RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1

प्रश्न 1.
यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E) = 0.6, . P(F) = 0.3 और P(E ∩ F) = 0.2 तो P(E/F) और P(F/E) ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार
P(E) = 0.6, P(F) = 0.3, P(E ∩ F) = 0.2
हम जानते हैं कि
P(E/F) = $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{0.2}{0.3}=\frac{2}{3}$
तथा P(F/E) = $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{E})}=\frac{0.2}{0.6}=\frac{1}{3}$

प्रश्न 2.
P(A/B) ज्ञात कीजिए। P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32
हल:
प्रश्नानुसार P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = .32
हम जानते हैं कि
P(A/B) = $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\frac{0.32}{0.5}=\frac{32}{50}=\frac{16}{25}$

प्रश्न 3.
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B/A) = 0.4 ज्ञात कीजिए
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A/B)
(iii) P(A ∪ B)
हल:
प्रश्नानुसार
P(A) = 0.8, P(B) = 0.5, P(B/A) = 0.4

(i) ∵ P(B/A) = $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$
अतः
P(A ∩ B) = P(A). P(B/A)
= 0.8 × 0.4 = 0.32

(ii) P(A/B) = $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\frac{0.32}{0.5}=\frac{32}{50}=\frac{16}{25}$
= 0.64

(iii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.8 + 0.5 - 0.32
= 1.30 - 0.32 = 0.98

प्रश्न 4.
P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए यदि 2P(A) = P(B) = $\frac{5}{13}$ और P(A/B) = $\frac{2}{5}$
हल:
प्रश्नानुसार

प्रश्न 5.
यदि P(A) = $\frac{6}{11}$, P(B) = $\frac{5}{11}$, और P(A ∪ B) = $\frac{7}{11}$ तो ज्ञात कीजिए
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A/B)
(iii) P(B/A)
हल:
प्रश्नानुसार
P(A) = $\frac{6}{11}$, P(B) = $\frac{5}{11}$, और P(A ∪ B) = $\frac{7}{11}$

(i)
हम जानते हैं कि
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
अतः

(ii)

(iii)
तथा

निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक P(E/F) ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 6.
एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है
(i) E: तीसरी उछाल पर चित, F : पहली दोनों उछालों पर चित।
(ii) E: न्यूनतम दो चित, F : अधिकतम दो चित
(iii) E : अधिकतम दो पट, F : न्यूनतम एक पट।
हल:
(i) एक सिक्के को तीन बार उछालने पर घटित घटना यहाँ पर S = {HHH, HHT, THH, HTH, TTH, THT, HTT, TTT}
⇒ n(s) = 8
E = {HHH, THH, HTH, TTH} (E : तीसरी उछाल पर चित)
F = {HHT, HHH} (F : पहली दोनों उछाल पर चित)
E ∩ F = [HHH]
अब

(ii) E: 3 उछालों में कम से कम दो चित आना = {HHT, HTH, THH, HHH}
F : तीन उछालों में अधिकतम 2 चित आना = {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}
E ∩ F = {HHT, HTH, THH}
अर्थात्
P(E ∩ F) = $\frac{3}{8}$, P(F) = $\frac{7}{8}$ ∵ n(s) = 8
अतः

(iii) E : अधिकतम 2 पट = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT}
F : न्यूनतम 1 पट = {THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT}
E ∩ F = {THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT}

प्रश्न 7.
दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है
(i) E : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है।
F : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii) E: कोई पट प्रकट नहीं होता है।
F : कोई चित प्रकट नहीं होता।
हल:
(i) यहाँ S = {HH, HT, TH, TT}
∴ n(S) = 4
E : एक सिक्के पर पट प्रकट होना
= {HT, TH} ⇒ n(E) = 2
⇒ P(E) = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$
F : एक सिक्के पर चित प्रकट होना
= {HT, TH} ⇒ n(F) = 2
⇒ P(F) = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$
अब P(E/F) = $\frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ = $\frac{1}{2}$ ÷ $\frac{1}{2}$ = 1

(ii) E : कोई पट प्रकट नहीं होता = {HH}
F : कोई चित प्रकट नहीं होता = {TT}
∴ E F = Φ = { } ⇒ n(E ∩ F) = 0
⇒ P(E ∩ F) = 0, P(F) = $\frac{1}{4}$, P(E) = $\frac{1}{4}$
∴ P(E/F) = $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}$ = 0 ÷ $\frac{1}{4}$ = 0

प्रश्न 8.
एक पासे को तीन बार उछाला गया है
E: तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना।
F : पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना।
हल:
एक पासे को 3 बार उछाला गया
∴ प्रतिदर्श समष्टि में 6 × 6 × 6 = 216 परिणाम है।
E : तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होती है।
= {(1, 1, 4), (1, 2,4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (1,5, 4), (1, 6, 4)
(2, 1, 4), (2, 2,4), (2, 3, 4), (2, 4, 4), (2,5,4), (2, 6, 4)
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3,4, 4), (3,5,4), (3, 6,4)
(4,1, 4), (4, 2, 4), (4, 3, 4), (4, 4, 4), (4,5,4),(4,6,4)
(5, 1, 4), (5, 2, 4), (5, 3, 4), (5,4,4), (5, 5, 4), (5, 6,4)
(6, 1,4), (6, 2, 4), (6, 3, 4), (6, 4, 4), (6, 5, 4), (6, 6, 4)}
= 36 परिणाम
F = पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना
= (6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)
= 6 परिणाम
E ∩ F = {(6, 5, 4)}

प्रश्न 9.
एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र यादृच्छया खड़े हैं
E : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है।
F : पिता मध्य में खडे हैं।
हल:
यदि पुत्र, माता तथा पिता को क्रमशः S, M, F से व्यक्त किया जाए तो पुत्र, माता व पिता चित्र में इस प्रकार आ सकते हैं-
(S, M, F), (S, F, M), (M, F S), (M, S, F), (F, M, S), (F, S, M)
अर्थात् प्रतिदर्श समष्टि के 6 परिणाम हैं।
घटना E : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है।
= {(S, M, F), (S, F, M), (M, F, S), (F, M, S)}
⇒ n(E) = 4 ∴ P(E) = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$
घटना F : पिता मध्य में खड़े हैं।
= {(M, F, S), (S, F, M)}
⇒ n(F) = 2 ∴ P(F) = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$
∴ E ∩ F : {(M, F S), (S, F, M)} ⇒ n(E ∩ F) = 2
∴ P(E ∩ F) = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$
अब P(E/F) = $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})} = \frac{1}{3} \div \frac{1}{3}$
= 1

प्रश्न 10.
एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया है-
(a) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
(b) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
हल:
जब दो पासे फेंके जाते हैं तो प्रतिदर्श समष्टि के 6 × 6 = 36 परिणाम होते हैं।
(a) n(S) = 6 × 6 = 36
माना कि A: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की प्रायिकता है
= {(6,4), (4,6), (5,5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
B : काले पासे पर 5 प्रकट होता है
= {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
⇒ n(B) = 6 ⇒ P(B) = $\frac{6}{36}$
A B = {(5, 5), (5, 6)}
P(A ∩ B) = $\frac{2}{36}$
∴ PA/B) = $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ = $\frac{2}{36} ÷ \frac{6}{36}$ = $\frac{2}{6}$
= $\frac{1}{3}$

(b) माना कि A = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग = 8
= {(2,6), (3,5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
माना कि B = लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
= लाल पासे पर संख्या 1, 2, 3 प्रकट हो सकती है।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2,5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
n(B) = 18

प्रश्न 11.
एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F{2, 3} और G = {2, 3, 4,5} के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए
(i) P(E/F) और P(F/E)
(ii) P(E/G) और P(G/E)
(iii) P(E ∪ F/G) और P(E ∩ F/G)
हल:
एक पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 या 6 प्रकट हो सकता है। अर्थात् प्रतिदर्श समष्टि के 6 परिणाम हैं। ∴ n(S) = 6
E = {1, 3, 5}, F{2, 3}, G{2, 3, 4, 5}
(i) E ∩ F = {3} ⇒ n(E ∩ F) = 1

(ii) E = {1, 3, 5},G = {2, 3, 4, 5}, E ∩ G = {3, 5}

(iii) E = {1, 3, 5}, F = {2, 3},G = {2, 3, 4, 5}
E ∩ G = {3, 5},
F ∩ G = {2, 3},
E ∩ F = {3}
(E ∩ F) ∩ G = {3}

प्रश्न 12.
मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे लड़का या लड़की होना समसम्भाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता क्या है यदि यह दिया गया है कि (i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है (ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
हल:
माना कि लड़कों को B₁, B₂ और लड़कियों को G₁, G₂ से व्यक्त करें तो
प्रतिदर्श समष्टि = {(B₁, B₂), (B₁, G₂), (G₁, B₂), (G₁, G₂)}
E = दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं = {G₁, G₂}
F = छोटा बच्चा लड़की है = {(G₁,G₂), (B₁, G₂)}
G = न्यूनतम एक बच्चा लड़की है
= {(G₁, B₂), (G₁, G₂), (B₁, G₂)}

(i) E ∩ F = {(G₁, G₂)}, P(E ∩ F) = $\frac{1}{4}$, P(F) = $\frac{2}{4}$
∴ P(E/F) = $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}$ = $\frac{1}{4} \div \frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$

(ii) E ∩ G = {(G₁, G₂)}, P(E ∩ G) = $\frac{1}{4}$, P(G) = $\frac{3}{4}$
∴ P(E ∩ G) = $\frac{P(E \cap G)}{P(G)}$
= $\frac{P(E \cap G)}{P(G)}$
= $\frac{1}{4} \div \frac{3}{4}$ = $\frac{1}{3}$

प्रश्न 13.
एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न, 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न, 500 बहु-विकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहु-विकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है। यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है तो एक आसान प्रश्न की बहु-विकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
कुल प्रश्न = 300 + 200 + 500 + 400 = 1400
माना कि E : 'आसान प्रश्न' ⇒ n(E) = 300 + 500 = 800
F : 'बहु-विकल्पीय प्रश्न' ⇒ n(F) = 500 + 400 = 900
∴ E ∩ F : 'आसान बहु-विकल्पीय प्रश्न' ⇒ n(E ∩ F) = 500
अब $\mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}\right)=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{500 / 1400}{900 / 1400}$
= $\frac{5}{9}$

प्रश्न 14.
यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो पासों को फेंकने से प्रतिदर्श समष्टि के परिणाम = 6 × 6 = 36 हैं।
मान लिया A = दो संख्याओं का योग 4 है = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
⇒ n(A) = 3
दो पासों को फेंकने पर समान संख्या वाले परिणाम = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
B = जब संख्या भिन्न हो तो ऐसे परिणाम = 36 - 6 = 30
A ∩ B = {(1, 3), (3, 1)} = n(A ∩ F) = 2

प्रश्न 15.
एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंकें और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो सिक्के को उछालें। घटना न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना दिया गया है तो घटना 'सिक्के पर पट प्रकट होने' की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
परीक्षण के परिणामों को चित्र से व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार के चित्र को वृक्षारेख (Tree Diagram) कहते हैं । परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि है
S = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,H), (1, T), (2,H), (2,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T)} ∴ n(S) = 20
E = 'सिक्का पट दर्शाता है'
= {(1,T), (2, T), (4,T), (5, T)}
F = कम से कम एक पासा 3 दर्शाता है
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 3)}
⇒ n(F) = 7, E ∩ F = Φ

निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें :

प्रश्न 16.
यदि P(A) = $\frac{1}{2}$, P(B) = 0, P(A/B) है
(A) 0
(B) $\frac{1}{2}$
(C) परिभाषित नहीं
(D) 1
उत्तर:
(C) परिभाषित नहीं

हल:
P(A|B) = $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
जोकि अपरिभाषित है जब P(B) = 0 या B = { } = Φ
अर्थात् विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A/B) = P(B/A) ≠ 0 तब
(A) A ⊂ B
(B) A = B
(C) A ∩ B = Φ
(D) P(A) = P(B)
उत्तर:
(D) P(A) = P(B)

हल:
दिया है P(A|B) = P(B/A) ≠ 0
⇒ $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$ = $\frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
⇒ P(B) = P(A)
∵ A ∩ B = B ∩ A ∴ P(A ∩ B) = P(B ∩ A)
अर्थात् विकल्प (D) सही है।