RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि f: R → R, (x) = 10x + 7 द्वारा परिभाषित फलन है। एक ऐसा फलन g : R → R ज्ञात कीजिए जिसके लिए gof = fog = IR हो।
हल:
f: R → R इस प्रकार है कि f(x) = 10x + 7
माना कि y = 10x + 7 ∴ x = \(\frac{y-7}{10}\)
g(y) = \(\frac{y-7}{10}\)
= g:Y → X, तथा g(y) = \(\frac{y-7}{10}\) द्वारा परिभाषित है।
gof(x) = g[f(x)] = g (10x + 7) = \(\frac{10 x+7-7}{10}\)
= \(\frac{10 x}{10}\) = x
fog(y) = f[g(y)] = f\(\left(\frac{y-7}{10}\right) = 10\left(\frac{y-7}{10}\right)\) + 7 = y
⇒ gof(x) = I_R एवं fog(y) = I_R
⇒ व्युत्क्रमणीय है जो g : R → R, g(y) = \(\left(\frac{y-7}{10}\right)\) से परिभाषित है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि f : W → W, f(n) = n - 1, यदि n विषम है तथा f(n) = n + 1, यदि n सम है, द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। यहाँ W समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है।
हल:
f : W → W को

से परिभाषित. किया गया है। यदि n1 विषम और n2 सम हों तो
f(n₁) = f(n₂) = n₁ - 1 = n₂ + 1
या n₁ - n₂ = 2 जो सम्भव नहीं है।
यदि n₁ और n₂ दोनों विषम हों तो
f(n₁) = f(n₂) ⇒ n₁ - 1 = n₂ - 1 ⇒ n₁ = n₂
यदि n₁ और n₂ दोनों सम हों तो
n₁ + 1 = n₂ + 1 ⇒ n₁ = n₂
⇒ f एकैकी है।
सहप्रान्त में प्रत्येक अवयव 2r + 1, प्रान्त के 2r का प्रतिबिम्ब है। इसी प्रकार कोई भी सम संख्या प्रान्त के 2n + 1 का प्रतिबिम्ब है।
→ सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
∴ f व्युत्क्रमणीय है। तब f (x) = y ⇔ x = f^-1(7)
⇒ f^-1(y) = g(y) इस प्रकार है
g : w → w,

⇒ f का प्रतिलोम स्वयं f है। = f^-1 = f

प्रश्न 3.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = x² - 3x + 2 द्वारा परिभाषित है तो f[f(x)] ज्ञात कीजिए।
हल:
f: R → R, f(x) = x² - 3x + 2 द्वारा परिभाषित है।
∴ f[f(x)] = f(x² - 3x + 2)
= (x² - 3x + 2)² - 3 (x² - 3x + 2) + 2
= (x⁴ + 9x² + 4 - 6x³ - 12x + 4x²) + (- 3x² + 9x - 6) + 2
= x⁴ - 6x² + 10x² - 3x

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि f : R → {x ∈ R : - 1 हल:
f: R → {x ∈ R : - 1 < x < 1} तथा f(x) = 1,
द्वारा परिभाषित है। माना कि x ≥ 0, तब |x| = x
∴ f(x) = \(\frac{x}{1+x}\)
x₁, x₂ ∈ R इस प्रकार है कि
f(x₁) = f(x₂) ⇒ \(\frac{x_1}{1-x_1}=\frac{x_2}{1-x_2}\)
या x₁ (1 + x₂) = x₂ (1 + x₁)
या x₁ + x₁x₂ = x₂ - x₂x₁
x₁ = x₂
⇒ f एकैकी है।
तथा जब x ≥ 0, y = \(\frac{x}{1+x}\), y (1 + x) = x
yx + y = x या x = \(\frac{y}{1-y}\) ∈ R
जब x < 0, y = \(\frac{x}{1-x}\) या y (1 - x) = x
x(y + 1) = y या x = \(\frac{y}{1+y}\) ∈ R
⇒ दोनों ही अवस्था में सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
⇒ f आच्छादक है।
अतः । एकैकी तथा आच्छादक है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R एकैक (injective) है।
हल:
f: R → R, f(x) = x³
माना x₁, x₂ ∈ R

इस प्रकार है कि f(x₁) = f(x₂)
f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁³ = x₂³ ⇒ x₂ - x₂ = 0 ⇒ (x₁ - x₂)(x₁2 + x₂2 + x₁x₂)
⇒ x₁ = x₂
[∵ x₁ + x₂ + x₁x₂ = (x₂ - \(\frac{1}{2}\)x₁)
अतः f एकैकी है।

प्रश्न 6.
दो फलनों f : N → Z तथा g : Z → Z के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि, gof एकैक है परन्तु g एकैक नहीं है। (संकेत : f(x) = x तथा g(x) = |x| पर विचार कीजिये।)
हल:
f : N → Z तथा g : Z → Z को परिभाषित किया है
f(x) = - x, g(x) = |x| से
g(x) = |x|, - 1, 1 दोनों का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ g एकैकी नहीं है।
परन्तु gof : N → Z तथा g(f(x)) = g(- x) = |- x| = |x|
= g(f(x)) = |x| = x
∴ gof एकैकी है।

प्रश्न 7.
दो फलनों f : N→ N तथा g : N → N के उदाहरण दीजिए, जो इस प्रकार हों कि, gof आच्छादक है किन्तु f आच्छादक नहीं है।

विचार कीजिये।)
हल:
f : N → N, g : N → N

f(x) = y = x + 1 ∴ x = y - 1
यदि y = 1, x = 0 जो कि प्राकृत संख्या नहीं है।
अतः 1 का पूर्व प्रतिबिम्ब विद्यमान नहीं है। = f आच्छादक नहीं है।
यदि x > 1, gof(x) = g(f(x)) = g(x + 1)
= (x + 1) - 1 = x = I_N (x)
∴ gof आच्छादक है।

प्रश्न 8.
एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक सम्बन्ध R परिभाषित कीजिए :
P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A C B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता सम्बन्ध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।
हल:
क्योंकि A ⊆ A ∀ A ∈ P(X)
⇒ R स्वतुल्य है।
माना कि A, B ∈ P(X) ∴ ARB ⇒ A ⊆ B
लेकिन A ⊆ P ⇏ B ⊆ A [जब तक A = B न हो।]
अतः R सममित भी नहीं है।
∴ R तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।

प्रश्न 9.
किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए एक द्विआधारी संक्रिया * : P(X) × P(X) → P(X) पर विचार कीजिए, जो A * B = A ∩ B, ∀ A, B ∈ P(X) द्वारा परिभाषित है, जहाँ P(X) समुच्चय X का घात समुच्चय (Power set) है। सिद्ध कीजिए कि इस संक्रिया का तत्समक अवयव X है तथा संक्रिया * के लिए P(X) में केवल X व्युत्क्रमणीय अवयव है।
हल:
हमें दिया है * : P(X) × P(X) → P(X) तथा
A * B = A ∩ B ∀ A, B ∈ P(X)
X * A = X ∩ A = A सभी A के लिए
इसी प्रकार A * X = A ∩ X = A
⇒ X एक तत्समक अवयव है तथा व्युत्क्रमणीय अवयव है। मान लीजिए I एक दूसरा तत्समक अवयव है।
∴ I ∩ A = A सभी A के लिए
तथा x ∈ X, I ∩ {x} = {x}
⇒ x ∈ I ⇒ X ⊂ I और I ⊂ X
I = X

प्रश्न 10.
समुच्चय {1, 2, 3, ....., n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल;

माना कि Y 1 2 3 ..... n
X 1 2 3
समुच्चय Y का प्रत्येक अवयव समुच्चय X के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
इस प्रकार X और Y के अवयवों में सम्बन्ध n (n - 1) (n - 2) ..... 3 . 2 . 1 = n! तरीकों से हो सकता है।
अतः दिए गए समुच्चय से स्थल तक समस्त आच्छादक फलनों की संख्या = [n

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि S = {a, b, c} तथा T = {1, 2, 3} है। S से T तक के निम्नलिखित फलनों F के लिए F^-1 ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है :
(i) F = {(a, 3), (6, 2), (c, 1)}
(ii) F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}
हल:
(i) S = {a, b, c}, T = {1, 2, 3}
F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
F(a) = 3, F(b) = 2, F(c) = 1
∴ F^-1(3) = a, F^-1(2) = b, F^-1(1) = c
∴ F^-1 = {(3; a), (2, b), (1, c)}
F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)} फलन F में b तथा c का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ एकैकी नहीं है
⇒ यह फलन व्युत्क्रमणीय नहीं है।

प्रश्न 12.
a * b = |a – b|तथा aob = a, ∀ a, b ∈ R द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं * : R × R → R तथा 0 : R × R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय है परन्तु साहचर्य नहीं है, साहचर्य है परन्तु क्रमविनिमेय नहीं है। पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी a, b, c ∈ R के लिए a * (b oc) = (a * b) o (a * c) है। [यदि ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि संक्रिया * संक्रिया o पर वितरित (Distribute) होती है।] क्या ० संक्रिया * पर वितरित होती है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल:
प्रश्नानुसार दिया है a * b = |a - b| और a o b = a
a * b = a - b,
b * a = b - a = a - b
∴ * क्रमविनिमेय संक्रिया है।
तथा (a * b) * c = |a – b| * c = ||a – b| - c |
एवं a * (b * c) = a * |b - c = |a - |b - c||
अतः a * (b * c) ≠ (a * b) * c

जैसे 3 * (5 × 7) = | 3 - 15 - 711 = 1
(3 * 5) * 7 = ||3 - 5| - 7| = 5
∴ * साहचर्य संक्रिया नहीं है।

(ii) ao b = a, bo a = b, a + b
∴ ० क्रमविनिमेय संक्रिया नहीं है।
a o (boc) = a o b = a
एवं .. (aob) oc = aoc = a
अतः ao(boc) = (aob)oc ∀ a, b, c ∈ R
∴ 01 साहचर्य संक्रिया है।

(iii) सिद्ध करना है a * (boc) = (a * b) 0 (b * c)
बायाँ पक्ष = a * (boc) = a * b = |a – b|
दायाँ पक्ष = (a * b) 0 (b * c)
= |a - b| o |b - c| = |a – b|
⇒ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः a * (boc) = (a * b) 0 (b * c)

(iv) क्या ao (b * c) और (aob) * (aoc) बराबर है?
बायाँ पक्ष = ao (b * c) = ao |b - c| = a
दायाँ पक्ष = (aob) * (aoc) = a * a = a - a = 0
⇒ बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष
= संक्रिया 0 संक्रिया * पर वितरण संक्रिया नहीं है।

प्रश्न 13.
किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए मान लीजिए कि * : P(X) × P(X) → P(X), जहाँ A * B = (A - B) ∪ (B - A) ∀ A, B ∈ P(X) द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय Φ, संक्रिया * का तत्समक है तथा P(X) के समस्त अवयव A व्युत्क्रमणीय हैं, इस प्रकार कि A^-1 = A.. [संकेत : (A - Φ) ∪ (Φ - A) = A तथा (A - A) ∪ (A - A) = A * A = Φ]
हल:
* : P(X) x P(X) → P(X) जो कि इस प्रकार परिभाषित है।
A * B= (A - B) ∪ (B - A)
A * B = (A - B) ∪ (B - A)
B = Φ रखने पर A * = (A - Φ) ∪ (Φ - A)
= A ∪ Φ = A
Φ * A = (Φ - A) ∪ (A - Φ)
⇒ Φ ∪ A = A
A * Φ = Φ * A = A
∴ Φ तत्समक अवयव है।
A * A = (A - A) ∪ (A - A)
⇒ Φ ∪ Φ = Φ
A * A = Φ ⇒ A^-1 = A

प्रश्न 14.
निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय {0, 1, 2, 3, 4, 5} में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए :

सिद्ध कीजिए कि शून्य (0) इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव a ≠ 0 व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि 6 - a, a का प्रतिलोम है।
हल:
संक्रिया समुच्चय A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} पर

(a + b - 6, यदि a + b > 6 से परिभाषित है।
(i) e तत्समक अवयव है यदि a * e = e * a = a मान लीजिए
e = 0, a * e = a + 0 = a
a = 0 + a = a
e = e * a = a
∴ 0 तत्समक अवयव है।

(ii) b, अवयव a ≠ 0 का व्युत्क्रम है यदि a * b = b * a = e
a * (6 - a) = a + (6 - a) - 6 = 0
(6 - a) * a = (6 - a) + a - 6 = 0
⇒ a * (6 - a) = (6 - a) * a = 0
∴ इस प्रकार A के प्रत्येक अवयव a (जबकि a ≠ 0) का 6 - a व्युत्क्रम है।

प्रश्न 15.
मान लीजिए कि A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 4, - 2, 0, 2} और f, g : A → B, क्रमशः f(x) = x² - x, x ∈ A तथा g(x) = 2 |x - \(\frac{1}{2}\)| - 1, x ∈ A द्वारा परिभाषित फलन हैं। क्या f तथा g समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए। [संकेत : नोट कीजिये कि दो फलन f : A → B तथा g: A → B समान कहलाते हैं यदि f(a) = g(a) ∀ a ∈ A हो।]
हल:
यदि A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 4, - 2, 0, 2} और f,
g : A → B फलन की f(x) = x² - x, x ∈ A
और g(x) = 2 |x - \(\frac{1}{2}\)| - 1, x ∈ A से परिभाषित किया है
x = - 1 पर
f(- 1) = x² - x= 1 + 1 = 2, g(-1) = 2|-1 - \(\frac{1}{2}\)| - 1 = 2

x = 0 पर
f(x) = 0 - 0 = 0, g(0) = 2|0 - \(\frac{1}{2}\)| -1 = 0

x = 1 पर
f(1) = 1² - 1 = 0, g(1) = 2|-1 - \(\frac{1}{2}\)| - 1 = 0

x = 2 पर
f(2) = 2² - 2 = 2, g(x) = 2|2 - \(\frac{1}{2}\)| - 1 = 3 - 1 = 2
प्रत्येक a ∈ A, f(a) = g(a) ∀ a ∈ A
⇒ f तथा g समान हैं।

प्रश्न 16.
यदि A = {1, 2, 3} हो तो ऐसे सम्बन्ध जिनमें अवयव (1, 2) तथा (1, 3) हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किन्तु संक्रामक नहीं हैं, की संख्या है
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल:
(A) 1

माना R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}
∵ (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R = aR a, ∀ a ∈ A = R स्वतुल्य है।
और (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1) ∈ R
⇒ aR b ⇒ b R a, ∀ a, b ∈ A
⇒ R सममित है।
∴ 3 R 1 एवं 1 R 2
अर्थात् (3, 2) ∉ R
अतः सम्बन्ध र संक्रामक नहीं है।
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 17.
यदि A = {1, 2, 3} हो तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या है
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल:
(B) 2
1, 2 से सम्बन्धित हो तो ऐसे दो सम्बन्ध होंगे जो तुल्यता सम्बन्ध हों।
R₁ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3),.. (3, 1), (2, 3), (3,, 2)}
तथा R₂ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 18.
मान लीजिए कि f : R → R है तब निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित चिह्न फलन (Signum Function) है।

तथा g : R→R, g(x) = [x], द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन है, जहाँ [x], x से कम या x के बराबर पूर्णांक है, तो क्या fog तथा gof, अन्तराल [0, 1] में संपाती (coincide) हैं?
हल:
f: R → R जो

से परिभाषित है
तथा g : R → R जो g(x) = [x] से परिभाषित है।
यहाँ gof तथा fog संपाती नहीं हैं क्योंकि

gof(½) = g[f(½)] = g[1] = [1] = 1
परन्तु (fog) (½) = [g(½)] = f([½]) = f(0) = 0
अतः (gof) (½) ≠ (fog)(½)

प्रश्न 19.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है
(A) 10
(B) 16
(C) 20
(D) 8
हल:
(B) 16

समुच्चय {a, b} में दो अवयव हैं। अतः द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या
= 2²² = 2⁴ = 16
[∵ यदि किसी समुच्चय में अवयवों की संख्या n है तो A पर परिभाषित होने वाले द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या = nⁿ²]
अतः सही विकल्प (B) है।