RBSE Class 12 Maths Notes Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

These comprehensive RBSE Class 12 Maths Notes Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन will give a brief overview of all the concepts.

RBSE Class 12 Maths Chapter 2 Notes प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

भूमिका (Introduction):
त्रिकोणमितीय समीकरण sin θ = x का अर्थ है कि कोण θ के sin θ का मान x है। x के दिये हुए मान के लिए 4 के मान जो समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं, समीकरण के हल कहलाते हैं। उक्त समीकरण में θ का मान संकेत "sin^-1x" द्वारा व्यक्त करते हैं तथा इसे “sin θ Inverse x" पढ़ते हैं अर्थात्
यदि sin θ = x
तो θ = sin^-1x

sin^-1x, sine का प्रतिलोम फलन कहलाता है। यह एक कोण को व्यक्त करता है तथा sin x एक संख्या को व्यक्त करता है।
sin^-1x, sin x^-1 तथा (sin x)^-1 में अन्तर

• संकेत sin^-1x एक ऐसे कोण को व्यक्त करता है जिसके sine का मानं x है।
• sin x^-1 का अर्थ है sin\(\left(\frac{1}{x}\right)\) जो कि एक संख्या को व्यक्त करता है।
• (sin x)^-1 = \(\frac{1}{\sin x}\) = cosecx
• sin \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = \(\left(\frac{1}{2}\right)\) तब sin^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\)
• cos \(\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) तब cos^-1\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \left(\frac{\pi}{6}\right)\) इत्यादि।

 

व्यापक मान (General Value):
हम जानते हैं कि sin θ = sin {nπ + (-1)ⁿθ} जहाँ पर n ∈ z पूर्णांक संख्याओं का समुच्चय है।
अब यदि sin^-1x = ए हो तो sin^-1x का व्यापक मान nπ + (-1)ⁿ sin^-1x होता है तथा इसे “sin^-1x" से निरूपित करते हैं। अतः sin^-1x = nπ + (-1)n sin^-1x, ∀ n ∈ z इसी प्रकार से cos^-1x = 2nπ ± cos^-1x, ∀ n ∈ z Tan^-1 x = nπ + tan^-1x n ∈ z इत्यादि।

जहाँ cos^-1x, tan^-1x से हमारा तात्पर्य cos^-1x, tan^-1x के व्यापक मान से है। इसी प्रकार sec^-1x, cosec^-1x, cot^-1x से हमारा तात्पर्य sec^-1x, cosec^-1x, cot^-1x, के व्यापक मान से होगा। जब भी कोई व्युत्क्रम फलन अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षर (Capital Letter) में लिखा जाये तो इसका अर्थ है कि कोण का व्यापक (General) मान है। जैसे sin^-1\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\) होता है तो इस व्युत्क्रम फलन का व्यापक मान
sin^-1\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = nπ + (-1)ⁿ\(\frac{\pi}{3}\) ∀ n ∈ z
इसी प्रकार tan-1 (1) = nπ + \(\frac{\pi}{4}\) ∀ n ∈ z

मुख्य मान (Principal Value):
θ का न्यूनतम मान (धन अथवा ऋण) जो समीकरण sin θ = x, cos θ = x आदि को संतुष्ट करता है, sin^-1x, cos^-1x का प्रमुख मान कहलाता है।
जैसे, sin^-1\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) = 45°, sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) = - 60° मुख्य मान को हम संकेतन sin^-1x, cos^-1x इत्यादि से व्यक्त करते हैं और इसका मान - तथा ए के बीच में होता है। निम्नलिखित सारणी में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों (मुख्य मानीय शाखाओं) को उनके प्रान्तों तथा परिसरों के साथ प्रस्तुत किया गया है|

यहाँ र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

टिप्पणी

• sin^-1x से (sin x)^-1 की भ्रांति नहीं होनी चाहिए। वास्तव में (sin x)^-1 = \(\frac{1}{\sin x}\) और यह तथ्य अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी सत्य होता है।
• जब कभी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की किसी शाखा ह विशेष का उल्लेख न हो, तो हमारा तात्पर्य उस फलन की मुख्य शाखा से होता है।
• किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो उसकी मुख्य शाखा में स्थित होता है, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान (Principal Value) कहलाता है।

स्मरणीय बिन्दु

• x > 0 यदि है तब सभी प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के मुख्य मान प्रथम चतुर्थांश [0, \(\frac{\pi}{2}\)] में स्थित हैं।
• यदि x < 0 है तब sin^-1x, tan^-1x, तथा cosec^-1x, के मुख्य मान चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित हैं, जब कि cos^-1, cot^-1x, sec^-1x, के मुख्य मान द्वितीय चतुर्थांश [\(\frac{-\pi}{2}\), 0] में स्थित होते हैं।
• sin^-1x, cos^-1x, tan^-1x को क्रमशः arc sin x, arc cos x और arc tan x कहते हैं। यहाँ पर हम कुछ उदाहरणों पर विचार करेंगे

प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के बीच सम्बन्ध (Relation Between Inverse Circular Functions)
माना sin^-1x = 0
⇒ sin e =x

प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के गुणधर्म (Properties of Inverse Circular Functions):
sin (sin^-1x) = x, -1 ≤ x ≤ 1 एवं sin^-1(sin θ) = θ,
-\(\frac{\pi}{2}\) ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)

प्रमाण-
sin^-1(x) = θ तब परिभाषा से sin θ = x
θ का मान पुनः रखने पर
sin (sin^-1x) = x

पुनः यदि sin θ =x, -1 < x < 1
तब θ = sin^-1x = -\(\frac{\pi}{2}\) ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
θ = sin^-1(sin θ) इसी प्रकार दी गई सारणी के अनुसार x तथा के अन्तराल के लिए

• cos (cos^-1x) = x cos^-1 (cos θ) = θ
• tan (tan^-1x) = x tan^-1 (tan θ) = θ
• cot (cot^-1x) = x cot^-1 (cot θ) = θ
• sec (sec^-1 x) = x sec^-1 (sec θ) = θ
• cosec (cosec^-1 x) = x cosec^-1 (cosec θ) = θ

नोट:
sin^-1(sin\(\frac{2 \pi}{3}\)) ≠ \(\frac{2 \pi}{3}\) sin^-1x का मुख्य मान \(\frac{2 \pi}{3}\) नहीं है।
sin^-1(sin\(\frac{2 \pi}{3}\)) = sin^-1(sin(π - \(\frac{\pi}{3}\))
= sin^-1(sin\(\frac{\pi}{3}\)) = \(\frac{\pi}{3}\)
अतः मुख्य मान परिसरों का विशेष ध्यान रखना चाहिए।

(ii) sin^-1\(\frac{1}{x}\) = cosec^-1x, x ∈ R - (-1, 1) अर्थात् x ≥ 1 या x ≤ - 1

प्रमाण- sin^-1\(\frac{1}{x}\) = θ ⇒ sin θ = 1
⇒ cosec θ = x
⇒ θ = cosec^-1x
⇒ sin^-1x = = cosec^-1x
इसी प्रकार sin^-1x = cosec^-1\(\frac{1}{x}\), x ∈ [-1, 1] – {0}
cos^-1x = sec^-1\(\frac{1}{x}\) = [-1, 1] - {0}
sec^-1x = cos^-1\(\frac{1}{x}\), x ≤ -1, x ≥ 1
tan^-1x = cot^-1\(\left(\frac{1}{x}\right)\), x > 0
cot^-1x = tan^-1\(\left(\frac{1}{x}\right)\), x > 0

(iii) sin^-1(-x) = – sin^-1x व cos^-1(-x) = π - cos^-1x,
- 1 ≤ x ≤ 1
प्रमाण : माना sin-1 (-x) = θ ⇒ -x = sin θ
x = - sin θ = sin (-θ) या
sin^-1x = - θ = - sin^-1(-x)
या ir-1 (-x) = -sin^-1x, x ∈ [-1, 1]

इसी प्रकार, यदि cos^-1(-x) = 0 तो x = - cos θ
x = cos (π - θ) ∴ cos^-1x = π - θ
cos^-1x = π - cos^-1(-x) ∵ cos^-1(-x) = 0
cos^-1(-x) = a - cos^-1 x, x ∈ (-1, 1]
tan^-1(-x) = -tan^-1x, x ∈ R
cosec^-1(-x) = cosec^-1x, |x| ≥ 1
sec^-1(-x) = a - sec^-1x, | x | ≥ 1
cot^-1(-x) = a - cot^-1x, x ∈ R

प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के कुछ महत्त्वपूर्ण सूत्र (Some Important Formula of Inverse Circular Functions)
(i) सिद्ध करना कि
(a) sin^-1x sin^-1y = sin^-1(x\(\sqrt{1-y^2}\) ± y\(\sqrt{1-x^2}\))
(b) 2 sin^-1x = sin^-1(2x\(\sqrt{1-x^2}\)); -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ≤ x ≤ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(C) 3 sin^-1x = sin (3x – 4x³); -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ≤ x ≤ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रमाण :
(a) माना sin^-1x = θ₁, अर्थात् sin θ₁, = x और sin^-1y = θ₂, अर्थात् sin θ₂ = y
That : cos θ₁ = \(\sqrt{1-\sin ^2 \theta_1}=\sqrt{1-x^2}\)
इस प्रकार cos θ₂ = \(\sqrt{1-\sin ^2 \theta_2}=\sqrt{1-y^2}\)
हम जानते हैं कि
sin(θ₁ ± θ₂) = sin θ₁ cos θ₂ + cos θ₁ sin θ₂
या θ₁ ± θ₂ = sin^-1{sin θ₁, cos θ₂ ± cos θ₁, sin θ₂}
∴ sin^-1x + sin^-1y = sin^-1(x\(\sqrt{1-y^2}\) ± y\(\sqrt{1-x^2})\)

(b) माना sin^-1x = 0 अर्थात् sin θ = x
हम जानते हैं sin 2 θ = 2 sin θ cos θ
sin 2 θ = 2 sin θ\(\sqrt{1-\sin ^2 \theta}\) = 2x\(\sqrt{1-x^2}\)
⇒ 2θ = sin^-1{2x\(\sqrt{1-x^2}\)}
2 sin^-1x = sin^-1(2x\(\sqrt{1-x^2}\))

(C) हम जानते हैं sin 3θ = 3sin θ - 4 sin3 θ
3θ = sin^-1(3sin θ - 4sin³θ)
47 3 sin^-1x = sin^-1(3x – 4x)

(ii) सिद्ध करना कि
(a) cos^-1x + cos^-1y = cos^-1(xy ∓ \(\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\))
(b) 2cos^-1x = cos^-1(2x² - 1)
(c) 3cos^-1x = cos^-1(4x³ - 3x); x ∈ [\(\frac{1}{2}\), 1]

प्रमाण :
(a) माना cos^-1x = θ₁, अर्थात् cos θ₁, = x
तथा cos^-1y = θ₂ अर्थात् cos θ₂ = y
sin θ₁, = \(\sqrt{1-\cos ^2 \theta_1}=\sqrt{1-x^2}\)
तथा sin θ₂ = \(\sqrt{1-\cos ^2 \theta_2}=\sqrt{1-x^2}\)

हम जानते हैं कि
cos (θ₁ ± θ₂) = cos θ₁, cos θ₂, ∓ sin θ₁, sin θ₂,
θ₁ ± θ₂ = cost {cos θ₁, cos θ₂, ∓ sin θ₁, sinθ₂}
∴ cos^-1x cos^-1y = cos^-1(xy ∓ \(\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\))

(b) माना cos^-1x = 0 अर्थात् cos θ = x
हम जानते हैं कि cos 2θ = 2 cos²θ - 1
2θ = cos^-1(2 cos²θ - 1)
2θ = cos^-1(2x² - 1)
या 2 cos^-1x = cos^-1(2x² - 1)

(c) हम जानते हैं कि cos 3θ = 4 cos³θ - 3 cos θ
3θ = cos^-1(4 cos³θ - 3 cos θ)
या 3 cos^-1x = cos^-1(4x² - 3x), \(\frac{1}{2}\) ≤ x < 1

(iii) सिद्ध करना कि
(a) tan^-1x + tan^-1y = tan^-1\(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\), xy < 1
(b) tan^-1x - tan^-1 y = tan^-1\(\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)\) xy > -1
(c) tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z = tan^-1\(\left(\frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}\right)\)
(d) 2tan^-1x = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\), |x| < 1
(e) 3tan^-1x = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)

प्रमाण :-
(a) माना कि tan^-1x = θ₁, अर्थात् tan θ₁, = x तथा tansup>-1y = 0, अर्थात् tan θ₂ = y

(c) हम जानते हैं कि tan^-1x + tan^-1 y = tan\(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)

(d) माना tan^-1x = θ ⇒ x = tan θ

(iv) सिद्ध करना हैं

(v) सिद्ध करना हैं
(a) sin^-1x + cos^-1x = \(\frac{\pi}{2}\), x ∈ [-1, 1]
प्रमाण :
माना कि sin^-1x = θ
⇒ x = sin θ

(b) tan^-1x + x + cot^-1x = \(\frac{\pi}{2}\), x ∈ R
प्रमाण :
माना tan^-1x = θ
⇒ x = tanθ = cot(\(\frac{\pi}{2}\) - θ)
⇒ cot^-1x = \(\frac{\pi}{2}\) - θ
⇒ cot^-1x = \(\frac{\pi}{2}\) - tan^-1x
tan^-1x + cot^-1x = \(\frac{\pi}{2}\), x ∈ R

(c) sec^-1x + cosec^-1x = \(\frac{\pi}{2}\), |x| ≥ 1
प्रमाण :
माना sec^-1x = θ तब ⇒ x = sec θ
⇒ x = cosec(\(\frac{\pi}{2}\) - θ)
⇒ cosec^-1x = \(\frac{\pi}{2}\) - θ
⇒ cosec^-1x = \(\frac{\pi}{2}\) - sec^-1x
⇒ sec^-1x + cosec^-1x = \(\frac{\pi}{2}\), |x| ≤ 1

इस अध्याय के सभी सूत्रों को एक स्थान पर संकलित करने पर
यदि sin θ = x तो θ = sin-1 x

व्यापक मान sin^-1x = nπ + (-1)n sin^-1x, ∀ n ∈ z
cos^-1x = 2nπ + cos^-1x, ∀n ∈ z
tan^-1x = πt + tan^-1x, ∀ n ∈ z

जहाँ sin^-1x, cos^-1x तथा tan^-1x से हमारा तात्पर्य sin^-1x, cos^-1x तथा tan^-1x के व्यापक मान से है।

मुख्य मान (Principal value):
किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो उसकी मुख्य शाखा में स्थित होता है, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान (Principal Value) कहलाता है।
(1) (a) sin^-1(-x) = - sin^-1x, tan^-1(-x)
= - tan^-1x, cosec^-1(-x) = - cosec^-1x

(b) cos^-1(-x) = π - cos^-1x, sec^-1(-x)
= - sec^-1x, cot^-1(-x)
= π - cot^-1x

(2) sin^-1x = cos^-1(\(\sqrt{1-x^2}\))
= tan^-1\(\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) = cot^-1\(\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)\)
= sec^-1\(\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) = coesc^-1\(\frac{1}{x}\)

(3) (a) sin^-1x ± sin^-1y = sin^-1{x\(\sqrt{1-y^2}\) ± y\(\sqrt{1-x^2}\)}
(b) 2 sin^-1x= sin^-1{2x\(\sqrt{1-x^2}\)}
(c) 3 sin^-1x= sin^-1{3x - 4x³}

(4) (a) cos^-1x + cos^-1y = cos- {xy ± \(\sqrt{1-x^2}\) \(\sqrt{1-y^2}\)}
(b) 2 cos^-1x= cos^-1(2x² - 1)
(c) 3 cos^-1x = cos^-1(4x³ - 3x)

(5) (a) tan^-1x + tan^-1y= tan^-1\(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)
(b) tan^-1x – tan^-1y = tan^-1\(\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)\)
(c) tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z = tan^-1\(\left(\frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}\right)\)
(d) 2 tan^-1x = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\)
(e) 3 tan^-1x = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)

(6) (a) cot^-1x + cot^-1y = cot^-1\(\left(\frac{x y-1}{x+y}\right)\)
(b) cot^-1x - cot^-1y= cot^-1\(\left(\frac{x y+1}{x-y}\right)\)

(7) (a) sin^-1x + cos^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)
(b) tan^-1x + cot^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)
(c) sec^-1x + cosec^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)

→ यादि sin θ = x ⇒ θ = sin^-1x
sin^-1x प्रतिलोम वृत्तीय फलन कहलाता है। इसी प्रकार cos^-1x, tan^-1x, cot^-1x sec^-1x एवं cosec^-1x अन्य त्रिकोणमितीय फलन हैं।

→ प्रान्त एवं परिसर-

Function	Domain	Range
y = sin-1 x	[-1, 1]	\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
y = cos-1x	[-1, 1]	[0, π]
y = tan-1 x	R	\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
y = cot-1x	R	(0, π)
y = cosec-1 x	R - (-1, 1)	[0, π] - {\(\frac{\pi}{2}\)}
y = sec-1 x	R - (-1, 1)	[-\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)] - {0}

→ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म
(A) (i) sin^-1 (sin θ) = θ, sin^-1(sin x) = x,
(ii) cos^-1(cos θ) = θ, cos^-1(cos x) = x,
(iii) tan^-1(tan θ) = θ, tan^-1(tan x) = x,
(iv) sec^-1(sec θ) = θ, sec^-1(sec x) = x,
(v) cosec^-1(cosec θ) = θ, cosec^-1(cosec x) = x,

(B) (i) sin^-1(-x) = - sin^-1x
(ii) cos^-1(-x) = π - cos^-1x
(iii) tan^-1(-x) = - tan^-1x
(iv) cot^-1(-x) = π - cot^-1x
(v) sec^-1(-x) = π - sec^-1x
(vi) cosec^-1(-x) = -cosec^-1x

(C) (i) sin^-1(x) = cosec^-1\(\left(\frac{1}{x}\right)\)
(ii) cos^-1(x) = sec^-1\(\left(\frac{1}{x}\right)\)
(iii) tan^-1(x) = cot^-1\(\left(\frac{1}{x}\right)\)

(D) (i) sin^-1x + cos^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)
(ii) tan^-1x + cot^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)
(iii) sec^-1x + cosec^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)

(E) (i) sin^-1x ± sin^-1y = sin^-1[x\(\sqrt{1-y^2}\) ± y\(\sqrt{1-x^2}\)]
(ii) cos^-1x ± cos^-1y = cos^-1[xy ∓ \(\sqrt{1-y^2}\)\(\sqrt{1-x^2}\)]

(F) (i) tan^-1x ± tan^-1y = tan-^-1\(\left(\frac{x \pm y}{1 \mp x y}\right)\)
(ii) 2 sin^-1x = sin^-1(2x\(\sqrt{1-x^2}\))
(iii) 2 cos^-1x = cos^-1(2x² - 1)
(iv) 2 tan^-1x = tan^-1( 2x ) = sin^-1(\(\frac{2 x}{1+x^2}\)) = cos^-1(\(\frac{1-x^2}{1+x^2}\))

(G) (i) 3 sin^-1x = sin^-1(3x - 4x³)
(ii) 3 cos^-1x = cos^-1(4x³ – 3x)
(ii) 3 tan^-1x = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)
(iv) tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z = tan^-1\(\left(\frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}\right)\)

→ अन्य महत्त्वपूर्ण परिणाम

• tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\) = \(\frac{1}{x}\)tan^-1x
• tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\)tan^-1x
• tan^-1\(\left(\frac{a \sin x \pm b \cos x}{a \cos x \mp b \sin x}\right)\) = x ± tan^-1\(\left(\frac{b}{a}\right)\)
• tan^-1\(\left(\frac{a \cos x \pm b \sin x}{b \cos x \mp a \sin x}\right)\) = tan^-1\(\left(\frac{a}{b}\right)\) ± a
• tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x} \pm \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} \mp \sqrt{1-x}}\right)\) = \(\frac{\pi}{4} \pm \frac{1}{2}\)cos^-1x