RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Ex 2.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Ex 2.2

प्रश्न 1.
3 sin^-1 x = sin^-1 (3x - 4x³), x ∈\(\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\)
हल:
माना कि x = sin θ ⇒ θ = sin^-1 x
दायाँ पक्ष = sin^-1 (3x - 4x³)
= sin^-1 (3 sin θ - 4 sin³ θ)
= sin^-1 (sin 3θ) = 3θ = 3 sin^-1 x
अतः 3 sin^-1 x = sin^-1 (3x - 4x³)

प्रश्न 2.
3 cos^-1 x = cos^-1 (4x³ - 3x), x ∈ \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\)
हल:
माना कि x = cos θ ⇒ θ = cos^-1 x
दायाँ पक्ष = cos^-1 (4 cos³ θ - 3 cos θ)
= cos^-1 (cos 3θ)
= 3θ = 3 cos^-1 x
अतः 3 cos^-1 x = cos^-1 (4x³ - 3x)

प्रश्न 3.
tan^-1 \(\frac{2}{11}\) + tan^-1 \(\frac{7}{24}\) = tan^-1 \(\frac{1}{2}\)
हल:

प्रश्न 4.
2 tan^-1 \(\frac{1}{2}\) + tan^-1 \(\frac{1}{7}\) = tan^-1 \(\frac{31}{71}\)
हल:

प्रश्न 5.
tan^-1 \(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\), x ≠ 0
हल:

प्रश्न 6.
tan^-1\(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\), |x| > 1
हल:

प्रश्न 7.
tan^-1\(\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\), 0 < x < π
हल:
मानाँ कि y = tan^-1\(\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\)
हम जानते हैं कि cos 2A = 2 cos² A - 1 = 1 - 2 sin² A
या 1 + cos 2A = 2 cos²A, 1 - cos 2A = 2 sin² A
A = \(\frac{x}{2}\) रखने पर
1 + cos x = 2 cos² \(\frac{x}{2}\), 1 - cos x = 2 sin² \(\frac{x}{2}\)

प्रश्न 8.
tan^-1 \(\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\), \(\frac{-\pi}{4}\) < x < \(\frac{3 \pi}{4}\)
हल:

प्रश्न 9.
tan^-1\(\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\), |x| < a
हल:

प्रश्न 10.
tan^-1 \(\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a^3-3 a x^2}\right)\), a > 0; - \(\frac{a}{\sqrt{3}}\) < a < \(\frac{a}{\sqrt{3}}\)
हल:

प्रश्न 11.
tan^-1 [2 cos (2 sin^-1 \(\frac{1}{2}\))]
हल:

प्रश्न 12.
cot (tan^-1 a + cot^-1 a)
हल:
cot (tan^-1 a + cot^-1 a) = cot \(\frac{\pi}{2}\)
[∵ tan^-1 a + cot^-1 a = \(\frac{\pi}{2}\)]
= 0
[∵ cot = \(\frac{\pi}{2}\) = 0]

प्रश्न 13.
tan\(\frac{1}{2}\left[\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}+\cos ^{-1} \frac{1-y^2}{1+y^2}\right]\), |x| < 1, y > 0 तथा xy < 1
हल:

प्रश्न 14.
यदि sin(sin^-1\(\frac{1}{5}\) + cos^-1 x) = 1, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
यदि tan^-1\(\frac{x-1}{x-2}\) + tan^-1 \(\frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4}\), तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 16.
sin^-1(sin\(\frac{2 \pi}{3}\))
हल:
sin^-1(sin\(\frac{2 \pi}{3}\)), sin^-1 की मुख्य मान शाखा \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) है
= sin^-1 [sin \(\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\)]
= sin^-1 (sin \(\frac{\pi}{3}\)) = \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 17.
tan^-1 (tan\(\frac{3 \pi}{4}\))
हल:

प्रश्न 18.
\(\tan \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cot ^{-1} \frac{3}{2}\right)\)
हल:

प्रश्न 19.
cos^-1 \(\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right)\) का मान बराबर है-
(A) \(\frac{7 \pi}{6}\)
(B) \(\frac{5 \pi}{6}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{\pi}{6}\)
हल:

उत्तर:
(B) \(\frac{5 \pi}{6}\)

प्रश्न 20.
sin\(\left(\frac{\pi}{3}-\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\) का मान है-
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{4}\)
(D) 1
हल:
sin^-1 (- x) = - sin^-1 x

अत: सही विकल्प (D) है

उत्तर:
(D) 1

प्रश्न 21.
tan^-1 √3 - cot^-1 (- √3) का मान है
(A) π है
(B) -\(\frac{\pi}{2}\) है
(C) 0 है
(D) 2√3 है
हल:
tan^-1 (√3) - cot^-1 (- √3)
= tan^-1(√3) - (π - cot^-1 √3)
[∵ cot^-1 (- x) = π - cot^-1 x]
= (tan^-1 √3 + cot^-1 √3) - π
= \(\frac{\pi}{2}\) - π
= - \(\frac{\pi}{2}\)
अत: सही विकल्प (B) है