RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.3

प्रश्न 1.
दो सदिशों में \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के परिमाण क्रमशः √3 और 2 हैं और \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{6}\) है तो \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच यदि कोण हो तो

प्रश्न 2.
सदिशों î - 2ĵ + 3k̂ और 3î - 2ĵ + k̂ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच यदि कोण हो तो
यहाँ \(\vec{a}\) = (î - 2ĵ + 3k̂)
तथा \(\vec{b}\) = (3î - 2ĵ + k̂)

प्रश्न 3.
सदिश î + ĵ पर सदिश î - ĵ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि सदिश \(\vec{a}\) का \(\vec{b}\) पर प्रक्षेप

प्रश्न 4.
सदिश î + ĵ + 7k̂ का सदिश 7î - ĵ + 8k̂ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि \(\vec{a}\)= î + ĵ + 7k̂
तथा \(\vec{b}\)= 7î - ĵ + 8k̂

अथवा जब \(\vec{b}\) = 2î -3ĵ + 6k̂ तब प्रक्षेप = 5

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है :
\(\frac{1}{7}\)(2î +3ĵ + 6k̂), \(\frac{1}{7}\)(3î - 6ĵ + 2k̂), \(\frac{1}{7}\)(6î +2ĵ - 3k̂)
यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत् हैं।
हल:

चूँकि सभी सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) का परिमाण 1 है।
∴ ये सदिश मात्रक सदिश हैं।

(ii) सदिश \(\vec{a}\) सदिश \(\vec{b}\) के लम्बवत् होगा यदि \(\vec{a}. \vec{b}\) = 0

इस प्रकार \(\vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}\) तथा \(\vec{c} \cdot \vec{a}\) सभी का मान शून्य है।
= \(\vec{a} \perp \vec{b}, \vec{b} \perp \vec{c}, \vec{c} \perp \vec{a}\)
अर्थात् \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) परस्पर लम्बवत् हैं।

प्रश्न 6.
यदि \((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})\) = 8 और |\(\vec{a}\)| = 8|\(\vec{b}\)| हो तो |\(\vec{c}\)| एवं |\(\vec{b}\)| ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
(\(\vec{a}\) - 5\(\vec{b}\)). (2\(\vec{a}\) + 7\(\vec{b}\)) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार (\(\vec{a}\) - 5\(\vec{b}\)). (2\(\vec{a}\) + 7\(\vec{b}\))

प्रश्न 8.
दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण 60° है तथा इनका अदिश गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है।
हल:
हम जानते हैं कि सदिश \(\vec{a}\)और \(\vec{b}\) के बीच का कोण यदि ए हो तो

प्रश्न 9.
यदि एक मात्रक सदिश \(\vec{a}\) के लिए \((\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})\) = 12 हो तो |\(\vec{x}\)| ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
यदि \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ + 3k̂ , \(\vec{b}\) =-î + 2ĵ + k̂ और \(\vec{c}\) = 3î + ĵ इस प्रकार हैं कि \(\vec{a}+\lambda \vec{b}\), \(\vec{c}\), पर लम्ब है तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ + 3k̂
\(\vec{b}\) = -î + 2ĵ + k̂
\(\vec{a}+\lambda \vec{b}\) = (2î + 2ĵ + 3k̂) + λ(-î + 2ĵ + k̂)
= (2 - λ)î + (2 + 2λ)ĵ + (3 + λ)k̂
तथा दिया है \(\vec{c}\) = 3î + ĵ
∵ \(\vec{a}+\lambda \vec{b}\) ⊥ \(\vec{c}\) (दिया है)
.: (\(\vec{a}+\lambda \vec{b}\)) . \(\vec{c}\) = 0
⇒ [(2 - λ)î + (2 + 2λ)ĵ + (3 + λ)k̂].[3î + ĵ] = 0
⇒ 3 (2 - λ) + (2 + 2λ) . 1 + (3 + λ) . 0 = 0
⇒ 6 - 30+ 2 + 2λ = 0
⇒ 8 - λ= 0
⇒ λ = 8

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि दो शून्ये तर सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के लिए \(|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}\) पर लम्ब हैं।
हल:
प्रश्नानुसार [\(|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}],[|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}\)] पर लम्ब है।

प्रश्न 12.
यदि \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) = 0 और \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0, तो सदिश के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
हल:
प्रश्नानुसार \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) = 0 और \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0
\(\vec{a} \cdot \vec{a}\) = 0 ,
|\(\vec{a}\)|² = 0 या |\(\vec{a}\)| = 0
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|\)cos θ = 0 [|\(\vec{a}\)| = 0]
⇒ \(\vec{b}\) कोई भी सदिश हो सकता है।

प्रश्न 13.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) मात्रक सदिश इस प्रकार हैं कि \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}\), तो \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) मात्रक सदिश हैं।

प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}\) = 0 अथवा \(\vec{b}\) = 0, तब \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0 परन्तु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार स्पष्ट है जब \(\vec{a}\) = 0 या \(\vec{b}\) = 0 तब \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0 परन्तु यदि \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0 हो तो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) का शून्य होना आवश्यक नहीं है। माना कि \(\vec{a}\) = î - 2ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = î + 3ĵ + 5k̂

प्रश्न 15.
यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A,B,C क्रमशः (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) हैं तो ∠ABC ज्ञात कीजिए। [∠ABC, सदिशों \(\overrightarrow{\mathrm{BA}} \) एवं \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) के बीच का कोण है।]
हल:
यदि O मूल बिन्दु हो तो

प्रश्न 16.
दर्शाइए कि बिन्दु A(1,2, 7), B(2,6, 3), C(3, 10, - 1) संरेख हैं।
हल:
प्रश्नानुसार बिन्दु ABC के स्थिति सदिश क्रमशः (1, 2, 7), (2, 6, 3) और (3, 10, - 1) हैं।
माना O मूल बिन्दु है।
तब \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = î + 2ĵ + 7k̂, OB = 2î + 6ĵ + 3k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = 3î + 10ĵ - k̂

तब \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= (2î + 6ĵ + 3k̂) - (î + 2ĵ + 7k̂)
= î + 4ĵ - 4k̂

तथा \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
= (3î + 10ĵ - k̂) - (2î + 6ĵ + 3k̂)
= î + 4ĵ - 4k̂
अर्थात् \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}\) एक ही सदिश î + 4ĵ - 4k̂ को निरूपित करते हैं । अत: A, B, C इस सदिश के ही बिन्दु हैं।
अतः A, B, C संरेख हैं ।

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि सदिश 2î - ĵ + k̂, î - 3ĵ -5k̂ और (3î - 4ĵ - 4k̂) एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
हल:
माना कि दिए हुए बिन्दु A, B, C हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः 2î - ĵ + k̂, î - 3ĵ -5k̂ और 3î - 4ĵ - 4k̂ हैं।

यदि O मूल बिन्दु हो तो
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = 2î - ĵ + k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = î - 3ĵ -5k̂
और \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = 3î - 4ĵ - 4k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = OB-OA
= (î - 3ĵ -5k̂) - (2î - ĵ + k̂)
= -î - 2ĵ - 6k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
= (3î - 4ĵ - 4k̂) - (î - 3ĵ -5k̂)
= 2î - ĵ + k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
= (2î -ĵ + k̂) - (3î - 4ĵ - 4k̂)
= 2î - ĵ + k̂

यहाँ पर \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) = -î - 2ĵ - 6k̂ + 2î - ĵ + k̂
= î - 3ĵ - 5k̂
= - (-î + 3ĵ + 5k̂) = -\(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) = 0
अत: A, B, C एक त्रिभुज निर्माण करते हैं।

अब \(\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}\) = (2î - ĵ + k̂).(-î + 3ĵ + 5k̂)
= 2 (- 1) + (- 1).3 + 1.5
=- 2 -3 + 5 = 0

अत: \(\overrightarrow{B C} \perp \overrightarrow{C A}\)
अत: ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष
A(2î - ĵ + k̂), B(-î + 3ĵ + 5k̂), C(3î - 4ĵ - 4k̂) हैं।

प्रश्न 18.
यदि शून्येतर सदिश त का परिमाण \(\vec{a}\) है a और λ एक शून्येतर अदिश है तो λ\(\vec{a}\) एक मात्रक सदिश है यदि
(A) λ = 1 (B) λ = - 1
(C) a = |λ|
(D) a = \(\frac{1}{|\lambda|}\)
हल:
(D) a = \(\frac{1}{|\lambda|}\)

λ\(\vec{a}\) एक मात्रक सदिश है।

अतः सही विकल्प (D) है।