RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब की दिक् कोसाइन और मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए
(a) z = 2,
हल:
समतल z = 2 का अभिलम्ब z-अक्ष है। इसके दिक्-अनुपात 0, 0, 1 हैं । अतः इसके दिक्-कोसाइन cos 90°, cos 90°, cos 0° हैं । अर्थात् 0, 0, 1 हैं।
स्पष्ट है कि z = 2 की मूल बिन्दु से दूरी = 2

(b) x + y + z = 1
हल:
समतल x + y + z = 1 के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 1, 1, 1 हैं।
∴ समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोसाइन

(c) 2x + 3y-z = 5
हल:
प्रश्नानुसार समतल का समीकरण 2x + 3y - z = 5.
समतल के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, 3, - 1 हैं।

(d) 5y + 8 = 0
हल:
समतल का समीकरण 5y + 8 = 0 ⇒ 0x + 5y + 0z + 8 = 0 के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात = 0, 5, 0 या 0, 1, 0
∴ इसके दिक्-कोसाइन = cos 90°, cos 0, cos 90° = 0, 1, 0 
∵ 0x + 5y + 0z = - 8
या \(\frac{0}{5} x+\frac{5}{5} y+\frac{0}{5} z=\frac{-8}{5}\)
अत: मूल बिन्दु से समतल की दूरी = \(\left|\frac{-8}{5}\right|=\frac{8}{5}\)

प्रश्न 2.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए, जो मूल बिन्दु से 7 मात्रक दूरी पर है और सदिश 3î + 5ĵ - 6k̂ पर अभिलम्ब हैं।
हल:
दिए गए 3î + 5ĵ - 6k̂ के अनुदिश मात्रक सदिश

∴ समतल का सदिश समीकरण
\(\vec{r}\).n̂ = d जबकि d = 7
या \(\vec{r} \cdot\left(\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{70}}\right)\) = 7
\(\vec{r}\).(3î + 5ĵ - 6k̂) = 7√70

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समीकरणों का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए :
(a) \(\vec{r}\).(î + ĵ - k̂) = 2
(b) \(\vec{r}\). (2î + 3ĵ - 4k̂) = 1
(c) \(\vec{r}\).[(s - 2t)î + (3 - t)ĵ + (2s + t)k̂] = 15
हल:
(a) समीकरण \(\vec{r}\).(î + ĵ - k̂) = 2 में \(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂
रखने पर
(xî + yĵ + zk̂). (î + ĵ - k̂) = 2
या x. 1 + y . 1 + z (- 1) = 2
अतः समतल का कार्तीय समीकरण
x + y - 2 = 2 

(b) समीकरण \(\vec{r}\).(2î + 3ĵ - 4k̂) = 1
में \(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂ रखने पर
(xî + yĵ + zk̂). (2î + 3ĵ - 4k̂) = 1
या x. 2 + y. 3 + z . (- 4) = 1
अतः समतल की कार्तीय समीकरण 2x + 3y - 4z = 1

(c) समीकरण \(\vec{r}\).[(s - 2t)î + (3 - t)ĵ + (2s + t)k̂] = 15
में \(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂ रखने पर
(xî + yĵ + zk̂). [(s - 2t)î + (3 - t)ĵ + (2s + t)k̂] = 15
x . (s - 2t) + y(3 - t) + z(2s + t) = 15
अतः समतल का कार्तीय समीकरण
(s - 2t)x + (3 - t)y + (2s + t)z = 15

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में मूल बिन्दु से खींचे गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:
(a) 2x + 3y + 4z - 12 = 0
(b) 3y + 4z - 6 = 0
(c) x + y+ z = 1
(d) 5y + 8 = 0
हल:
(a) समतल का समीकरण 2x + 3y+ 4z - 12 = 0

(b) समतल का समीकरण 3y + 4z -- 6 = 0
यहाँ \(\sqrt{3^2+4^2}\) = \(\sqrt{9+16}\) = 5 से भाग करने पर
\(\frac{3}{5} y+\frac{4}{5} z=\frac{6}{5}\)
∴ समतल के लम्ब के दिक्-कोसाइन = 0, \(\frac{3}{5}\), \(\frac{4}{5}\)
समतल की मूल बिन्दु से दूरी d = \(\frac{6}{5}\)
∴ मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशांक

(c) समतल का समीकरण x + y + z = 1

(d) समतल का समीकरण 5y + 8 = 0
या 0.x - 5.y + 0.2 = 8
\(\frac{0}{5} x \frac{-5}{5} \cdot y+\frac{0}{5} \cdot z=\frac{8}{5}\)
∴ मूल बिन्दु से समतल के दिक्-कोसाइन = 0, -1, 0
∴ मूल बिन्दु से दूरी = \(\frac{8}{5}\)
∴ मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशांक

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रतिबन्धों के अन्तर्गत समतलों का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए ज:
(a) बिन्दु (1, 0, - 2) से जाता हो और î + ĵ - k̂ समतल पर अभिलम्ब है।
हल:
(i) सदिश समीकरण
बिन्दु \(\vec{a}\) से जाने वाले समतल पर जो सदिश \(\vec{N}\) से लम्ब दिशा में हों।
(\(\vec{r}-\vec{a}\)) \(\cdot \overrightarrow{\mathrm{N}}\) = 0
यहाँ पर \(\vec{a}\) = (1, 0, - 2) = î - 2k̂
\(\vec{N}\) = î + ĵ - k̂
∴ समतल का समीकरण
[\(\vec{r}\) - (î - 2k̂)]. (î + ĵ - k̂) = 0

(ii) कार्तीय समीकरण
हम जानते हैं कि समतल का समीकरण जो (x₁, y₁, z₁) से गुजरता है और यदि लम्ब के दिक्-अनुपात a, b, c है।
a(x - x₁) + b(y - y₁) + c(z - z₁) = 0
यहाँ समतल बिन्दु (1, 0, - 2) से गुजरता है और लम्ब के दिक्-अनुपात 1, 1,- 1 हैं।
∴ समतल का समीकरण
1.(x - 1) + 1.(y - 0) + (- 1) (z + 2) = 0
या x - 1 + y - z - 2 = 0
या x + y - z = 3

(b) बिन्दु (1, 4, 6) से जाता हो और î - 2ĵ + k̂ समतल पर अभिलम्ब सदिश है।
हल:
(i) सदिश समीकरण
प्रश्नानुसार समतल बिन्दु (1, 4, 6) से होकर जाता है तथा लम्ब सदिश î - 2ĵ + k̂ के अनुदिश है।
∴ समतल का समीकरण
(\(\vec{r}-\vec{a}\)) \(\cdot \overrightarrow{\mathrm{N}}\) = 0
या [\(\vec{r}\) - (î + 4ĵ + 6k̂)].(î - 2ĵ + k̂) = 0

(ii) कार्तीय समीकरण
समतल बिन्दु (1, 4, 6) से होकर जाता है।
समतल पर लम्ब के दिक्-अनुपात 1, - 2, 1 हैं।
∴ समतल का समीकरण
1 (x - 1) - 2(y - 4) + 1(z - 6) = 0
या x - 2y + z - 1 + 8 - 6 = 0
या x - 2y + z + 1 = 0

प्रश्न 6.
उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिन्दुओं से गुजरता है
(a) (1, 1, - 1), (6, 4, -5), (-4, -2, 3)
(b) (1, 1,0), (1, 2, 1),(-2, 2, - 1)
हल:
(a) हम जानते हैं कि यदि a, b, c समतल के लम्ब के दिक्अनुपात हैं तो (x₁, y₁, z₁) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
a(x - x₁) + b(y - y₁) + c(z - z₁) = 0
∴ बिन्दु A(1, 1, - 1) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
a(x - 1) + b(v - 1) + c(z + 1) = 0 ...... (1)
बिन्दु B(6, 4, -5),C(-4,-2, 3) इस पर स्थित हैं।
अर्थात् a ∙ (6 - 1) + b(4 - 1) + c(- 5 + 1) = 0
और a(-4 - 1) + b(-2 - 1) + c(3 + 1) = 0
या 5a + 3b - 4c = 0
तथा - 5a - 3b + 4c = 0
या 5a + 3b - 4c = 0
तथा 5a + 3b - 4c = 0
समीकरण (2) और (3) एक ही समीकरण हैं।
अतः a, b, c के अनन्त मूल्य हो सकते हैं जो इस समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं।
⇒ दिए हुए बिन्दु संरेख हैं और एक रेखा से गुजरने वाले अनन्त समतल हो सकते हैं।

(b) माना कि बिन्दु P(1, 1,0), Q(1, 2, 1), R(-2, 2,- 1) हमें दिए हैं।
बिन्दु P से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
a(x - 1) + by - 1) + c(z - 0) = 0 .......... (1)
बिन्दु Q, R इस पर स्थित है।
∴ a(1 - 1) + b(2 - 1) + c . 1 = 0
या 0.a + b + c = 0 .......... (2)
a(- 2 - 1) + b(2 - 1) + c(-1) = 0
या - 3a + b - c = 0 ......... (3)
(1), (2), (3) में से a, b, c को लुप्त करने से, समतल का समीकरण
\(\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & +1 & -1 \end{array}\right|\) = 0
= (x- 1)[-1 - 1] - (y - 1) [3] + z(3) = 0
- 2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0
⇒ - 2x - 3y + 3z + 5 = 0
⇒ 2x + 3y - 3z - 5 = 0
⇒ 2x + 3y - 3z = 5

प्रश्न 7.
समतल 2x + y - z = 5 द्वारा काटे गए अन्त:खण्डों को ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल का समीकरण 2x + y - z = 5

अत: समतल द्वारा काटे गए अन्त:खण्ड \(\frac{5}{2}\), 5, - 5 हैं।
इसलिये x-अक्ष पर अन्तःखण्ड \(\frac{5}{2}\), y-अक्ष पर अन्तःखण्ड 5 एवं z-अक्ष पर अन्तःखण्ड (-5) होगा।

प्रश्न 8.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका y-अक्ष पर अन्त:खण्ड 3 और जो तल ZOX के समान्तर है।
हल:
zox के समान्तर तल का समीकरण y=a
यह तल y-अक्ष पर अन्तःखण्ड 3 बनाता है। ⇒ a = 3
अभीष्ट समतल का समीकरण y = 3

प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x - y + 2z - 4 = 0 और x + y + 2 - 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
हल:
समतल 3x - y + 2z - 4 = 0 और x + y + z - 2 = 0 के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाला समतल
3x - y + 2z - 4 + λ(x + y + z - 2) = 0 ...... (1)
जहाँ λ एक वास्तविक संख्या है।
यह बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
∴ 3 × 2 - 2 + 2 × 1 - 4 + λ(2 + 2 + 1 - 2) = 0
या 6 - 2 + 2 - 4 + λ.3 = 0
या 2 + 3λ = 0
∴ λ = - \(\frac{2}{3}\)
λ का मान (1) में रखने पर
3x - y + 2z - 4 - \(\frac{2}{3}\) (x + y + z - 2) = 0
या 3(3x - y + 2z - 4) - 2(x + y + 2 - 2) = 0
या 9x - 3y + 6z - 12 - (2x + 2y + 2z - 4) = 0
या 7x - 5y + 4z - 8 = 0
जो अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 10.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों
\(\vec{r}\).(2î + 2ĵ - 3k̂) = 7,
\(\vec{r}\).(2î + 5ĵ + 3k̂) = 9 के प्रतिच्छेदन रेखा और (2, 1, 3) से होकर जाता है।
हल:
वह समतल जो समतलों \(\vec{r}\).(2î + 2ĵ - 3k̂) = 7 और
\(\vec{r}\).(2î + 5ĵ + 3k̂) = 9 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर गुजरता है।
\(\vec{r}\).(2î + 2ĵ - 3k̂)- 7 + λ(\(\vec{r}\).(2î + 5ĵ + 3k̂) - 9) = 0 ...... (1)
जहाँ λ एक वास्तविक संख्या है।
यह बिन्दु (2, 1, 3) या 2î + ĵ + 3k̂ से होकर जाता है।
∴ (2î + ĵ + 3k̂).(2î + 2ĵ - 3k̂) - 7 + λ[(2î + ĵ + 3k̂).(2î + 5ĵ + 3k̂) - 9] = 0
या (4 + 2 - 9) - 7 + λ[(4 + 5 + 9) - 9] = 0
∴ - 10 + 9λ = 0
∴ λ = \(\frac{10}{9}\)
λ का मान (1) में रखने पर
\(\vec{r}\).(2î + 2ĵ - 3k̂) - 7 + \(\frac{10}{9}\) {\(\vec{r}\).(2î + 5ĵ +3k̂) - 9} = 0
या 9[\(\vec{r}\).(2î + 2ĵ - 3k̂) - 7] + 10[\(\vec{r}\).(2î + 5ĵ + 3k̂) - 9] = 0
\(\vec{r}\).[9(2î + 2ĵ - 3k̂) + 10(2î + 5ĵ + 3k̂)] - 63 - 90 = 0
या \(\vec{r}\).[(18 + 20)î + (18 + 50)ĵ+ (- 27 + 30)k̂] - 153 = 0
अतः अभीष्ट समतल का समीकरण
\(\vec{r}\).(38î + 68ĵ + 3k̂) - 153 = 0
या \(\vec{r}\).(38î + 68ĵ + 3k̂) = 153

प्रश्न 11.
तलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 42 = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x - y + z = 0 पर लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
(x + y + 2 - 1) + λ(2x + 3y + 4z -5) = 0
या (1 + 2λ)x + (1 + 3λ)y + (1 + 4λ)z - 1 - 5λ = 0 ....... (1)
यह तल x - y + z = 0 पर लम्बवत् है।
∴ (1 + 2λ). 1 + (1 + 3λ). (-1) + (1 + 4λ). 1 = 0
[∵ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0]
⇒ 1 + 2λ - 1 - 3λ + 1 + 4λ = 0
⇒ 1 + 3λ = 0
∴ λ = - \(\frac{1}{3}\)
∴ अभीष्ट समतल का समीकरण λ = - \(\frac{1}{3}\) समीकरण (1) में रखते हुए

या x - z + 2 = 0

प्रश्न 12.
समतलों जिनके सदिश समीकरण \(\vec{r}\).(2î + 2ĵ - 3k̂) = 5 और \(\vec{r}\).(3î - 3ĵ + 5k̂) = 3 हैं, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतला \(\vec{r}\).(2î + 2ĵ - 3k̂) = 5 का अभिलम्ब 2î + 2ĵ - 3k̂ के अनुदिश है। और समतल \(\vec{r}\).(3î - 3ĵ + 5k̂) = 3 का अभिलम्ब 3î - 3ĵ + 5k̂ के अनुदिश है।
हम जानते हैं कि यदि दो समतलों \(\vec{r} \cdot \vec{n}_1\) = d₁ और \(\vec{r} \cdot \vec{n}_2\) = d₂ के बीच कोण θ है तो

प्रश्न 13.
निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत् हैं और उस स्थिति में, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
(a) 7x + 5y + 6z + 30 = 0 और 3x -y- 10z + 4 = 0
(b) 2x + y + 3z - 2 = 0 और x - 2y+ 5 = 0
(c) 2x - 2y + 4z + 5 = 0 और 3x-3y + 6z - 1 = 0
(d) 2x - y + 3z - 1 = 0 और 2x - y + 3z + 3 = 0
(e) 4x + 8y + 2 - 8 = 0 और y + z - 4 = 0
हल:
हम जानते हैं कि समतल a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0
और a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0

(i) समान्तर होंगे यदि
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
तथा (ii) लम्बवत् होंगे यदि
a₁. a₂ + b₁ . b₂ + c₁ . c₂ = 0

(a) दिए गए समतल
7x+ 5y + 6z + 30 = 0
तथा 3x - y - 10z + 4 = 0 हैं
(i) यह समतल समान्तर नहीं है।
क्योंकि \(\frac{7}{3} \neq \frac{5}{-1} \neq \frac{6}{-10}\)
तथा (ii) a₁.a₂ + b₁.b₂ + c₁.c₂ = 7 × 3 + 5 × (-1) + 6 × (- 10)
= 21 - 5 - 60 ≠ 0
अतः ये समतल लम्बवत् भी नहीं हैं।
यदि दोनों समतलों के बीच कोण θ हो तो

(b) इसी प्रकार दिए गए समतल
2x + y + 3z -2 = 0 तथा x -2y + 5 = 0
(i) समतल समान्तर नहीं है क्योंकि \(\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-2} \neq \frac{3}{0}\)
तथा
(ii) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2 × 1 + 1 × (- 2) + 3 × 0 = 2 - 2 = 0
अतः दिए हुए समतल लम्बवत् हैं।

(c) (i) दिए गए समतल
2x - y + 3z - 1 = 0
तथा 3x - 3y + 6z - 1 = 0
दिए हुए समतल समान्तर हैं क्योंकि \(\frac{2}{3}=\frac{-2}{-3}=\frac{4}{6}\)
(ii) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2 × 3 + (- 2) (- 3) + 4 × 6
= 6 - 6 + 24 ≠ 0
अतः दिए गए समतल लम्बवत् नहीं हैं।

(d) (i) दिए गए समतल
2x - y + 3z - 1 = 0 तथा 2x - y + 3z + 3 = 0
समान्तर है क्योंकि \(\frac{2}{2}=\frac{-1}{-1}=\frac{3}{3}\)
(ii) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2 × 2 + (-1) (-1) + (3 × 3)
= 4 + 1 + 9 = 1420
अतः दिए गए समतल लम्बवत् नहीं हैं।

(e) दिए हुए समतल
4x + 8y + z - 8 = 0, और y + z - 4 = 0 .
(i) यह समतल समान्तर नहीं है क्योंकि = \(\frac{4}{0} \neq \frac{8}{1} \neq \frac{1}{1}\)
तथा
(ii) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 4 × 0 + 8 × 1 + 1 × 10 = 8 + 1 ≠ 0
अतः दिए गए समतल लम्बवत् नहीं हैं।
यदि इसके बीच कोण θ हो तो

प्रश्न 14.
निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक दिए गए बिन्दु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए :
table - 1
हल:
हम जानते हैं कि बिन्दु (x₁, y₁, z₁) की समतल ax + by + cz + d = 0 की दूरी
= \(\left|\frac{a x_1+b y_1+c z_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|\)

(a) बिन्दु (0, 0, 0,) से समतल 3x - 4y + 12z - 3 = 0 की दूरी

(b) बिन्दु (3, -2, 1) से समतल 2x - y + 2x + 3 = 0 की दूरी

(c) बिन्दु (2, 3, -5) से समतल x+2y - 2z – 9 = 0 की दूरी

(d) बिन्दु (-6, 0, 0) से समतल 2x - 3y + 6z - 2 = 0 की दूरी