RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिखाइए कि मूल बिन्दु से (2, 1, 1) को मिलाने वाली रेखा बिन्दुओं (3, 5, - 1) और (4, 3, - 1) से निर्धारित रेखा पर लम्ब है।
हल:
बिन्दु A(2, 1, 1) और मूल बिन्दु O(0, 0,0) वाली रेखा OA के दिक्-अनुपात = 2 - 0, 1 - 0, 1 - 0 या 2, 1, 1 तथा बिन्दु (3, 5, - 1) और D(4, 3, - 1) से निर्धारित रेखा के दिक्-अनुपात = 4 - 3, 3 - 5, - 1 + 1 या 1 - 2, 0 AO और CD लम्ब होंगी
यदि a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
अतः a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂
= 2 × 1 + 1 × (-2) + 1 × 0 = 2 - 2 = 0
अतः OA और CD परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 2.
यदि दो परस्पर रेखाओं की दिक्-कोसाइन l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन m₁n₂ - m₂n₁, n₁l₂ - n₂1₁, l₁m₂, - l₂m₁ हैं।
हल:
यदि दो रेखाएँ AB और CD जिसके दिक्-कोसाइन क्रमशः l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ हों परस्पर लम्ब होती हैं यदि
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ दिक्-कोसाइन हैं तो
l₁² + m₁² + n₁² = 1
l₂² + m₂² + n₂² = 1
माना कि PQ रेखा जो AB और CD दोनों पर लम्ब है और इसके दिक्-कोसाइन
तो ll₁ + mm₁ + nn₁ = 0
ll₂ + mm₂ + nn₂ = 0

प्रश्न 3.
उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक्-अनुपात a, b, c और b - c, c - a, a - b हैं।
हल:
माना कि उन रेखाओं के बीच कोण ए है जिनके दिक्-अनुपात a, b, c और b - c, c - a, a - b हैं तो
cos θ = \(\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2}}\)
= 0
∴ θ = 90° = \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 4.
x-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
x-अक्ष के दिक्-कोसाइन = 1, 0, 0
∴ अभीष्ट रेखा का समीकरण:

अर्थात् \(\vec{r}\) = 0i +0j + Ok + 2.(1.i+0.j+ 0.k)
या \(\vec{r}\) = λ
यह सदिश रूप है।

प्रश्न 5.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7), (-4, 3,-6) और (2, 9, 2) हैं तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
A(1, 2, 3), B(4, 5, 7) को मिलाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात = 4 - 1, 5 - 2, 7 - 3 या 3, 3, 4
तथा रेखा C(- 4, 3, -6) और D(2, 9, 2) को मिलाने वाली रेखा CD के दिक्-अनुपात = 2 + 4, 9 - 3, 2 + 6 अर्थात् 6, 6, 8 हैं।

AB और CD आपस में समान्तर हैं।
∴ इनके बीच का कोण 0° है।

प्रश्न 6.
यदि रेखाएँ \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}\) परस्पर लम्ब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
पहली रेखा के दिक्-अनुपात = - 3, 2k, 2
तथा दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात = 3k, 1, -5
ये रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं यदि a₁ . a₂ + b₁ . b₂ + c₁ . c₂ = 0
अर्थात्
a₁a₂ + b₁b₁ + c₁c₂ = (- 3) × 3k + (2k) × 1 + 2 × (-5)= 0
= - 9k + 2k - 10
= - 7k - 10 = 0
∴ - 7k - 10 = 0
∴ k = - \(\frac{10}{7}\)

प्रश्न 7.
बिन्दु (1,2,3) से जाने वाली खा तथा तला \(\vec{r}\). (î + 2ĵ - 5k̂) + 9 = 0 पर लम्बवत् रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल \(\vec{r}\). (î + 2ĵ - 5k̂) + 9 = 0 के लम्ब के अनुदिश सदिश
= î + 2ĵ - 5k̂
∴ उस रेखा का समीकरण जो (1, 2, 3) से होकर जाती है और सदिश î + 2ĵ - 5k̂ के अनुदिश है।
\(\vec{r}\) = î + 2ĵ +3k̂ + 2(î + 2ĵ - 5k̂)

प्रश्न 8.
बिन्दु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल \(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = 2 के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल \(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = 2 के समान्तर किसी भी समतल का समीकरण है
\(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = λ ....... (1)
यह तल बिन्दु (a, b, c) से होकर जाता है
(aî + bĵ + ck̂).(î + ĵ + k̂) = λ
∴ a + b + c = λ
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर
\(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = a + b + c
⇒ x + y + z = a + b + c
यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 9.
रेखाओं \(\vec{r}\) = 6î + 2ĵ + 2k̂ + λ(î - 2ĵ + 2k̂) और \(\vec{r}\) = - 4î - k̂ + μ(3î - 2ĵ - 2k̂) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए समीकरण \(\vec{r}\) = 6î + 2ĵ + 2k̂ + λ(î - 2ĵ + 2k̂) की \(\vec{r}\) = \(\vec{a}_1+\lambda \vec{b}_1\) से तुलना करने पर
\(\vec{a}_1\) = 6î + 2ĵ + 2k̂
तथा \(\vec{b}_1\) = î - 2ĵ + 2k̂
इसी प्रकार \(\vec{r}\) = - 4î - k̂ + μ(3î - 2ĵ - 2k̂) की
\(\vec{r}\) = \(\vec{a}_2+\mu \vec{b}_2\) से तुलना करने पर
\(\vec{a}_2\) = - 4î - k̂ तथा \(\vec{b}_2\) = 3î - 2ĵ - 2k̂
हम जानते हैं कि रेखा \(\vec{r}\) = \(\vec{a}_1+\lambda \vec{b}_1\) और \(\vec{r}\) = \(\vec{a}_2+\mu \vec{b}_2\) के बीच की न्यूनतम दूरी

तथा \(\vec{a}_2-\vec{a}_1\) = (- 4î - k̂) - (6î + 2ĵ + 2k̂).
= - 10î - 2ĵ - 3k̂
\(\left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right) \cdot\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right)\) = (- 10î - 2ĵ - 3k̂).(8î + 8ĵ + 4k̂)
= - 10 × 8 + (- 2) × 8 + (- 3) × 4
= - 80 - 16 - 12 = - 108
इन सबका मान (1) में रखने पर दी हुई रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी
= \(\left|\frac{-108}{12}\right|\) = 9

प्रश्न 10.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
हल:
हम जानते हैं कि बिन्दु (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)
(5, 1, 6) और (3, 4, 1) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा पर किसी बिन्दु का निर्देशांक
(5 + 2λ, 1 - 3λ, 6 + 5λ)
यह बिन्दु YZ-तल अर्थात् x = 0 पर स्थित है।
5 + 2λ = 0 ∴ λ = - \(\frac{5}{2}\)
λ का मान (1) में रखने पर
5 + 2λ = 0, x = 0

प्रश्न 11.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX-तल को काटती है।
हल:
प्रश्नानुसार बिन्दु (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा

इस रेखा के किसी बिन्दु P के निर्देशांक (5 + 2λ, 1 - 3λ, 6 + 5λ) यह बिन्दु ZX-तल पर अर्थात् y = 0 पर स्थित है।

प्रश्न 12.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से गुजरने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
हल:
(3, -4, -5) और (2, -3, 1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (3 - λ, - 4 + λ, - 5 + 6λ)
यह बिन्दु समतल 2x + y + z = 7 पर स्थित है।
∴ 2(3 - λ) + (- 4 + λ) + (- 5 + 6λ) = 7.
6 - 2λ - 4 + λ - 5 + 6λ =7
5λ = 10
∴ λ = 2
अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक
x = 3 - λ = 3 - 2 = 1
y = - 4 + λ = - 4 + 2 = - 2
z = - 5 + 6λ = - 5 + 6 × 2 = 7
∴ अभीष्ट बिन्दु (1, - 2, 7) है।

प्रश्न 13.
बिन्दु (-1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y + z = 0 में से प्रत्येक पर लम्ब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बिन्दु (-1, 3, 2) से जाने वाले समतल का समीकरण है
a(x + 1) + b(y - 3) + c(z - 2) = 0 .......... (1)
यहं समतल x + 2y + 3z = 5 पर लम्ब है।
∴ a + 2b + 3c = 0 ........... (2)
समतल (1) 3x + 3y+ z = 0 पर लम्ब है
∴ 3a + 3b + c = 0 ............ (3)
अब समीकरण (2) और (3) से

∴ a = 7λ, b = 8λ, c = 3λ.
a, b, c का मान (1) में रखने पर
7λ(x + 1) - 8λ(y - 3) + 3λ(z - 2) = 0
या 7(x + 1) - 8(- 3) + 3(z - 2) = 0
या 7x - 8y + 3z + 7 + 24 - 6 = 0.
या 7x - 8y + 3z + 25 = 0

प्रश्न 14.
यदि (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल \(\vec{r}\). (3î + 4ĵ - 12k̂) + 13 = 0 से समान दूरी पर स्थित हों तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि बिन्दु \(\vec{a}\) से समतल \(\vec{r} \cdot \vec{n}\) = d की दूरी
= \(\left|\frac{\vec{a}_1 \cdot \vec{n}-d}{|\vec{n}| \cdot}\right|\)
प्रश्नानुसार यहाँ पर
\(\vec{a}_1\) = (1, 1, p), \(\vec{n}\) = 3î + 4ĵ - 12k̂, d = - 13
∴ (1, 1, P) से दिए हुए समतल की दूरी

20 - 12p = ±8
+ ve चिह्न लेने पर
20 - 12p = 8
∴ 12p = 20 - 8 = 12 ∴ p = 1
तथा - ve चिह्न लेने पर
20 - 12p = - 8,
∴ 12p = 20 + 8 = 28
∴ p = \(\frac{28}{12}\) = \(\frac{7}{3}\)
अतः p = 1 या \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 15.
समतलों \(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = 1 और \(\vec{r}\).(2î + 3ĵ - k̂) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = 1 और \(\vec{r}\).(2î + 3ĵ - k̂) + 4 = 0 के
प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण
\(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂)- 1 + λ[\(\vec{r}\). (2î + 3ĵ + k̂) + 4] = 0
या 1 . [(1 + 2λ).î + (1 + 3λ)ĵ + (1 - λ)k̂]- 1 + 4λ = 0 ...... (1)
चूँकि समतल x-अक्ष के समान्तर है, अर्थात् समतल का अभिलम्ब एवं x-अक्ष जिसके दिक्-अनुपात 1, 0, 0 हैं, परस्पर लम्बवत् है।
अतः (1 + 2λ).1 + (1 + 3λ).(0) + (1 - λ).(0) = 0
∴ 1. (1 + 2λ) = 0 या λ = - \(\frac{1}{2}\)
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर

यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 16.
यदि 0 मूल बिन्दु तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1,2,-3) हैं तो बिन्दु P से जाने वाले तथा OP के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
O(0, 0,0) व P(1, 2, - 3) से होकर जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात 1 - 0, 2 - 0, - 3 - 0 या 1, 2, - 3 हैं।

अर्थात् अभीष्ट समतल के लम्ब के दिक्-अनुपात (1, 2, - 3) हैं। और समतल P(1, 2, - 3) से होकर जाता है।
अतः अभीष्ट समतल का समीकरण
a(x - x₁) + b(y - y₁) + c(z - z₁) = 0
1. (x - 1) + 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0
या x - 1 + 2y - 4 - 3z - 9 = 0
या x + 2y - 3z - 14 = 0

प्रश्न 17.
समतलों \(\vec{r}\).(î + 2ĵ + 3k̂) - 4 = 0, और \(\vec{r}\). (2î + ĵ - k̂) + 5 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अन्तर्विष्ट करने वाले तथा तल \(\vec{r}\).(5î + 3ĵ - 6k̂) + 8 = 0 के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए समतलों \(\vec{r}\).(î + 2ĵ + 3k̂) - 4 = 0
और \(\vec{r}\). (2î + ĵ - k̂) + 5 = 0
के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण
\(\vec{r}\).(î + 2ĵ + 3k̂) - 4 + λ[\(\vec{r}\). (2î + ĵ - k̂) + 5] = 0
या \(\vec{r}\).[(1 + 2λ)î + (2 + λ)ĵ + (3 - λ)k̂] - 4 + 5λ = 0 ...... (1)
यह समतल \(\vec{r}\). (5î + 3ĵ - 6k̂) + 8 = 0 के लम्बवत् है।
अतः उनके अभिलम्ब भी लम्बवत् होंगे
अर्थात् (1 + 2λ) × 5 + (2 + λ) × 3 + (3 - λ) × (-6) = 0
या 5 + 10λ + 6 + 3λ - 18 + 6λ = 0
या 19λ - 7 = 0
⇒ λ = \(\frac{7}{19}\)
λ का मान (1) में रखने पर अभीष्ट समतल का समीकरण

⇒ 33x + 45y + 50z = 41
यही अभीष्ट तल का समीकरण है।

प्रश्न 18.
बिन्दु (-1, -5, -10) से रेखा \(\vec{r}\) = 2î - ĵ + 2k̂ + λ(3î + 4ĵ + 2k̂) और समतल \(\vec{r}\). (î - ĵ + k̂) = 5 के प्रतिच्छेदन बिन्दु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा \(\vec{r}\) = 2î - ĵ + 2k̂ + λ(3î + 4ĵ + 2k̂) ........ (1)
और \(\vec{r}\). (î - ĵ + k̂) = 5 ........ (2)
से मिलती है।
\(\vec{r}\) का मान समीकरण (1) से लेकर (2) में रखने पर
[2î - ĵ + 2k̂ + λ(3î + 4ĵ + 2k̂)]. (î - ĵ + k̂) = 5
या (2î - ĵ + 2k̂). (î - ĵ + k̂) + λ[(3î +4ĵ + 2k̂) . (î - ĵ + k̂)] = 5
या (2 + 1 + 2) + λ(3 - 4 + 2) = 5
या 5 + λ(1)
= 5 ⇒ λ = 0
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर सरल रेखा और समतल का प्रतिच्छेदन बिन्दु
= (2î - ĵ + 2k̂)
दिया गया बिन्दु = - î - 5ĵ - 10k̂
इन बिन्दुओं के मध्य दूरी
= \(\sqrt{[2-(-1)]^2+(-1+5)^2+[2-(-10)]^2}\)
= \(\sqrt{3^2+4^2+12^2}\) = \(\sqrt{9+16+144}\) = 13 इकाई

प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec{r}\).(î - ĵ + 2k̂) = 5 और \(\vec{r}\). (3î + ĵ + k̂) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण
\(\vec{r}\) = î + 2ĵ + 3k̂ + λ(b₁î + b₂ĵ + b₃k̂) ....... (1)
यह रेखा समतल \(\vec{r}\).(î - ĵ + 2k̂) = 5 के समान्तर है।
⇒ समतल का अभिलम्ब और रेखा (1) परस्पर लम्बवत् है।
∴ - b₁ - b₂ + 2b₃ = 0 ........ (2)
इसी प्रकार रेखा (i) और समतल \(\vec{r}\).(3î + ĵ + k̂) = 6 समान्तर हैं।
⇒ रेखा (1) और समतल का अभिलम्ब परस्पर लम्बवत् है।
⇒ 3b₁ + b₂ + b₃ = 0 ........ (3)
समीकरण (2) और (3) से

b₁, b₂, b₃ का समानुपाती मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट रेखा का समीकरण
\(\vec{r}\) = î + 2ĵ + 3k̂ + λ(3î - 5ĵ - 4k̂)
= î + 2ĵ + 3k̂ + λ(- 3î + 5ĵ + 4k̂)

प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, - 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \(\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि अभीष्ट रेखा
\(\vec{r}\) = î + 2ĵ - 4k̂ + λ(b₁î + b₂ĵ + b₃k̂) ....... (1)
रेखाएँ \(\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}\) और
\(\vec{r}\) = î + 2ĵ - 4k̂ + λ(b₁î + b₂ĵ + b₃k̂) आपस में लम्ब हैं।
अतः इन रेखाओं के दिक्-अनुपात 3, - 16, 7 और b₁, b₂, b₃ हैं।
ये रेखाएँ परस्पर लम्ब होंगी यदि
3b₁ - 16b₂ + 7b₃ = 0 ....... (2)
इसी प्रकार रेखा \(\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}\) और \(\vec{r}\) = î + 2ĵ - 4k̂ + λ(b₁î + b₂ĵ + b₃k̂) के दिक्-अनुपात 3, 8, - 5 और b₁, b₂, b₃ हैं। ये परस्पर लम्बवत् होंगी यदि
∴ 3b₁, - 8b₂, - 5b₃ = 0 ....... (3)
समीकरण (2) और (3) से

b₁, b₂, b₃ का समानुपाती मान समीकरण (1) में रखने पर
\(\vec{r}\) = î + 2ĵ - 4k̂ + λ(2î + 3ĵ + 6k̂)
यही अभीष्टं रेखा का समीकरण है।

प्रश्न 21.
यदि एक समतल के अन्तःखण्ड a, b, c हैं और इसकी मूल बिन्दु से दूरी p इकाई है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{p^2}\)
हल:
उस समतल का समीकरण जिसके अन्त:खण्ड a, b, c हैं।

प्रश्न 22 और 23 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए:

प्रश्न 22.
दो समतलों 2x + 3y+4z = 4 और 4x + 6y + 8z = 12 के बीच की दूरी है:
(A) 2 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 8 इकाई
(D) \(\frac{2}{\sqrt{29}}\) इकाई
उत्तर:
(D) \(\frac{2}{\sqrt{29}}\) इकाई

हल:
2x + 3y + 4z = 4 ......... (1)
4x + 6y + 8z = 12
2x+3y + 4z = 6 ......... (2)
समीकरण (1) तथा (2) के समतल आपस में समान्तर हैं इसलिये समतलों के मध्य की दूरी

अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 23.
समतल 2x - y + 4z = 5 और 5x - 2.5y + 10z = 6 हैं:
(A) परस्पर लम्ब
(B) समान्तर
(C) y-अक्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं
(D) बिन्दु (0, 0, \(\frac{5}{4}\)) से गुजरते हैं।
उत्तर:
(B) समान्तर

हल:

इसलिये दोनों समतल समान्तर हैं।
अतः सही विकल्प (B) है।