = 3 × 4 = 12
(iii) a₁₃ = 19, a₂₁ = 35, a₃₃ = - 5, a₂₄ = 12, a₂₃ = \(\frac{5}{2}\).

प्रश्न 2.
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?
हल:
(i) 24 अवयवों वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ इस प्रकार हैं:
1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4

(ii) 13 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ 1 × 13 और 13 × 1

प्रश्न 3.
यदि किसी आव्यह में 18 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
हल:
(i) 18 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ
18 × 1, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 1 × 18.
(ii) 5 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ 1 × 5, 5 × 1

प्रश्न 4.
एक 2 × 2 आव्यूह A = [a_ij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं:
(i) a_ij = \(\frac{(i+j)^2}{2}\)
हल:

(ii) a_ij = \(\frac{i}{j}\)
हल:

(iii) a_ij = \(\frac{(i+2 j)^2}{2}\)
हल:

प्रश्न 5.
एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं:
(i) a_ij = \(\frac{1}{2}\) |- 3i - j|
हल:

(ii) a_ij = 2i - j
हल:
a_ij = 2i - j
a₁₁ = 2 - 1 = 1,
a₁₂ 2 - 2 = 0,
a₁₃ = 2 - 3 = - 1,
a₁₄ = 2 - 4 = - 2
a₂₁ = 4 - 1 = 3,
a₂₂ = 4 - 2 = 2
a₂₃ = 4 - 3 = 1,
a₂₄ = 4 - 4 = 0,
a₃₁ = 6 - 1 = 5,
a₃₂ = 6 - 2 = 4,
a₃₃ = 6 - 3 = 3,
a₃₄ = 6 - 4 = 2.
∴ 3 × 4 क्रम का आव्यूह
A = \(\left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right]\)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए :
(i) \(\left[\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ x & 5 \end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ll} y & z \\ 1 & 5 \end{array}\right]\)
हल:
हम जानते हैं कि समान आव्यूहों के संगत अवयव समान होते हैं। अतः
⇒ 4 = y, 3 = z, x = 1
⇒ x = 1, y = 4, z = 3

(ii) \(\left[\begin{array}{cc} x+y & 2 \\ 5+z & x y \end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ll} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\)
हल:
संगत अवयव समान रखने पर
x + y = 6, 5 + z = 5, xy = 8
⇒ z = 0
y = 6 - x को xy = 8 में रखने पर
x (6 - x) = 8 ⇒ x² - 6x + 8 = 0
⇒ x² - 6x + 8 = 0 ⇒ (x - 4) (x - 2)= 0
∴ x = 4, 2
⇒ x = 2, 4, y = 4, 2, z = 0

(iii) \(\left[\begin{array}{c} x+y+z \\ x+z \\ y+z \end{array}\right]\)= \(\left[\begin{array}{l} 9 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right]\)
संगत अवयव समान रखने पर
x + y + z = 9 .............. (1)
x + z = 5 ................ (2)
y + z = 7 ............. (3)
(1) में से (2) को घटाने पर
y= 9 - 5 = 4
(1) में से (3) को घटाने पर
x = 9 - 7 = 2
अब (2) से 2 + 2 = 5 ∴ z = 3
अतः x = 2, y = 4, z = 3. उत्तर

प्रश्न 7.
समीकरण \(\left[\begin{array}{cc} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{array}\right]\)= \(\left[\begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{array}\right] \)से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
संगत अवयवों को समान मानते हुए
\(\left[\begin{array}{cc} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{array}\right]\)
a - b = - 1,
2a - b = 0,
2a + c = 5,
3c + d= 13
(2) में से (1) को घटाने पर a = 1
(2) से b = 2
a का मान (3) में रखने पर
2 + c = 5 ∴ c = 3
c का मान (4) में रखने पर 3 × 3 + d = 13,
∴ d= 13 - 9 = 4
⇒ a = 1, b = 2,
c = 3, d = 4.

प्रश्न 8.
A = [a_ij]_{m × n} एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A) m < n (B) m > n
(C) m = n
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(C) m = n

हल:
∵ वर्ग मैट्रिक्स में पंक्ति तथा स्तम्भों की संख्या समान होती है।

प्रश्न 9.
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं?
\(\left[\begin{array}{cc} 3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x \end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{cc} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{array}\right]\)
(A) x = \(\frac{-1}{3}\), y = 7
(B) ज्ञात करना सम्भव नहीं है
(C) y = 7, x = \(\frac{-2}{3}\)
(D) x = \(\frac{-1}{3}\), y = \(\frac{-2}{3}\)
उत्तर:
(B) ज्ञात करना सम्भव नहीं है

हल:
माना \(\left[\begin{array}{cc} 3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x \end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{array}\right]\)
⇒ 3x + 7 = 0 ∴ x = \(\frac{-7}{3}\), y - 2 = 5
⇒ y = 7
एवं y + 1 = 8 ⇒ y = 7, 2 - 3x = 4
⇒ x = \(\frac{-2}{3}\)
∵ x = \(\frac{-2}{3}\) एवं x = \(\frac{-7}{3}\) साथ-साथ सम्भव नहीं हैं।
अतः सही विकल्प (B) होगा।

प्रश्न 10.
3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
उत्तर:
(D) 512
हल:
3 × 3 कोटि के आव्यूहों में कुल अवयव = 3 × 3 = 9
अवयव 0, या 1 रखने के कुल तरीके = 2
अतः 9 स्थानों पर 0 एवं 1 रखने के कुल प्रकार = 2⁹ = 512
अतः सही विकल्प (D) है।