RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन Ex 12.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन Ex 12.1

ग्राफीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए:

प्रश्न 1.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
प्रश्नानुसार उद्देश्य फलन Z = 3x + 4y
तथा अवरोध हैं x + y ≤ 4, x, y ≥ 0

(i) x + y ≤ 4 का आरेख
रेखा x + y = 4, बिन्दु A(4, 0) और B(0, 4) से होकर जाती है।

दिए गए समीकरण x + y ≤ 4 को समीकरण में बदलने पर प्राप्त x = 0, y = 0 को रखने पर 0 ≤ 4 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु इस क्षेत्र में स्थित है।
⇒ x + y ≤ 4 के क्षेत्र रेखा x + y = 4 और इसके नीचे मूल बिन्दु की ओर है।
(ii) x ≥ 0, का क्षेत्र -अक्ष की दायीं ओर y-अक्ष है।
(iii) y ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर है और x-अक्ष के ऊपर है, इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र ∆OAB है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु 0(0, 0), A(4, 0) तथा B(0, 4)।
अब इन कोनीय बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे-

कोनीय बिन्दु	Z के संगत मान Z = 3x + 4y
O(0, 0)	Z = 3 × 0 + 4 × 0 = 0
A(4, 0)	Z = 3 × 4 + 4 × 0 = 12
B(0, 4)	Z = 3 × 0 + 4 × 4 = 16 ← अधिकतम

अतः Z अधिकतम B(0, 4) पर है तथा अधिकतम मान = 16; अतः इष्टतम हल x = 0, y = 4

प्रश्न 2.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = - 3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए
x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.
हल:
प्रश्नानुसार Z = - 3x + 4y, अवरोध हैं
x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

(i) x + 2y ≤ 8 का क्षेत्र रेखा x + 2y = 8, A(8, 0) और B(0, 4) से गुजरती है, रेखा AB इसका आरेख है x = 0, y = 0, असमिका x + 2y ≤ 8 में रखने पर 0 ≤ 8 जो सत्य हैं।
अर्थात् x + 2y ≤ 8 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x + 2y = 8 पर और उसके नीचे मूल बिन्दु की ओर हैं।

(ii) 3x + 2y ≤ 12 का क्षेत्र-रेखा 3x + 2y = 12 बिन्दु P(4, 0) और Q(0, 6) से होकर जाती है। इसका आरेख PQ है। अत: 3x + 2y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 12 जो सत्य है। अर्थात् इसके क्षेत्र के बिन्दु रेखा 3x + 2y = 12 पर और इसके नीचे मूल बिन्दु की ओर है।

(iii) x ≥ 0, इस क्षेत्र के बिन्दु.y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर

(iv) y ≥ 0 का इस क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
इस प्रकार इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र OBRP है।
रेखा AB = x + 2y = 8 ...... (1)
और PQ = 3x +2y = 12 ........ (2)
बिन्दु R पर प्रतिच्छेदन करती है।
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर
2x = 12 - 8 = 4 ∴ x = 2
समीकरण (1) से
2 + 2y = 8, y = 3
∴ बिन्दु R(2, 3) हैं।
इस प्रकार कोनीय बिन्दु हैं O(0, 0), P(4, 0), R(2, 3) तथा B(0, 4)।अब इन कोनीय बिन्दुओं का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	Z के संगत मान Z = - 3x + 4y
O(0, 0)	Z = - 3 × 0 + 4 × 0 = 0
P(4, 0)	Z = - 3 × 4 + 4 × 0 = - 12 → न्यूनतम
R(2, 3)	Z = - 3 × 2 + 4 × 3 = - 6
B(0, 4)	Z = - 3 × 0 + 4 × 4 = 16

अतः कोनीय बिन्दु P(4,0) पर Z का न्यूनतम मान = - 12 

प्रश्न 3.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए:
3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
Z = 5x + 3y, अवरोध 3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
(i) 3x + 5y ≤ 15 का क्षेत्र
रेखा 3x + 5y = 15 बिन्दु A(5, 0) और B(0, 3) से गुजरती है। इसका आरेख रेखा AB है।
3x + 5y ≤ 15 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 15 जो सत्य है।
अर्थात् इस क्षेत्र में बिन्दु AB पर और इसके नीचे मूल बिन्दु की ओर है।

(ii) 5x + 2y ≤ 10 का क्षेत्र रेखा 5x + 2y = 10 बिन्दु P(2,0) और Q(0, 5) से होकर जाती है। इसका आरेख PQ है।
अब 5x + 2y ≤ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 10 जो सत्य है।
अर्थात् 5x + 2y ≤ 10 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PQ पर और PQ के नीचे मूल बिन्दु की ओर है।

(iii) x ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु)-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर हैं।

(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
इस प्रकार इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र OBRP है। रेखा AB = 3x + 5y = 15 और PQ = 5x + 2y = 10 बिन्दु \(\mathrm{R}\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)\) पर मिलती है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं O(0, 0), P(2, 0), \(\mathrm{R}\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)\) तथा B(0, 3)। अब इन कोनीय बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

प्रश्न 4.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिएः
x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x, y ≥ 0
हल:
प्रश्नानुसार Z = 3x + 5y अवरोध x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x, y ≥ 0.
(i) x + 3y ≥ 3 का क्षेत्र रेखा x + 3y = 3 बिन्दु A(3, 0) और B(0, 1) से होकर जाती है।
इसका आरेख रेखा AB है।

x + 3y ≥ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 3 जो असत्य है।
अर्थात् x + 3y ≥ 3 के बिन्दु रेखा
x + 3y = 3 पर और उसके ऊपर है।

(ii) x + y ≥ 2 का क्षेत्र-
रेखा x + y = 2 बिन्दु C(2, 0) और D(0, 2) से होकर जाती है। इसका आरेख CD है।
x + y ≥ 2 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 2 जो असत्य है।
अर्थात् x + y ≥ 2 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x + y = 2 पर और उसके ऊपर हैं।

(ii) x ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर हैं।

(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर हैं। इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र = YDRAX है जबकि R बिन्दु AB, x + 3y = 3 और CD x + y = 2 का प्रतिच्छेदन बिन्दु है। AB और CD के समीकरणों को हल करने से बिन्दु R के निर्देशांक \(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\) प्राप्त होते हैं।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं A(3, 0), R\(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\), D(0, 2)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	Z के संगत मान Z = 3x + 5y
A(3, 0)	Z = 3 × 3 + 5 × 0 = 9
R\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)	Z = 3 × \(\frac{3}{2}\) + 5 × \(\frac{1}{2}\) = 7 ← न्यूनतम
D(0, 2)	Z = 3 × 0 + 5 × 2 = 10

अतः कोनीय बिन्दु R\(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\) पर का न्यूनतम मान = 7

प्रश्न 5.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
हल:
प्रश्नानुसार Z = 3x + 2y, अवरोध x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0

(i) x + 2 ≤ 10 का क्षेत्र-
रेखा x + 2y = 10 बिन्दु A(10, 0) और B(0, 5) से गुजरती है।

∴ x + 2y = 10 का आरेख रेखा AB हैं।
x + 2y ≤ 10 में x = 0, y = 0 रखने से 0 ≤ 10 जो सत्य है।
अर्थात् x + 2y ≤ 10 क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और AB के नीचे हैं।

(ii) 3x + y ≤ 15 का क्षेत्र
रेखा 3x + y = 15 बिन्दु P(5, 0) और Q(0, 15) से होकर जाती है।
∴ 3x + y = 15 का आरेख PQ है।
3x + y ≤ 15 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 15 जो सत्य है।
अर्थात् 3x + y ≤ 15 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PQ पर और PQ के नीचे हैं।

(iii) x ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और इसके दायीं ओर हैं।

(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और इसके ऊपर हैं। समस्या का सुसंगत क्षेत्र OBRP है जबकि R बिन्दु
AB और PQ का प्रतिच्छेदन बिन्दु है।
AB = x - 2y = 10; PQ = 3x + y = 15 को हल करने पर बिन्दु P(4, 3) प्राप्त होता है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं O(0, 0), P(5, 0), R(4, 3) तथा B(0, 5)।
अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे-
कोनीय बिन्दु-Z के संगत मान Z = 3x + 2y

कोनीय बिन्दु	Z के संगत मान Z = 3x + 2y
O(0, 0)	Z = 3 × 0 + 2 × 0 = 0
P(5, 0)	Z = 3 × 5 + 2 × 0 = 15
R(4, 3)	Z = 3 × 4 + 2 × 3 = 18 ← अधिकतम
B(0, 5)	Z = 3 × 0 + 2 × 5 = 10

अतः कोनीय बिन्दु R(4, 3) पर Z का अधिकतम मान = 18

प्रश्न 6.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए
2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन Z = x + 2y,
अवरोध 2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x, y ≥ 0
(i) प्रश्नानुसार 2x + y ≥ 3 का क्षेत्र रेखा 2x + y = 3 बिन्दु A\(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\) और B(0, 3) से होकर जाती है।
∴ 2x + y = 3 का आरेख रेखा AB है।
2x + y ≥ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 3
जो सत्य नहीं है।
अर्थात् 2x + y ≥ 3 क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और उसके ऊपर हैं।

(ii) x + 2y ≥ 6 का क्षेत्र
x + 2y = 6 बिन्दु P(6, 0) और B(0, 3) से होकर जाती हैं।
∴ x + 2y = 6 का आरेख PB है।
x + 2y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 6 जो सत्य नहीं
अर्थात् x = 2y ≥ 6 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PB पर और उसके ऊपर हैं।

(iii) x ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु.-अक्ष पर और इसके दायीं ओर हैं।

(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और इसके ऊपर हैं। समस्या का सुसंगत क्षेत्र YBPX है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं P(6, 0) तथा B(0, 3)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	z के संगत मान Z =x+2y
P(6, 0)	6 → न्यूनतम
B(0, 3)	6 → न्यूनतम

अतःन्यूनतम Z = 6 बिन्दु P पर भी तथा बिन्दु B पर भी। अत: न्यूनतम Z = 6, AB के किसी भी बिन्दु पर है क्योंकि x + 2y < 6 को लें।
इसका सुसंगत क्षेत्र से कोई भी बिन्दु साझा नहीं है।

दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिन्दुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।

प्रश्न 7.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60, x - 2y ≥ 0, x, y ≤ 0
हल:
प्रश्नानुसार उद्देश्य फलन Z = 5x + 10y, अवरोध x + 2y ≤ 120, x + y 260, x - 2y20, x, y < 0

(i) x + 2y ≤ 120 का क्षेत्र
रेखा x + 2y = 120 बिन्दु A(120, 0) और B(0, 60) से होकर जाती है।
∴ x + 2y = 120 का आरेख रेखा AB है।
x + 2y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने से 0 ≤ 120 जो सत्य है।

अर्थात् x + 2y ≤ 120 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और उसके नीचे मूल बिन्दु की ओर स्थित हैं।

(ii) x + y ≥ 60 का क्षेत्र-
रेखा x + y = 60, बिन्दु P(60, 0), B(0, 60) से होकर जाती
∴ x + y = 60 का आरेख रेखा PB है।
x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 60 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् x + y ≥ 60 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PB पर और उसके ऊपर होते हैं।

(iii) x - 2y ≥ 0 का क्षेत्र-
रेखा x - 2y = 0 मूल बिन्दु 0 और Q(120, 60) से होकर जाती है।
∴ x - 2y ≥ 0 का आरेख रेखा OQ है।
x - 2y ≥ 0 में x = 1, y = 0 रखने पर 1 ≥ 0 जो सत्य है।
अर्थात् (1, 0) इस क्षेत्र में स्थिर है। x - 2y ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु रेखा OQ पर और इसके नीचे (1, 0) की ओर हैं।

(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु)-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर हैं।

(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और इसके ऊपर हैं।
इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र PSRA है। जबकि बिन्दु S (40, 20), PB = x + y = 60 और OQ = x = 2y का प्रतिच्छेदन बिन्दु है, और R (60, 30), AB = x + 2y = 120 और OQ = = x = 2y का प्रतिच्छेदन बिन्दु है ।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं P(60, 0), S ( 40, 20), R(60, 30) तथा A(120, 0)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे-

कोनीय बिन्दु	Z के संगत मान Z = 5x + 10 y
P(60, 0)	300 → न्यूनतम
S(40, 20)	400
R(60, 30)	600
A(120, 0)	600 → अधिकतम

अत: कोनीय बिन्दु (60, 0) पर Z का न्यूनतम मान = 300 तथा (120, 0) और (60, 30) को मिलाने वाली रेखाखण्ड पर स्थित सभी बिन्दुओं पर अधिकतम मान = 600

प्रश्न 8.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए :
x + 2y ≥ 100, 2x - y ≤ 0, 2x + y ≤ 200, x, y ≥ 0
हल:
प्रश्नानुसार उद्देश्य फलन Z = x + 2y, अवरोध x + 2y ≥ 100, 2x - y ≤ 0, 2x + y ≤ 200, x, y ≥ 0
(i) x + 2y ≥ 100 का क्षेत्र
रेखा x + 2y = 100 बिन्दु A ( 100, 0) और B (0, 50) से होकर जाती है। ∴ x + 2 y = 100 का आरेख रेखा AB है x + 2y ≥ 100 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 100 जो सत्य नहीं है।

अर्थात् x + 2y ≥ 100 क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और उसके ऊपर हैं

(ii) 2x - y ≤ 0 का क्षेत्र
रेखा 2x - y = 0, मूल बिन्दु O और C (50, 100) से होकर जाती है।
∴ 2x - y = 0 रेखा का आरेख रेखा OC है।
2x - y ≤ 0 में (1, 0) रखने पर 1 ≤ 0 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् 2x - y ≤ 0 का क्षेत्र OC पर और उसके ऊपर का है।

(iii) 2x + y ≤ 200 का क्षेत्र
रेखा 2x + y = 200 बिन्दु A (100, 0) और D(0, 200) से होकर जाती है।
∴ 2x + y = 200 का आरेख AD है।
2x + y ≤ 200 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 200 जो सत्य है।
अर्थात् 2x + y ≤ 200 क्षेत्र के बिन्दु AD पर और उसके नीचे है

(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु)-अक्ष पर और उसके दायीं ओर होते हैं।

(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर होते हैं। समस्या का सुसंगत क्षेत्र DBEC है। बिन्दु E(20, 40), AB = x + 2y = 100 और OC = 2x - y = 0 का प्रतिच्छेदन बिन्दु है। अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं - D(0, 200), B(0, 50), E(20, 40) तथा C(50, 100)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे-

कोनीय बिन्द	Z के संगत मान Z =x+2y.
D(0, 200)	400 → अधिकतम
B(0,50)	100 → न्यूनतम
E(20,40)	100 → न्यूनतम
C(50, 100)	250

अतः (0,50) और (20,40) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित सभी बिन्दुओं पर Z का मान न्यूनतम = 100 तथा (0, 200) पर अधिकतम मान = 400

प्रश्न 9.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = - x +2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0
हल:
प्रश्नानुसार उद्देश्य फलन Z = - x + 24y .
अवरोध x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0

(i) x + y ≥ 5 का क्षेत्र
रेखा x + y = 5 बिन्दु A(5, 0) और B(0, 5) से होकर जाती है।
∴ x + y = 5 का आरेख रेखा AB है।
x + y ≥ 5 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 25 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् x + y ≥ 5 क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और उसके ऊपर हैं।

(ii) x + 2y ≥ 6 का क्षेत्र
रेखा x + 2y = 6, बिन्दु C(6,0) और
D(0, 3) से होकर जाती है।
∴ x + 2y = 6 रेखा का आरेख रेखा CD है।

x + 2y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर
0 ≤ 6 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् x + 2y ≥ 6 का क्षेत्र के बिन्दु CD पर या उसके ऊपर है।

(iii) x ≥ 3 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PQ = x = 3 पर या उसके दायीं ओर हैं।

(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर होते हैं। समस्या का सुसंगत क्षेत्र PQRCX है। बिन्दु Q रेखा PQ = 3 और AB : x + y = 5 का प्रतिच्छेदन बिन्दु Q के निर्देशांक (3, 2) हैं। बिन्दु R रेखा CD:x+2y=6 और AB :x+y= 5 का प्रतिच्छेदन बिन्दु है जिसके निर्देशांक (4, 1) हैं।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं Q(3, 2), R(4, 1) तथा C(20, 40) । अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे-

कोनीय बिन्दु	Z के संगत मान Z = - x + 2y
Q(3, 2)	1
R(4, 1)	-2
C(20, 40)	-6

अर्थात् Z का अधिकतम मान 1 है परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है तो - x + 2y > 1 क्षेत्र पर विचार करने पर - x + 2y > 1 तथा सुसंगत क्षेत्र में अनेकों बिन्दु उभयनिष्ठ हैं अर्थात् z का कोई अधिकतम मान नहीं है।

प्रश्न 10.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिएः
x - y ≤ - 1, - x + y ≤ 0, x, y ≥ 0
हल:
उद्देश्य फलन Z = x + y, अवरोध x - y ≤ - 1, - x + y ≤ 0, x, y ≥ 0
(i) x - y ≤ - 1 का क्षेत्र
रेखा x - y = - 1 बिन्दु A(- 1, 0), B(0, 1) से होकर जाती है, इसका आरेख रेखा AB हैं।
x - y ≤ - 1 में x = 0, y = 0 रखने पर
0 ≤ - 1 जो सत्य नहीं है।

अर्थात् x - y ≤ - 1 के क्षेत्र बिन्दु रेखा AB पर और उसके ऊपर हैं।

(ii) - x + y ≤ 0 का क्षेत्र
रेखा - x + y = 0, मूल बिन्दु O और C(1, 1) से होकर जाती है।
- x + y ≤ 0 में x = 1, y = 0 रखने पर - 1 ≤ 0 जो सत्य है।
अर्थात् - x + y ≤ 0 के क्षेत्र बिन्दु OC पर या उसके नीचे (1, 0) की ओर हैं।

(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और x-अक्ष के दायीं ओर हैं।

(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दुx-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित हैं। विवेचन से स्पष्ट है कि ऐसा कोई बिन्दु नहीं है जो सभी व्यवरोधों को एक साथ सन्तुष्ट कर सके।अतः इस समस्या का कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है।
तथा Z का अधिकतम मान नहीं है।