RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
हल:
माना कि OX, OY और OZ निर्देशांक अक्ष हैं यदि \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\).XY तल में Ox के साथ 30° का और OY के साथ 60° का कोण बनाता है जबकि या Oz के साथ 90° का कोण बनाता है।
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) अक्ष Ox, OY, Oz के साथ क्रमश: 30°, 60° तथा 90° के कोण बनाता है।

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) के दिक् कोसाइन हैं cos 30, cos 60, cos 90 अर्थात् \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)\)
अतः मात्रक सदिश

 

प्रश्न 2.
बिन्दु P(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार बिन्दु P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) है।

अतः OP = x₁î + y₁ĵ + z₁k̂
और OQ = x₂î + y₂ĵ + z₂k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)
= (x₁î + y₁ĵ + z₁k̂) - (x₂î + y₂ĵ + z₂k̂)
= (x₂ - x₁)î + (y₂ - y₁)ĵ + (z₂ - z₁)k̂

अतः \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) के अदिश घटक
= x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁

तथा परिमाण \(|\overrightarrow{{P Q}}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}\)
= PQ

प्रश्न 3.
एक लड़की पश्चिम दिशा में 4km चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रुक जाती है। प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
यदि \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\), तब क्या यह सत्य है कि \(|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|\)? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए x (î + ĵ + k̂) एक मात्रक सदिश है।
हल:
माना कि

प्रश्न 6.
सदिशों a = 2î + 3ĵ - k̂ और = î - 2ĵ + k̂ के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 5 इकाई है।
हल:
माना कि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) का परिणामी सदिश \(\vec{c}\) है।
\(\vec{c}\) = a+b = (2î + 3ĵ - k̂) + (î - 2ĵ + k̂)
\(\vec{c}\) = 3î + ĵ = 3î + ĵ + 0k̂
\(|\vec{c}|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

इस सदिश के समान्तर एक सदिश माना कि
λ(3î + ĵ + 0.k̂) है यहाँ पर λ ∈ R,

चूँकि इस सदिश का परिमाण 5 है

प्रश्न 7.
यदि \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = 2î - ĵ + 3k̂ और \(\vec{c}\) = î - 2ĵ + k̂ तो सदिश 2\(\vec{a}\) - \(\vec{b}\) + 3\(\vec{c}\) के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए सदिशों \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = 2î - ĵ + 3k̂, \(\vec{c}\) = î - 2ĵ + k̂
का मान 2\(\vec{a}\) - \(\vec{b}\) + 3\(\vec{c}\) में रखने पर :

2\(\vec{a}\) - \(\vec{b}\) + 3\(\vec{c}\) = 2(î + ĵ + k̂) - (2î - ĵ + 3k̂) + 3(î - 2ĵ + k̂)
= 2î + 2ĵ + 2k̂ - 2î + ĵ - 3k̂ + 3î - 6ĵ + 3k̂
= 3î - 3ĵ + 2k̂

प्रश्न 8.
दर्शाइए कि बिन्दु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) और C(11, 3, 7) संरेख हैं और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A, B, C के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं
A(1,- 2, - 8), B(5, 0, - 2), C(11, 3, 7)

प्रश्न 9.
दो बिन्दुओं P(2\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) और Q(\(\vec{a}\) - 3\(\vec{b}\)) को मिलाने वाली रेखा को 1:2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुका स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिन्दु P रेखाखण्ड RQ का मध्य बिन्दु है।
हल:
प्रश्नानुसार बिन्दु P, Q के स्थिति सदिश क्रमशः 2\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) और \(\vec{a}\) - 3\(\vec{b}\) हैं। बिन्दु R, PQ को बाह्य 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
∴ R का स्थिति सदिश

जो P का स्थिति सदिश है।
अतएव P, RQ का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 2î - 4ĵ + 5k̂ और î - 2ĵ - 3k̂ हैं। इसके विकर्ण के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि संलग्न भुजाएँ \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) हैं।

(ii) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(|\vec{a} \times \vec{b}|\)

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) हैं।
हल:
माना कि सदिश OP,OX, OY और OZ के साथ बराबर झुका हुआ है। मान लीजिए यह कोण α है।
OP की दिक् कोज्याएँ = cos α, cos α, cos α.
∴ cos α, cos α, cos α दिक् कोज्याएँ हैं।
cos² α + cos² α + cos² α = 1 (l² + m² + n² = 1)
3 cos² α =1
cos² α = \(\frac{1}{3}\)
cos α = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
अतः OP सदिश में दिक् कोज्याएँ \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए \(\vec{a}\) = î + 4ĵ + 2k̂, \(\vec{b}\) = 3î - 2ĵ + 7k̂, \(\vec{c}\) = 2î - ĵ + 4k̂ एक ऐसा सदिश में ज्ञात कीजिए जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दोनों पर लम्ब है और \(\vec{c} \cdot \vec{d}\) = 15.
अथवा
मान लीजिए \(\vec{a}\) = î + 4ĵ + 2k̂, \(\vec{b}\) = 3î - 2ĵ + 7k̂, \(\vec{c}\) = 2î - ĵ + 4k̂ एक ऐसा सदिश p ज्ञात कीजिये जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दोनों पर लम्ब है और \(\vec{p} \cdot \vec{c}\) = 18
हल:
प्रश्नानुसार सदिश \(\vec{a}\) = î + 4ĵ + 2k̂ और \(\vec{b}\) = 3î - 2ĵ + 7k̂ के लम्ब कोई सदिश
= \(\vec{a} \times \vec{b}\)
= \(\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7 \end{array}\right|\)
= (28 + 4)î + (6 - 7)ĵ + (-2 - 12)k̂
= 32î - ĵ - 14k̂ माना कि
= 2(32î - ĵ - 14k̂)

सदिश और के लम्ब है।।
परन्तु \(\vec{c} \cdot \vec{d}\) = 15
(2î - ĵ + 4k̂). (λ) (32î - ĵ - 14k̂) = 15
या λ(64 + 1- 56) = 15 या 9λ = 15
= λ(32î - ĵ - 14k̂)
= \(\frac{5}{3}\)(32î - ĵ - 14k̂)
\(\vec{d}=\frac{1}{3}\)(160î - 5ĵ - 70k̂)

प्रश्न 13.
सदिश î + ĵ + k̂ का, सदिश 2î + 4ĵ - 5k̂ और λî + 2ĵ + 3k̂ के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂
\(\vec{b}\) = 2î + 4ĵ - 5k̂
\(\vec{c}\) = λî + 2ĵ + 3k̂

\(\vec{b}\) और \(\vec{c}\) का योगफल

प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समान परिमाणों वाले परस्पर लम्बवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) सदिशों \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) परस्पर लम्बवत् हैं।

इसी प्रकार सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}, \vec{b}, \vec{c}\), के साथ भी यही कोण बनाता है। अतः यह कहा जा सकता है कि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\), सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) के साथ बराबर झुका हुआ है।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि \((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2\). यदि और केवल यदि \(\vec{a}, \vec{b}\), लम्बवत् हैं । यह दिया हुआ है कि \(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}\).
हल:
हम जानते हैं कि

16 से 19 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए :

प्रश्न 16.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण θ है तो \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ≥ 0 होगा,
यदि :
(A) 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
(B) 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < θ < π
(D) 0 ≤ θ ≤ π
हल:
(B) 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ≥ 0
\(|\vec{a}||\vec{b}|\)cos θ ≥ 0
∴ cos θ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 17.
मान लीजिए \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है तो \(\vec{a}+\vec{b}\) एक मात्रक सदिश है यदि
(A) θ = \(\frac{\pi}{4}\)
(B) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
(C) θ = \(\frac{\pi}{2}\)
(D) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
हल:
(D) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)

इसलिये सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 18.
î.(ĵ × k̂) + ĵ. (î × k̂) + k̂.(î × ĵ) का मान है
(A) 0
(B) - 1
(C) 1
(D) 3
हल:
(C) 1

î.(ĵ × k̂) + ĵ. (î × k̂) + k̂.(î × ĵ)
= î.(î) + ĵ.(-ĵ) + k̂.(k̂)
= |î|² - |ĵ|² + |k̂|²
= 1² - 1² + 1² = 1 - 1 + 1 = 1
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 19.
यदि दो सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच θ हो तो \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\) जब θ बराबर है:
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{2}\)
(D) π
हल:
(B) \(\frac{\pi}{4}\)

\(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\)
⇒ |ab cos θ| = |ab sin θ n|
⇒ ab cos θ = ab sin θ . |n̂| = 1
⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = tan^-1(1) = \(\frac{\pi}{4}\)
अतः सही विकल्प (B) है।