RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.1

प्रश्न 1.
यदि एक रेखा x, y और 2 अक्षों के साथ क्रमश: 90°, 135°, 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि रेखा की दिक्-कोसाइन l, m व n हैं।
अतः l = cos 90° = 0
m = cos 135° = cos (180° - 45°) .
= - cos 45° = - \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
तथा n = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
अत: दिक्-कोसाइन हैं - 0, -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) तथा \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 2.
एक रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों के साथ समान कोण बनाती है।
हल:
माना कि एक रेखा निर्देशांक्षों के साथ कोण α बनाती है।
अंतः रेखा के दिक्-कोसाइन cos α, cos α, cos α होंगे।
परन्तु हम जानते हैं कि l² + m² + n² = 1
या cos² α + cos² α + cos² α = 1
या 3 cos² α = 1 ∴ cos α = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
जाना अतः रेखा के दिक्-कोसाइन ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) हैं।

प्रश्न 3.
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात - 18, 12, -4 हैं तो इसकी दिक् कोसाइन क्या हैं?
हल:
माना कि a, b, c दिक्-अनुपात हों तो
यहाँ a = - 18, b = 12, c = - 4

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (- 1, - 2, 1), (5, 8,7) संरेख हैं।
हल:
माना दिए गए बिन्दु A(2, 3, 4), B(-1, -2, 1) तथा C(5, 8, 7) हैं।
अतः भुजा AB के दिक्-अनुपात - 1 - 2, - 2 - 3, 1-4 या - 3, -5, - 3 या 3, 5, 3 हैं।
भुजा BC के दिक्-अनुपात 5 + 1, 8 + 2, 7 - 1 या 6, 10, 6 या 3, 5, 3 हैं।
चूँकि AB एवं BC के दिक्-अनुपात समान हैं, अतः AB एवं BC समान्तर हैं। परन्तु AB एवं BC में B उभयनिष्ठ है। अतः A, B और C संरेख बिन्दु हैं।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3, 5, -4), (-1, 1, 2) और (-5, -5, - 2) हैं।
हल:
माना कि त्रिभुज ABC के शीर्ष A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2) और C(-5, -5, - 2) हैं।
(i) AB की दिक्-अनुपात
= - 1 - 3, 1 - 5, 2+4
= - 4, -4, 6

(ii) BC के दिक्-अनुपात
= - 5 + 1, - 5 - 1, - 2 - 2
= - 4, - 6, - 4

(iii) इसी प्रकार CA के दिक्-अनुपात 3 + 5, 5 + 5, - 4 + 2
= 8, 10, - 2