RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.4

प्रश्न 1.
यदि \(\vec{a}\) = î - 7ĵ +7k̂ और \(\vec{b}\) = 3î - 2ĵ + 2k̂ तो |\(\vec{a} \times \vec{b}\)| ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार \(\vec{a}\) = î - 7ĵ +7k̂ तथा \(\vec{b}\) = 3î - 2ĵ + 2k̂

प्रश्न 2.
सदिश \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-\vec{b}\) की लम्ब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ \(\vec{a}\) = 3î + 2ĵ + 2k̂ और \(\vec{b}\) = î + 2ĵ - 2k̂ है।
हल:
प्रश्नानुसार
\(\vec{a}\) = 3î + 2ĵ + 2k̂ तथा \(\vec{b}\) = î + 2ĵ - 2k̂
\(\vec{a}+\vec{b}\) = (3î + 2ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ - 2k̂)
= (3 + 1)î + (2 + 2)ĵ + (2-2)k̂
= 4î + 4ĵ

तथा \(\vec{a}-\vec{b}\) = (3î + 2ĵ + 2k̂) - (î + 2ĵ - 2k̂)
(3 - 1)î + (2 - 2)ĵ + (2 + 2)k̂
= 2î + 4k̂

\(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-\vec{b}\) की लम्ब दिशा में सदिश

प्रश्न 3.
यदि एक मात्रक सदिश \(\vec{a}\)î के साथ \(\frac{\pi}{3}\).ĵ के साथ \(\frac{\pi}{4}\) और k̂ है के साथ एक न्यून कोण θ बनाता है तो θ का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से \(\vec{a}\) के घटक भी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि सदिश \(\vec{a}\)î के साथ \(\frac{\pi}{3}\).ĵ के साथ \(\frac{\pi}{4}\) और k̂ के साथ θ कोण बनाता है।
∴ \(\vec{a}\) के दिन cosine.cos \(\frac{\pi}{3}\) , cos \(\frac{\pi}{4}\) और cos θ हैं।

हम जानते हैं कि cos² α + cos² β + cos² γ = 1

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि \((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})\)
हल:

प्रश्न 5.
λ और μ ज्ञात कीजिए यदि (2î + 6ĵ + 27k̂) × (î + λĵ + μk̂) =
हल:
प्रश्नानुसार
\(\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 6 & 27 \\ 1 & \lambda & \mu \end{array}\right|=\overrightarrow{0}\)
या (6μ - 27λ)î - (2μ - 27)ĵ + (2λ - 6)k̂ = \(\overrightarrow{0}\)
= 6μ - 27λ = 0,
2μ - 27 - 0, 2λ - 6 = 0
λ = 3, μ = \(\frac{27}{2}\)

प्रश्न 6.
दिया हुआ है कि \(\vec{a} \cdot \vec{b} \)= 0 और \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\) सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
हल:
प्रश्नानुसार \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0
⇒ \(\vec{a}\) = 0, या \(\vec{b}\) = 0 अर्थात् \(\vec{a} \| \vec{b}\)
\(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\)
⇒ \(\vec{a}\) = 0, या \(\vec{b}\) = 0 अर्थात् \(\vec{a} \perp \vec{b}\)
लेकिन \(\vec{a} \perp \vec{b}\) और \(\vec{a} \| \vec{b}\) नहीं हो सकता अतः
⇒ \(\vec{a}\) = 0, या \(\vec{b}\) = 0

प्रश्न 7.
मान लीजिए सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) क्रमशः a₁î + a₂ĵ + a₃k̂, b₁î + b₂ ĵ + b₃k̂, c₁î + c₂ĵ + c₃k̂ के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि \(\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}\)
हल:

प्रश्न 8.
यदि \(\vec{a}=\overrightarrow{0}\) अथवा \(\vec{b}=\overrightarrow{0}\) तब \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\) होता है? क्या विलोम सत्य है? उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C(1, 5, 5) हैं।
हल:
प्रश्नानुसार त्रिभुज ABC के शीर्षों के स्थिति सदिश A(1, 1, 2), B(2, 3, 5),C(1, 5, 5) हैं। और माना O मूल बिन्दु है, तब

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश \(\vec{a}\) = î - ĵ + 3k̂ और \(\vec{b}\) = 2î - 7ĵ + k̂ द्वारा निर्धारित हैं।
हल:
प्रश्नानुसार समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ
\(\vec{a}\) = î - ĵ + 3k̂
तथा \(\vec{b}\) = 2î - 7ĵ + k̂

प्रश्न 11.
मान लीजिए सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) इस प्रकार हैं कि |\(\vec{a}\)| = 3 और |\(\vec{b}\)| = \(\frac{\sqrt{2}}{3}\), तब \(\vec{a} \times \vec{b}\) एक मात्रक सदिश है यदि a और के बीच का कोण है :
(A) \(\frac{\pi}{6}\)
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
(B) \(\frac{\pi}{4}\)

अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 12.
एक आयत के शीर्षों A, B, C और D जिसके स्थिति सदिश क्रमशः
-î + \(\frac{1}{2}\)ĵ + 4k̂, î + \(\frac{1}{2}\)ĵ + 4k̂, î - \(\frac{1}{2}\)ĵ + 4k̂, -î - \(\frac{1}{2}\)ĵ + 4k̂ हैं, का क्षेत्रफल है :
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) 1
(C) 2
(D) 4
हल:
(C)

अतः सही विकल्प (C) है।