RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0, P(B/A) ज्ञात कीजिए यदि (i) A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है (ii) A ∩ B = Φ
हल:
(i) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
[∵ A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है।]

प्रश्न 2.
एक दंपति के दो बच्चे हैं
(i) दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि दोनों बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
प्रतिदर्श समष्टि S = {MM, MF, FM, FF}, यहाँ पर M लड़का और F लड़की है।
हल:
(i) घटना A = दोनों बच्चे लड़के हैं = {M, M}
B = दोनों बच्चों में से कम से कम एक लड़का है
= {MF, FM, MM}
∴ A ∩ B = {MM}
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{4}\) तथा P(B) = \(\frac{3}{4}\)
∴ P(A/B) = \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\frac{1}{4} \div \frac{3}{4}=\frac{1}{3}\)

(ii) माना कि
A = दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं = {FF}
B = बड़ा बच्चा लड़की है = {FF, FM}
∴ A ∩ B = {FF}
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{4}\) तथा P(B) = \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{4}\)
∴ P(A/B) = \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\frac{1}{4} \div \frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 3.
कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं । सफेद बालों वाले एक व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।
हल:
प्रश्नानुसार पुरुषों की संख्या समान है।
घटना E₁ = पुरुष का होना,
E₂ = महिला का होना
A : सफेद बाल का होना
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\), P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
P(A/E₁) = 5% = 0.05, P(A/E₂) = 0.25% = 0.0025
अत: बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से यादृच्छया चुने गए अधिक से अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों? .
हल:
प्रश्नानुसार किसी व्यक्ति के दाहिने हाथ से काम करने की प्रायिकता (p)
= 90% = 0.9 = \(\frac{9}{10}\)
∴ q = 1 - \(\frac{9}{10}\) = 1 - \(\frac{1}{10}\) = 17 और n = 10
P(अधिक से अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करते हैं)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)
= 1 - [P(7) + P(8) + P(9) + P(10)]

प्रश्न 5.
एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिह्न X अंकित है और शेष 15 पर चिह्न Yअंकित है। कलश में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिह्न को नोट (लिख) करके उसे कलश में प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें निकाली जाती हों, तो निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
(i) सभी पर चिह्न X अंकित हो।
(ii) 2 से अधिक पर चिह्न Y नहीं अंकित हो।
(iii) कम से कम एक गेंद पर चिह्न Y अंकित हो।
(iv) 'X' तथा 'Y' चिह्नों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों।
हल:
कुल गेंदों की संख्या = 25
माना कि घटना A : गेंद पर X अंकित होना
तथा B : गेंद पर Y अंकित होना
n = 6, गेंदें जो कलश से निकाली गईं।
∴ P(A) = \(\frac{10}{25}\) = \(\frac{2}{5}\) तथा P(B) = 1 - \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)

(i) P(सभी पर चिह्न X हो) = P(x = 6)
= ⁶C₆p⁶q⁰ = \(\left(\frac{2}{5}\right)^6\)

(ii) घटना : 2 से अधिक गेंद पर Y अंकित न होना
= {(6X, 0Y), (5X, 1Y), (4X, 2Y)}
∴ P(दो से अधिक गेंदों पर Y अंकित नहीं होना)
= P(6) + P(5) + P(4)

(ii) घटना : कम से कम एक गेंद पर Y अंकित हो
= {(5X, Y), (4X, 2Y), (3X, 3Y), (2X, 4Y), (1X, 5Y), (OX, 6Y)}
P(कम से कम एक गेंद पर Y लिखा हो)
= P(5) + P(4) + P(3) + P(2) + P(1) + P(0)
= 1 - P(6) = 1 - \(\left(\frac{2}{5}\right)^6\)

(iv) घटना : X तथा Y चिह्नों से अंकित गेंदों की संख्या समान हो। P{(3X, 3Y)}

प्रश्न 6.
एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं । इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा पार कर लेगा \(\frac{5}{6}\) है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा)?
हल:
प्रश्नानुसार कुल बाधाओं की संख्या = 10
माना कि बाधा को पार करने की प्रायिकता
(p) = \(\frac{5}{6}\)
अतः बाधा को पार न करने की प्रायिकता
(q) = 1 - \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{1}{6}\)
∴ P(दो से कम बाधाओं को पार न करना)
= P(10) + P(9)
= ¹⁰C₁₀ (q)⁰ p¹⁰ + ¹⁰C₉(q)¹ (P)⁹

प्रश्न 7.
एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।
हल:
[एक पासे के उछालने पर] पासे पर 6 आने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{6}\) ⇒ p = \(\frac{1}{6}\)
∴ पासे पर 6 न आने की प्रायिकता
(q) = 1 - \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
P(पासे पर 5 उछालों पर 2 बार 6 और 3 बार 6 न आना)

प्रश्न 8.
यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे।
हल:
हम जानते हैं कि एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं। इसमें 52 पूर्ण सप्ताह हैं और 2 दिन शेष रहते हैं। इन दोनों दिनों को इस प्रकार लिखा जा सकता है
(सोमवार , मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार), (बुधवार , बृहस्पतिवार), (बृहस्पतिवार, शुक्रवार), (शुक्रवार, शनिवार), (शनिवार, रविवार), (रविवार, सोमवार)
इस प्रकार के कुल समूह = 7
इनमें से मंगलवार दो बार आता है। यानी (सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार)
∴ लीप वर्ष में 53 मंगलवार आने की प्रायिकता = \(\frac{2}{7}\)

प्रश्न 9.
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षणों में कम से कम 4 सफल होंगे।
हल:
प्रश्नानुसार सफल तथा असफल होने की प्रायिकता का अनुपात = 2:1
अब माना कि सफल होने की प्रायिकता p है और असफल होने की प्रायिकता q है।
अतः p = 2q = 2(1 - P) = 2 - 2p
या 3p = 2, p = \(\frac{2}{3}\), ∴ q = \(\frac{1}{3}\)
P(अगले 6 परीक्षणों में कम से कम 4 सफलताएँ हैं)
= P(4) + P(5) + P(6)
= ⁶C₄ q² p⁴ + ⁶C₅ qp⁵ + p⁶

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक न्याय्य सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम से कम एक चित की प्रायिकता 90% से अधिक हो।
हल:
माना कि सिक्के को n बार उछाला जाता है
अतः एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता
(p) = \(\frac{1}{2}\)
तथा एक सिक्के को उछालने पर चित न आने की प्रायिकता
(q) = 1 - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
n सिक्कों को उछालने पर कोई भी चित न आने की प्रायिकता
= \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\)
तथा कम से कम एक चित आने की प्रायिकता = 1 - \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\)

अतःx का मान 4 या अधिक है
∴ n > 4 [∵ 2⁴ = 16 और 2³ = 8]
∴ 4 सिक्के उछालने पर कम से कम एक चित आने की प्रायिकता 90% होगी।

प्रश्न 11.
एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
एक सिक्के को उछालने पर 6 आने की प्रायिकता
(p) = \(\frac{1}{6}\)
और 6 न आने की प्रायिकता
(q) = 1 - \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

(i) P(पहली बार में 6 प्राप्त होना)
= \(\frac{1}{6}\)

(ii) P(दूसरी बार में 6 आना)
= \(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}\)

(iii) P(तीसरी बार में 6 आना)
= \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}\)

(iv) P(तीन उछालों में किसी में भी 6 नहीं आए)
= \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{125}{216}\)

पहली बार में 6 आने पर उसे 1 रुपया मिलता है।
दूसरी बार में 6 आने पर - 1 + 1 = 0 रुपया मिलता है।
तीसरी बार में 6 आने पर - 1 - 1 + 1 = - 1 रुपया मिलता है।
तीनों बार में 6 नहीं आने पर = - 1 - 1 - 1 = - 3 रुपये मिलते
∴ प्रायिकता बंटन इस प्रकार है-

प्रश्न 12.
मान लीजिए हमारे पास A, B, C और D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है। यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स A, बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

हल:
4 बॉक्स में से एक बॉक्स चुने जाने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)
अर्थात् P(E) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = \(\frac{1}{4}\)
(i) माना कि E घटना लाल रंग की टुकड़ी निकलना है, बॉक्स A में 10 टुकड़ियाँ हैं जिनमें 1 लाल है।
∴ P(E/E₁) = \(\frac{1}{10}\)
इसी प्रकार P(E/E₂) = \(\frac{6}{10}\), P(E/E₃) = \(\frac{8}{10}\)
और P(E/E₄) = 0
∴ बेज़ प्रमेय से

(ii) पुनः बेज़ प्रमेय से P(E₂/E)

तथा (iii) बेज़ प्रमेय से P(E₃/E)

⇒ लाल रंग की टुकड़ी बॉक्स A, बॉक्स B, बॉक्स C से चुने जाने की प्रायिकता क्रमशः \(\frac{1}{5}\), \(\frac{2}{5}\) और \(\frac{8}{15}\) है।

प्रश्न 13.
मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान और योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यादृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रस्त हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि घटना E₁ = ध्यान व योग से लाभ की घटना
E₂ = दवा द्वारा इलाज की घटना
E = दिल का दौरा पड़ने की घटना
P(E₁) = \(\frac{1}{2}\), P(E) = \(\frac{1}{2}\), P(E) = 40% = 0.4
ध्यान व योग से दिल का दौरा पड़ने का खतरा 30% कम हो जाता है।
अर्थात् दिल का दौरा 70% खतरा है।
या E/E₁ = ध्यान व योग से दिल का दौरा पड़ता है।
∴ P(E/E₁) = 0.40 × 0.7 = 0.28
दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने का 25% खतरा कम हो जाता है।
अर्थात् दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने से खतरा 75% है।
∴ P(E/E₂) = 0.4 × 0.75 = 0.30
इस प्रकार P(E₁) = \(\frac{1}{2}\), P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
P(E/E₁) = 0.28, P(E/E₂) = 0.30
अतः बेज़ प्रमेय से P(E₁/E)

प्रश्न 14.
यदि दो कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हो तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता है? (मान लीजिए कि सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है।)
हल:
2 × 2 कोटि के सारणिक में कुल अवयव 4 होते हैं । इसलिये सारणिकों द्वारा बनाई गई संख्या = 2⁴ = 16
सारणिक का धनात्मक मान निम्न स्थितियों में होगा

सारणिक का धनात्मक मान होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{16}\)

प्रश्न 15.
एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं।
पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात हैं:
P(A के असफल होने की) = 0.2
P(B के अकेले असफल होने की) = 0.15
PA और B के असफल होने की) = 0.15
तो निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
(i) P(A असफल/B असफल हो चुकी हो)
(ii) P(A के अकेले असफल होने की)।
हल:
माना कि घटना A और B के असफल होने को A, B से व्यक्त किया गया है।
प्रश्नानुसार P(A) = 0.2
P(A और B का असफल होना)
= P(A ∩ B) = 0.15
P(B के अकेले असफल होना)
= P(B) - P(A ∩ B)
= 0.15
या P(B) - 0.15 = 0.15
∴ P(B) = 0.15 + 0.15 = 0.30
अतः P(A/B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) = \(\frac{0.15}{0.30}\)
= \(\frac{1}{2}\) = 0.5
P(A अकेले असफल होता है)
= P(A अकेले ही)
= P(A) - P(A ∩ B)
= 0.2 - 0.15 = 0.05

प्रश्न 16.
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं तथा थैला II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला I से थैला II में स्थानान्तरित किया जाता है और तब एक गेंद थैले II से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानान्तरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
थैले I में 3 लाल और 4 काली गेंदें हैं।
तथा थैले II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
माना कि घटना E₁ थैले I से लाल गेंद निकाली गई
तथा घटना E₂ थैले I से काली गेंद निकाली गई।
∴ P(E₁) = \(\frac{3}{7}\), P(E₂) = \(\frac{4}{7}\)
घटना A : लाल रंग की गेंद निकालना
एक लाल गेंद थैले I से निकाल कर II में रख दी गई। इस प्रकार थैले II में अब 5 लाल और 5 काली गेंदें हो गईं।
∴ P(A/E₁) = \(\frac{5}{10}\)
एक काली गेंद थैले I से निकाल कर II में रख दी। इस प्रकार दूसरे थैले में 4 लाल और 6 काली गेंदें हैं।
अतः P(A/E₂) = \(\frac{4}{10}\)
∴ बेज़ प्रमेय से

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए:

प्रश्न 17.
यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0, P(B/A) = 1 तब
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ A
(C) B = Φ
(D) A = Φ
उत्तर:
(A)

हल:

⇒ P(B ∩ A) = P(A)
⇒ A ⊂ B
इसलिए सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 18.
यदि P(A/B) > P(A) तब निम्न में से कौन सही है
(A) P(BIA) < P(B)
(B) P(ARB) < P(A). P(B)
(C) P(B/A) > P(B)
(D) P(B/A) = P(B)
उत्तर:
(C) P(B/A) > P(B)

हल:

इसलिए सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 19.
यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A) + P(B) – P(A और B) = P(A) तब
(A) P(B/A) = 1
(B) P(A/B) = 1
(C) P(B/A) = 0
(D) P(A/B) = 0
उत्तर:
(B) P(A/B) = 1

हल:
P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A)
⇒ P(B) = P(A ∩ B)
⇒ 1 = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
⇒ 1 = P(A|B)
इसलिए सही विकल्प (B) है।