RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = 2î - 7ĵ - 3k̂, \(\vec{c}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)î + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)ĵ - \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)k̂
हल:

प्रश्न 2.
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल:
सदिश \(\vec{a}\) = î + 2ĵ + k̂ तथा \(\vec{b}\) = î + ĵ + 2k̂ दो विभिन्न सदिश हैं जिनके परिमाण निम्नांकित हैं
|\(\vec{a}\)| = \(\sqrt{1^2+2^2+1^2}\) = \(\sqrt{6},|\vec{b}|\) = \(\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}\)
इस प्रकार \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) दो सदिश हैं जिनके परिमाण समान हैं ।

प्रश्न 3.
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल:
माना कि समान दिशा वाले दो सदिश \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂ तथा \(\vec{b}\) = 3î + 3ĵ + 3k̂ हैं।

प्रश्न 4.
x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश 2î + 3ĵ और xî + yî समान हों।
हल:
प्रश्नानुसार 2î + 3ĵ और xî + yĵ समान हैं तो
x = 2, y = 3

प्रश्न 5.
एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) है और अन्तिम बिन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार सदिश के प्रारम्भिक व अन्तिम बिन्दु हैं A(2, 1), B(-5, 7)
∴ AB = (x₂ - x₁)î + (y₂ - y₁)ĵ
= (-5 - 2)î + (7 - 1)ĵ = -7î + 6ĵ
अर्थात् \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) के अदिश घटक - 7 और 6 हैं।
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) के सदिश घटक –7î और 6ĵ हैं।

प्रश्न 6.
सदिश \(\vec{a}\) = î - 2ĵ + k̂ , \(\vec{b}\) = -2î +4ĵ + 5k̂ और \(\vec{c}\) = î - 6ĵ - 7k̂ का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार \(\vec{a}\) = î - 2ĵ + k̂ ,
\(\vec{b}\) = -2î +4ĵ + 5k̂
तथा \(\vec{c}\) = î - 6ĵ - 7k̂
अतः (\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) = (1 - 2 + 1)î + (-2 + 4 - 6) ĵ + (1 + 5 - 7)k̂
= 0.î + (-4)ĵ + (- 1) k̂
= -4ĵ - k̂

प्रश्न 7.
सदिश \(\vec{a}\) = î + ĵ + 2k̂ के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार \(\vec{a}\) = î + ĵ + 2k̂

प्रश्न 8.
सदिश PQ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
हल:
बिन्दु P(1, 2, 3), Q(4, 5, 6) को मिलाने वाला सदिश
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) = (x₂ - x₁)î + (y₂ - y₁)ĵ + (z₂ - z₁)k̂
= (4 - 1)î + (5 - 2)ĵ + (6 - 3)k̂
= 3î + 3ĵ + 3k̂

प्रश्न 9.
दिए हुए सदिशों \(\vec{a}\) = 2î - ĵ + 2k̂ और \(\vec{b}\) = -î + ĵ - k̂ के लिए सदिश \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार
\(\vec{a}\) = 2î - ĵ + 2k̂
और \(\vec{b}\) = -î + ĵ - k̂

प्रश्न 10.
सदिश 5î - ĵ + 2k̂ के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
हल:

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि सदिश 2î - 3ĵ + 4k̂ और - 4î + 6ĵ - 8k̂ संरेख हैं।
हल:
माना कि \(\vec{a}\) = 2î - 3ĵ + 4k̂
\(\vec{b}\) = -4î + 6ĵ - 8k̂
= -2(2î - 3ĵ + 4k̂) = -2\(\vec{a}\)
\(\vec{b}\) = -2\(\vec{a}\)
\(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) संरेख हैं यानी 2î - 3ĵ + 4k̂ और – 4î + 6ĵ - 8k̂ संरेख हैं।

प्रश्न 12.
सदिश î + 2ĵ + 3k̂ की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि यदि

प्रश्न 13.
बिन्दुओं A(1, 2, -3) एवं B(-1, -2, 1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि A(x₁, y₁, z₁) और B(x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = (x₂ – x₁)î + (y₂ - y₁)ĵ + (z₂ - z₁)k̂

प्रश्नानुसार बिन्दु A(1, 2, - 3) और B(- 1, - 2, 1) दिए हैं
∴ A से B की तरफ अभीष्ट सदिश
AB = (-1-1)î + (-2-2)ĵ + [1- (-3)]k̂
= -2î - 4ĵ + 4k̂

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि सदिश î + ĵ + k̂ अक्षों ox, OY, Oz के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
हम जानते हैं कि

स्पष्ट है कि दिया हुआ सदिश Ox, OY, Oz के साथ एक ही कोण बनाता है अर्थात् दिया हुआ सदिश निर्देशांक अक्षों के साथ बराबर झुका
हुआ है।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P(î + 2ĵ - k̂) और Q(-î + ĵ + k̂) को मिलाने वाली । रेखा को 2 : 1 के अनुपात में
(i) अन्तः
(ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) हम जानते हैं कि बिन्दु P(\(\vec{a}\)) और Q(\(\vec{b}\)) को अन्तः m :n के अनुपात में विभाजित करने वाला बिन्दु R है तो \(\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{m \vec{b}+n \vec{a}}{m+n}\) है।

यहाँ पर P(\(\vec{a}\)) = î + 2ĵ - k̂

(ii) इसी प्रकार PQ को बाह्य 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिन्दु R' है तो

प्रश्न 16.
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, - 2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि P(\(\vec{a}\)) और Q(\(\vec{b}\)) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु होता है। अतः प्रश्नानुसार
\(\vec{a}\) = 2î + 3ĵ +4k̂
\(\vec{b}\) = 4î + ĵ - 2k̂
P(\(\vec{a}\)) और Q(\(\vec{b}\)) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}\) = 3î - 4ĵ - 4k̂, \(\vec{b}\) = 2î - ĵ + k̂ और \(\vec{c}\)= î - 3ĵ - 5k̂ हैं , एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल:
प्रश्नानुसार त्रिभुज के शीर्ष हैं

A(3î - 4ĵ - 4k̂), B(2î - ĵ + k̂) और C(î - 3ĵ - 5k̂)
अब \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = B का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश
= (2î - ĵ + k̂) - (3î - 4ĵ - 4k̂)
= (2 - 3)î + (-1 + 4)ĵ + (1+4)k̂
= î + 3ĵ + 5k̂

BC = C का स्थिति सदिश - B का स्थिति सदिश ।
= (î - 3ĵ - 5k̂) - (2î - ĵ + k̂)
= (1 - 2)î + (-3 + 1)ĵ + (-5 - 1)k̂
= -î - 2ĵ - 6k̂

CA = A का स्थिति सदिश - C का स्थिति सदिश
= (3î - 4ĵ - 4k̂) - (î - 3ĵ - 5k̂)
= (3-1)î + (-4+3)ĵ + (-4+5)k̂
= 2î - ĵ + k̂

अतः दिया हुआ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 18.
त्रिभुज ABC (आकृति) के लिए निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही नहीं है :

हल:
(C) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{0}\)
सत्य नहीं है, क्योंकि \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

प्रश्न 19.
यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही नहीं है :
(A) \(\vec{b}\) = λ\(\vec{a}\) किसी अदिश के लिए
(B) \(\vec{a}\) = ± \(\vec{b}\)
(C) \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) क्रमागत घटक समानुपाती नहीं हैं।
(D) दोनों सदिशों में \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) की दिशा समान है परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।
हल:
(D) दोनों सदिशों में \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) की दिशा समान है परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।

सत्य नहीं है, क्योंकि संरेख सदिशों के परिमाण समान हो सकते हैं।