RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.1

प्रश्न 1.
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित सम्बन्धों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
(i) समुच्चय A = {1, 2, 3, ......, 13, 14} में सम्बन्ध R, इस प्रकार परिभाषित है कि ।
R = {(x, y) : 3x - y = 0}
(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R.
(iii) समुच्च य A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(x, y) : y भाज्य है x से} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है।
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {x. v) : x - y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R.
(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सम्बन्ध R
(a) R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
(b) R = {(x, Y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते
(c) R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी. लम्बा
(d) R = {(x, y) : x, y की पत्नी है।
(e) R = {(x, y) : x, y के पिता हैं}
हल:
(i) समुच्चय A = {1, 2, 3, ......, 13, 14}
तथा R = {(x, y) : 3x - y = 0 i.e. y = 3x}
= {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)} अब (1, 1) ∉ R,
∴ स्वतुल्य नहीं है। (1, 3) E R और (3, 1) ∉ R
∴ सममित नहीं है। (1, 3) और (3, 9) ∈ R लेकिन (1, 9) ∉ R,
∴ R संक्रामक नहीं है।

(ii) N = प्राकृत संख्याओं का समुच्चय = {1, 2, 3, 4, ....}
तथा R = {(x, y) : y = x + 5, x < 4}
= {(1, 6), (2, 7), (3, 8)} (1, 1) ∉ R
अतः R स्वतुल्य नहीं है। (1, 6) ∈ R और (6, 1) ∉ R अतः R सममित नहीं है।
इसी प्रकार यहाँ R संक्रामक भी नहीं है क्योंकि R में (x, y) ∈ R तथा (y, z) ∈ R वाला कोई युग्म ही नहीं है जिसके लिए (x, z) ∈ R हो।
[∵ (x, y) ∈ R परन्तु (y, z) ∉ R तब (x, z) , R]

(iii) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) : y संख्या x से भाज्य है।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
∵ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) R
∴ R स्वतुल्य है। यदि " संख्या x से भाज्य है तो x संख्या y से भाज्य नहीं है। जैसे (1, 2) ∈ R परन्तु (2, 1) ∉ R R सममित नहीं है। (1, 2), (2, 4) ∈ R, (1, 4) भी R में है इसी प्रकार (1, 3), (3, 6) ∈R तब (1, 6) ∈R
∴ R संक्रामक है। यहाँ पर R सममित नहीं है पर स्वतुल्य है और संक्रामक है।

(iv) Z = पूर्णांकों का समुच्चय [....., - 3, - 2, -- 1, 0, 1, 2, 3, .....]
R = {(x, Y) : x - y एक पूर्णांक है} x - x = 0, एक पूर्णांक है = (x, x) ∈ R ∀ x ∈ Z
∴ R स्वतुल्य है। पुनः x - y पूर्णांक है तब -(x - y) भी पूर्णांक होगा; चूँकि यह पूर्णांक का ऋणात्मक है।
या (y - x) भी पूर्णांक है।
अर्थात् (x - y) पूर्णांक = (y - x) पूर्णांक
या xRy = yRx सत्य है। या (x, y) ∈ R
⇒ (y, x) ∈ R, ∀ x, y ∈ Z
अतः R सममित है। यदि (x - y) तथा (y - 2) दोनों ही पूर्णांक हैं। अतः इनका योग x - y + y - z = x - 2 भी पूर्णांक ही होगा [चूँकि पूर्णांक संख्याओं का योग भी पूर्णांक होगा]
या XRy, yRx = XRz, ∀ x, y, z ∈ Z
अतः R संक्रामक है।
⇒ R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

 

(v) माना एक नगर के एक विशेष समय पर रहने वालों का समुच्चय = A
(a) R = {(x, y) : x और ' दोनों ही एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
R स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति उस नगर में उस विशेष समय पर कार्य करते हैं। [∵ x और x दोनों एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, जो कि सत्य है।]
R सममित है। x, एक ही स्थान पर एक समय पर कार्य करते हैं तो y. x भी उस स्थान पर उस समय कार्य करते हैं।
R संक्रामक है यदि x, y तथा y, z एक नगर में एक ही समय पर कार्य करते हैं तो उस नगर में उसी समय x, z भी कार्य करते हैं।
इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

(b) R = {(x, y) : x और ' एक ही मोहल्ले में रहते
हैं। R स्वतुल्य है। उस स्थान का प्रत्येक व्यक्ति वहीं पर रहता है। [∵ x और x एक ही स्थान पर रहते हैं, जो कि सत्य है।]
R सममित है x और y एक स्थान पर रहते हैं तो उसी स्थान पर y और x भी रहते हैं।
R संक्रामक है। x, y तथा y, z एक स्थान पर रहते हैं तो x, z भी उसी स्थान पर रहते हैं।
अतः स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

(c) R = {(x, y) : .x, y से ठीक-ठीक 7 cm. लम्बा यह स्वतुल्य नहीं है, कोई भी व्यक्ति अपने से 7 cm. अधिक लम्बा नहीं हो सकता अर्थात् (x, x) ∈ R यह सममित नहीं है यदि x से ठीक 7 cm. लम्बा हो तो x, y से 7 cm. लम्बा नहीं हो सकता अतः (x, y) ∈ R = (y, x) ∉ R यह संक्रामक नहीं है। x, y से तथा y, z से ठीक 7 cm. लम्बे हों तो x, z से ठीक 7 cm. अधिक लम्बा नहीं है अतः (x, y) ∈ R & (y, z) ∈ R = (x, z) ∉ R
अत: R स्वतुल्य, सममित, संक्रामक में से कोई भी नहीं है।

(d) R = {(x, y) : x, y की पत्नी है} यह स्वतुल्य नहीं है। x अपनी ही पत्नी नहीं हो सकती
⇒ (x, x) ∉ R यह सममित नहीं है। यदि x, y की पत्नी है तो y, x की पत्नी नहीं हो सकती। र संक्रामक है, क्योंकि यदि x, y की पत्नी है तो y किसी की पत्नी नहीं हो सकती अर्थात् xRy तो y R z.
या (x, y) ∈ R तब (y, z) ∉R तथा (x, z) ∉ R अतः हमें ऐसे दो युग्म (x, y) तथा (y, z) नहीं प्राप्त होंगे जिनके लिए हम संक्रामकता का परीक्षण कर सकें। ऐसी स्थिति में R को संक्रामक कहा जाता है। अतः स्वतुल्य एवं सममित नहीं है परन्तु संक्रामक है।

(e) R = {(x, y) : x, y के पिता हैं।
R स्वतुल्य नहीं है क्योंकि x अपना ही पिता नहीं हो सकता। यह सममित नहीं है क्योंकि यदि x, y का पिता है तो y, x का पिता नहीं हो सकता।
R संक्रामक नहीं है। यदि x, y का y, z का पिता हो तो x, z का पिता नहीं हो सकता। अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक में से कोई भी नहीं है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R. न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।
हल:
R = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
R = {(a, b) : a ≤ b²}, वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित सम्बन्ध है।
(i) R स्वतुल्य नहीं है क्योंकि \(\frac{1}{2}\) ≰ \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
⇒ \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) ∉ R
R सममित नहीं है क्योंकि यदि a = 2, b = 5 - तब
2 ≤ 52 = (2, 5) ∈ R लेकिन
5 ≰22 = (5. 2) ∉ R अतः
(2, 5) ∈ R = (5, 2) ∉ R

(iii) R संक्रामक नहीं है। मान लीजिए a = 2, b = - 2 और c = - 1 तब 2 < (-2)², - 2 < (- 1)² परन्तु 2 ≰ (- 1)²
अतः (2, -2), ∈ R, (-2, -1) ∈ R = (2, -1) ∈ R इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित व संक्रामक में कोई भी नहीं है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(a, b) : b = a + 1} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध र स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।
हल:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R = {(a, b) : b = a + 1} अर्थात् {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
क्योंकि (1, 1) ∉ R
∴ R स्वतुल्य नहीं है। (2, 3) ∈ R लेकिन (3, 2) ∉ R
∴ R संक्रामक नहीं है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि R में R = {(a, b): a ≤ b}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध र स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
हल:
R = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
R = {(a, b) : a ≤ b}
(i) R स्वतुल्य है क्योंकि a ≤ a सत्य है क्योंकि a = a, ∀ a, ∈ R
(ii) R सममित नहीं है। यदि a, b से कम है तो b, a से कम नहीं है।
(ii) R संक्रामक है। यदि a ≤ b, b ≤ c = a ≤ c, ∀ a, b, c ∈ R
= R स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b³} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?
हल:
R = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
R = {(a, b) : a ≤ b³}
R स्वतुल्य नहीं है यदि a = \(\frac{1}{2}\), तब \(\frac{1}{2} \leq\left(\frac{1}{2}\right)^3\)
अत: \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) ∉ R

R सममित नहीं है। यदि a ≤ b3 तो b, a से कम या बराबर नहीं है।
जैसे a = 1, b = 2, 1 < 2³ परन्तु 2, 1³ से कम नहीं है।
R संक्रामक नहीं है। यदि a ≤ b, b ≤ c तो a ≤ c का सत्य होना आवश्यक नहीं है। जैसे a = 7, b = 2, c = 1.5
a < b³ ⇒ 7 < 2³ = 8 सत्य है, b ≤ c = 2 < (1.5)³ सत्य है
परन्तु 7 < (1.5)³ सत्य नहीं।
⇒ R स्वतुल्य, सममित व संक्रामक में से कोई भी नहीं है।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध र सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
हल:
दिया गया समुच्चय A= {1, 2, 3}
सम्बन्ध R = {(1, 2), (2, 1)}
R स्वतुल्य नहीं है। ∵ (1, 1), (2, 2), (3, 3) R
R सममित है। ∵ (1, 2) ∈ R = (2, 1) ∈ R (1, 2) ∈ R, (2, 1) ∈ R लेकिन (1, 1) ∉ R
∴ R संक्रामक नहीं है।
⇒ R सममित है परन्तु स्वतुल्य और संक्रामक नहीं है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध र एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल:
(x, x) ∈ R, क्योंकि x तथा X में पेजों की संख्या समान है।
∴ R स्वतुल्य है। (x, y) ∈ R → x तथा y में पेजों की संख्या समान है।
= y तथा x में पेजों की संख्या समान है।
⇒ (y, x) ∈ R
∴ R सममित है। (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R = x तथा y में पेजों की संख्या समान है और y तथा z में पेजों की संख्या समान है।
⇒ x तथा 2 में पेजों की संख्या समान है। = (x, z) ∈ R
∴ R संक्रामक है। यहाँ पर दिया गया सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध र एक तुल्यता सम्बन्ध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एकदूसरे से सम्बन्धित हैं परन्तु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी भी अवयव से सम्बन्धित नहीं है।
हल:
दिया गया समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5} सम्बन्ध R = {(a, b) : |a - b| एक सम संख्या है?
= {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5)}
(a) (i) R स्वतुल्य है। |a - a| = 0 सम संख्या है।
(ii) R सममित है। |a - b = |b - a| = सम संख्या
(iii) aRb ⇒ |a - b| सम संख्या है
bRc ⇒ b - c सम संख्या है |a – b| तथा |b - c| का योग भी सम संख्या होगी।
⇒ aRc (∵ सम संख्या का योग भी सम संख्या होती है।)
अत: R संक्रामक है।
दिया गया सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। अतः सम्बन्ध र एक तुल्यता सम्बन्ध है।

(b) समुच्चय {1, 3, 5} में |1 - 31, |1 - 51, 13 - 5| सभी संख्याएँ सम हैं। इसके सभी अवयक एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। समुच्चय {2, 4} में |2 - 4| एक सम संख्या है।
∴ इसके अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। परन्तु {1, 3, 5}, {2, 4} के अवयव आपस में सम्बन्धित नहीं हैं क्योंकि |1 - 2|, |3 - 4|, |4 - 5| सम संख्याएँ नहीं हैं।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित सम्बन्धों R में से प्रत्येक एक तुल्यता सम्बन्ध है :
(i) R = {(a, b) : |a – b|, 4 का एक गुणज है},
(ii) R = {(a, b) : a = b}, प्रत्येक दशा में 1 से सम्बन्धित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
हल:
A = {(x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12} = {0, 1, 2, 3, ....., 12}
(i) R = {(a, b) : |a - b| 4 का गुणज है}
= {(1, 5), (1, 9), (2, 6), (2, 10), (3, 7), (3, 11), (4, 8), (4, 12), (5, 9), (6, 10), (7, 11), (8, 12), (0, 4), (0, 8), (0, 12), (0, 0), (1, 1), (2, 2), ..... (12, 12)}
R स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक a ∈ A के लिए a - a = 0, जो कि 4 का गुणज है।
अतः (a, a) ∈ R ∀ a∈ A
R सममित है। |a - b| = |b - a| = 4k
अतः (a, b) ∈ R = (b, a) ∈ R Va, b ∈ A
R संक्रामक है यदि (a, b) ∈ R = |a - b|, 4 का गुणज़ है
= a - b = ± 4k₁ ....(1)
(b, c) ∈ R = | b - c|, 4 का गुणज है
⇒ b - c = ± 4k₂ ....(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
⇒ a - b + b - c = + 4 (- k₁ + k₂) =
⇒ a - c = + 4 (-k₁ + k₂)
⇒ |b - c |, 4 का गुणज है।
⇒ R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
1 से सम्बन्धित अवयवों का समुच्चय {1, 5, 9}

(ii) a = a ∀ a ∈ A
⇒ R स्वतुल्य है। माना कि (a, b) ∈ R = a = b
⇒ b = a = (b, a) ∈ R
∴R सममित है।
माना कि (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R ⇒ a = b
तथा b = c ⇒ a = c = (a, c) ∈ R.
∴ R संक्रामक है।
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
1 से सम्बन्धित अवयवों का समुच्चय = {(a ∈ A : a = 1} = {1}

प्रश्न 10.
ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिए, जो
(i) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
(ii) संक्रामक हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किन्तु संक्रामक न हो।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किन्तु सममित न हो।
(v) सममित तथा संक्रामक हो किन्तु स्वतुल्य न हो।
हल:
(i) A = एक समतल में रेखाओं का समुच्चय
R = {(a, b) : a, b पर लम्ब है}
रेखा a, b पर लम्ब है। तो b रेखा a पर लम्ब है। = (b, a) ∈ R
= R सममित सम्बन्ध है।
R स्वतुल्य नहीं है। रेखा a अपने पर ही लम्ब नहीं हो सकती।
R संक्रामक नहीं है। a रेखा b पर लम्ब है, b रेखा c पर लम्ब है परन्तु a रेखा c पर लम्ब नहीं है। अर्थात् समान्तर होगी।

(ii) A = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
R= {(a, b) : a > b} R संक्रामक है। यदि a > b और b > c ⇒ a > c
R स्वतुल्य नहीं है। a अपने आप से बड़ी संख्या नहीं
R सममित नहीं है। यदि a > b तो b, a से बड़ी नहीं है।

(iii) समुच्चय A = {1, 2, 3} पर परिभाषित कोई सम्बन्ध
R = [(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2), (1, 2), (2, 1)}
∴(1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R
∴ R स्वतुल्य हो।
∴ (2, 3) ∈ R = (2, 1) ∈ R एवं (1, 2) ∈ R = (2, 1) ∈ R
∴ R सममित है। परन्तु R संक्रामक नहीं क्योंकि (1, 2) ∈ R एवं (2, 3) ∈ R परन्तु (1, 3) ∈ R.

(iv) A = {1, 2, 3}
R= {(a, b) : a ≤ b} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1,3), (2, 3)}
R स्वतुल्य है। {(1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R = a ≤ a ∀ a ∈ R
R संक्रामक है। (1, 2), (2, 3) ∈ R = (1, 3) ∈ R
R सममित नहीं है, क्योंकि 1 < 2 तो 2 ≮ 1
या (1, 2) ∈ R = (2, 1) ∉ R

(v) माना A = {1, 2, 3}
तब R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)}
R स्वतुल्य नहीं है। चूंकि 3 ∈ A परन्तु (3, 3) ∉ R,
अतः R स्वतुल्य नहीं है।
R सममित है। चूँकि (1, 2) ∈ R = (2, 1) ∈ R,
R संक्रामक है चूँकि (1, 2) ∈ R तथा (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈R

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिन्दुओं के समुच्चय में, R = {(P, Q) : बिन्दु P की मूल बिन्दु से दूरी, बिन्दु Q की मूल बिन्दु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध र एक तुल्यता सम्बन्ध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P ≠ (0, 0) से सम्बन्धित सभी बिन्दुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।
हल:
A : समतल में बिन्दुओं का समुच्चय
R : {(P, Q) : मूल बिन्दु से P तथा Q की दूरी समान है।
= {(P, Q) : OP = OQ}
R स्वतुल्य है क्योंकि OP अपने ही बराबर. है।
R सममित है क्योंकि यदि OP = OQ ⇒ OQ = OP
R संक्रामक है क्योंकि यदि OP = OQ, OQ = OR ⇒ OP = OR
∴ R तुल्यता सम्बन्ध है। मान लीजिए OP = k ⇒ बिन्दु P एक वृत्त पर रहता है जो O से k दूरी पर है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(T₁, T₂) : T₁, T₂ के समरूप है} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T₁, भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T₂ तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T₃ पर विचार कीजिए । T₁, T₂ और T₃ में से कौनसे त्रिभुज परस्पर सम्बन्धित हैं?
हल:
A = एक समतल में त्रिभुजों का समुच्चय
R = (T₁, T₂) : T₁ और T₂ समरूप त्रिभुज है}
(i) R स्वतुल्य है। प्रत्येक त्रिभुज अपने समरूप है।
R सममित है। यदि त्रिभुज T₁ त्रिभुज T₂ के समरूप है तो त्रिभुज T₂ त्रिभुज T₁ के भी समरूप है।
R संक्रामक है। यदि त्रिभुज T₁, T₂ और त्रिभुज T₂, T₁, समरूप हैं तो त्रिभुज T₁, T₃ भी समरूप हैं।
⇒ R तुल्यता सम्बन्ध है।

(ii) त्रिभुज T₁ की भुजाएँ 3, 4, 5 हैं, त्रिभुज T₂ की भुजाएँ 5, 12, 13 हैं तथा त्रिभुज T₃ की भुजाएँ 6, 8, 10 हैं। त्रिभुज T₁ और T₃ की भुजाएँ समानुपाती हैं अर्थात् \(\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}\), इसलिए यह समरूप है।
⇒ त्रिभुज T₁ और T₃ आपस में सम्बन्धित हैं।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में,R= {(P₁, P₂): P₁ तथा P₂ की भुजाओं की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 3, 4 और 5 लम्बाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से सम्बन्धित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल:
A : बहुभुजों का समुच्चय
R = {(P₁, P₂) : P₁, P₂ की भुजाओं की संख्या बराबर है}
(i) R स्वतुल्य है। किसी भी बहुभुज की भुजाओं की संख्या स्वयं के समान रहती है। अर्थात् (P, P) ∈ R ∀ P ∈ A
R सममित है। यदि बहुभुज P₁, P₂ की भुजाएँ n हैं । तो बहुभुज P₂ और P₁ की भुजाएँ भी n होंगी। R संक्रामक है। यदि बहुभुज P₁, P₂ और P₂, P₃ प्रत्येक की n भुजाएँ हैं तो P₁ और P₃ की भी n भुजाएँ हैं।
∴ R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

(ii) दिया है T = एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3, 4, 5 हैं।
T की भुजाओं की संख्या = 3
अतः A के तीन भुजाओं वाले सभी बहुभुज R द्वारा T से सम्बन्धित हैं।
∴ A के सभी त्रिभुज R द्वारा T से सम्बन्धित हैं।
इस प्रकार A में उन सभी अवयवों का समुच्चय जो R द्वारा T से सम्बन्धित है = त्रिभुजों का समुच्चय।

प्रश्न 14.
मान लीजिए कि XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R= {(L₁, L₂) : L₁ समान्तर है L₂ के} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है। रेखा y = 2x + 4 से सम्बन्धित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल:
L = XY तल में सभी रेखाओं का समुच्चय
∴ R = {(L₁, L₂) : L₁, L₂, के समान्तर है?
(i) R स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक रेखा स्वयं के समान्तर होती है अर्थात् ∀ L₁ ∈ L, (L₁, L₂) ∈ R

(ii) माना L₁, L₂ ∈ L, इस प्रकार है कि (L₁, L₂) ∈ R
∴ (L₁, L₂) ∈ R = L₁, L₂ के समान्तर है = L₂, L₁ के समान्तर है
= (L₂, L₁) ∈ R
∴ R सममित है।

(iii) यदि (L₁, L₂) ∈ R, (L₂, L₃) ∈ R = (L₁, L₃) ∈ R
∀ L₁, L₂, L₃ EL
∴ R संक्रामक है।
⇒ R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
पुनः रेखा y = 2x + 4 की ढाल 2 है अतः रेखा y = 2x + 4 से सम्बन्धित सभी रेखाओं का समुच्चय वे रेखायें होंगी जिनकी ढाल m = 2 होगी। इस प्रकार y = 2x + 4 से सम्बन्धित रेखाओं का समुच्चय y = 2x + k है जबकि k कोई भी स्वेच्छ मान रखता है।

प्रश्न 15.
मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में, R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए :
(A) R स्वतुल्य तथा सममित है किन्तु संक्रामक नहीं है।
(B) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
(C) R सममित तथा संक्रामक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(D) R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल:
यहाँ पर A = {1, 2, 3, 4}
एवं R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}
R स्वतुल्य एवं संक्रामक है, लेकिन सममित नहीं है क्योंकि (1, 2) ∈ R परन्तु (2, 1) ∉ R अतः सही उत्तर B है।

प्रश्न 16.
मान लीजिए कि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:
(A) (2, 4) ∈ R
(B) (3, 8) ∈ R
(C) (6, 8) ∈ R
(D) (8, 7) ∈ R
हल:
R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6}
∴ R = {(5, 7), (6, 8), (7, 9), .........}
यहाँ पर (6, 8) ∈ R है अतः सही उत्तर (C) है।