RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Important Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Chapter 8 Important Questions समाकलनों के अनुप्रयोग

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
वक्र y = sin x तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल होगा जब 0 ≤ x ≤ π
(A) 1 वर्ग इकाई
(B) 0 वर्ग:इकाई
(C) 2 वर्ग इकाई
(D) -1 वर्ग इकाई
हल:
(C) 2 वर्ग इकाई

y = sin x

अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 2.
वक्र y = √x तथा y = x से परिबद्ध क्षेत्रफल है
(A) 1 वर्ग इकाई
(B) \(\frac{1}{9}\) वर्ग इकाई
(C) \(\frac{1}{6}\) वर्ग इकाई
(D) \(\frac{2}{3}\) वर्ग इकाई
हल:
(C) \(\frac{1}{6}\) वर्ग इकाई

y² = x और y = x को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु में x के मान होंगे x = 0, 1

अतः सही विकल्प (C) है।

 

प्रश्न 3.
परवलय x² = 4y तथा इसका नाभिलम्ब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है
(A) \(\frac{5}{3}\)
(B) \(\frac{2}{3}\)
(C) \(\frac{4}{3}\)
(D) \(\frac{8}{3}\)
हल:
(D) \(\frac{8}{3}\)

x² = 4y एवं नाभिलम्ब y = 1
परवलय y-अक्ष के सापेक्ष सममित है, अतः

अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 4.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\) = 1 का सम्पूर्ण क्षेत्रफल होता है
(A) π वर्ग इकाई
(B) 5π वर्ग इकाई
(C) 40π वर्ग इकाई
(D) 20π वर्ग इकाई
हल:
(D) 20π वर्ग इकाई

अभीष्ट क्षेत्रफल
= ABCDA
= 4 × OABO
[∵ दीर्घवृत्त दोनों पक्षों के प्रति सममित होता है।]

=4 × 5π
= 20π वर्ग इकाई
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5.
वक्र y² = 4ax, रेखा y = 2a एवं y-अक्ष के मध्य क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(A) \(\frac{2 a^2}{3}\) वर्ग इकाई
(B) \(\frac{a^2}{3}\)वर्ग इकाई
(C) 2a² वर्ग इकाई
(D) \(\frac{4 a^2}{3}\) वर्ग इकाई
हल:
(A) \(\frac{2 a^2}{3}\) वर्ग इकाई

वक्र y² = 4ax .........(1)
y = 2a ....(2)

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 6.
परवलय y = sin²x रेखाओं x = \(\frac{\pi}{2}\), x = π और x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(A) \(\frac{\pi}{2}\)
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{8}\)
(D) π
हल:
(B) \(\frac{\pi}{4}\)

y = sin x, x = \(\frac{\pi}{2}\), x = π

अतः सही विकल्प (B) है।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष, वक्र y = sin' x cos x तथा कोटियों x = 0 तथा x = \(\frac{\pi}{2}\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
x-अक्ष के साथ परिबद्ध अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_a^b\) ydx होता है।
इसलिये अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)sin³x cos x dx
∴ y = sin³x cos x है। माना
sin x = t
∴ cos x dx = dt
जब x = 0 तब t = 0
जब x = \(\frac{\pi}{2}\), तब t = 1
\(\int_0^1 t^3 d t=\left[\frac{t^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{4}\) वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
वक्र y= mx, x-अक्ष एवं कोटियों x = 0 तथा x = 4 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल लिखिए।
हल:
वक्र का x-अक्ष के साथ परिबद्ध क्षेत्रफल = \(\int_a^b\) ydx होता है।
इसलिये अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_0^4\) mxdx

प्रश्न 3.
परवलय y = 4x² तथा रेखाओं y = 1 और y = 4 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल लिखिए।
हल:
वक्र का y-अक्ष के सापेक्ष परिबद्ध क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
वक्र y =x, x-अक्ष एवं कोटियों x = 0 तथा x = a से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल लिखिए।
हल:
वक्र का x-अक्ष के साथ परिबद्ध क्षेत्रफल = \(\int_a^b\) ydx

प्रश्न 5.
अन्तराल \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) में वक्र y = cos x तथा :-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल लिखिए।
हल:
वक्र का x-अक्ष के साथ परिबद्ध क्षेत्रफल = \(\int_a^b\) ydx
इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\) cos x dx
= \([\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}\) = sin \(\frac{\pi}{2}\) - sin 0
= 1 – 0 = 1 वर्ग इकाई

प्रश्न 6.
वक्र y = sin x की कोटि x = \(\frac{\pi}{2}\) एवं x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का x-अक्ष के साथ परिबद्ध क्षेत्रफल = \(\int_a^b\) ydx
इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल =\( \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi\) sin x dx
= \([-\cos x]_{\frac{\pi}{2}}^\pi\)
= - cos π + cos \(\frac{\pi}{2}\)
= - (-1) + 0 = 1 वर्ग इकाई

प्रश्न 7.
वक्र y = x², रेखा x = 0 तथा x = 2 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = x²; x = 0, x = 2
x-अक्ष के साथ अभीष्ट क्षेत्रफल

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
वक्र y = x³ - 6x² + 8x, x = a, x = b व x-अक्ष के अन्तर्गत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
y = |x|, x = -3, x = 1 तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = x, x = -3 तथा x = 1 का अनुरेखण करने पर
अभीष्ट क्षेत्रफल = (क्षेत्रफल OBAO) + (क्षेत्रफल ODCO)

प्रश्न 3.
y = x, x-अक्ष, x =-1 तथाx = 2 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रों y = x, x = -1 तथा x = 2 का अनुरेखण करने पर अभीष्ट क्षेत्रफल
= (क्षेत्रफल OPQO) + (क्षेत्रफल ORSO) (x-अक्ष के नीचे)

प्रश्न 4.
वक्र y = sin 2x + cos 2x तथा x = 0 एवं x = \(\frac{\pi}{4}\) से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
जब 0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{4}\) = 0 ≤ 2x ≤ \(\frac{\pi}{2}\), और sin 2x ≥ 0, cos 2x ≥ 0,
∵ x ∈ \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\) इसलिये y = f (x) = sin 2x + cos 2x ≥ 0 अर्थात्
दिये गये अन्तराल f (x) का चिन्ह नहीं बदलता है। इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
परवलय y² = 16x तथा y = x द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया गया परवलय y² = 16x, जो कि x-अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष (0,0) है और y = x सरल रेखा का समीकरण है, जो कि मूल बिन्दु से गुजरती है तथा x-अक्ष के साथ 45° का कोण बनाती है चूँकि रेखा का ढाल m = 1 है।

अतः परवलय और रेखा का प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात करने के लिये रेखा से y का मान परवलय के समीकरण में रखने पर,
x² = 16x ⇒ x(x - 16) = 0
∴ x = 0 या 16
जब x = 0, तब y = 0
और जब x = 16 तब y = 16
अतः प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक (0, 0) एवं (16, 16) होंगे।

प्रश्न 2.
वक्र x² + y² = 1 तथा x + y = 1 से परिबद्ध प्रथम पाद में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।।
हल:
दिया गया वक्र x² + y² = 1 एक वृत्त का समीकरण है जिसके केन्द्र (0, 0) और त्रिज्या 1 इकाई है और x + y = 1 एक सरल रेखा है। दोनों समीकरण को हल करके वृत्त और रेखा के प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात करने पर
x² + y² = 1 ...(i)
और x+ y = 1 ...(ii)

समीकरण (ii) से y = (1 - x) समीकरण (i) में रखने पर ।
x² + (1 - x) = 1
⇒ x² + 1 - 2x + x = 1
⇒ 2x² - 2x = 0
⇒ 2x(x - 1) = 0
x = 0, 1
जब x = 0 तब y = 1
जब x = 1 तब y = 0

अतः रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेद बिन्दु (1, 0) एवं (0, 1) हैं। अतः अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 3.
परवलयों y² = 4ax तथा x² =4by से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल:
दिये गये परवलयों के समीकरण
y² = 4ax .......(i)
x² = 4by .........(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को हल करने पर
(x²)² = (4 by)² = 16 b² y²
x⁴ = 16b² (4ax) = 64 ab²x
⇒ x⁴ - 64ab²x = 0
⇒ x(x³ - 64ab²) = 0
x = 0, x = 4(ab²)^1/3
अर्थात् दोनों वक्र x-अक्ष पर x = 0 पर एवं

x= 4(ab²)^1/3 पर प्रतिच्छेद करेंगे अतः वक्रों का अनुरेखण करने पर

अतः वक्रों के बीच परिबद्ध क्षेत्रफल OPBQO = भाग OPBAO का क्षेत्रफल - भाग OQBAO का क्षेत्रफल

इसलिये अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
वक्रों y² = 2ax - x² तथा y² = ax से घिरे प्रथम पाद में स्थित क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिये।
हल:
दिये गये वक्रों के समीकरण
y² = 2ax - x² एवं y² = ax
पहले समीकरण से y² = 2ax - x²
⇒ x² + y - 2ax = 0
या x² + y² - 2ax + a² = a²
⇒ (x - a)² + y² = a²

यह वृत्त का समीकरण है जिसके केन्द्र (a, 0) और त्रिज्या a है।
y² = ax एक परवलय है।

वृत्त x² + y² - 2ax = 0 तथा परवलय y² = ax एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।

अतः दोनों समीकरणों को हल करने पर
x² + ax - 2ax = 0
⇒ x² - ax = 0
⇒ x(x - a) = 0
⇒ x = 0, x = a

जब x = 0 तब y = 0
जब x = a तब y = ± a

अतः वृत्त एवं परवलय एक-दूसरे को (0, 0) एवं (a, ±a) पर प्रतिच्छेद करते हैं । वक्रों का अनुरेखण करने पर प्रथम पाद में उभयनिष्ठ क्षेत्रफल = OABCO
अभीष्ट क्षेत्रफल
= क्षेत्रफल OABDO - क्षेत्रफल OCBDO

प्रश्न 5.
यदि परवलय y² = 16ax तथा रेखा y = 4mx द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ३ वर्ग इकाई है, तो समाकलन के प्रयोग से m का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिये हुए वक्र और सरल रेखा का समीकरण
y² = 16 ax ....(1)
y² = 4 mx ....(2)

y का मान समीकरण (1) में रखने पर
(4 mx)² = 16 ax
⇒ 16 m²x² = 16 ax
⇒ m²x² - ax = 0
⇒ x (m²x - a) = 0

∴ x = \(\frac{a}{m^2}\) और x = 0
y का मान निकालने पर y = 4 mx
= 4m × \(\frac{a}{m^2}=\frac{4 a}{m}\)

इस प्रकार वक्र y² = 16 ax और रेखा y = 4mx बिन्दु 0(0,0) तथा B\(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{4 a}{m}\right)\) ax पर प्रतिच्छेदन करते हैं अतः y² = 16 ax तथा y = 4 mx से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल = क्षेत्र OCBDO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ABCOA का क्षेत्रफल - AODBAO का क्षेत्रफल

प्रश्न 6.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\) = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (उत्तर-पुस्तिका में चित्र बनाइए)
हल:
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\) = 1 को निम्न प्रकार से भी लिखा जा सकता है।
\(\frac{x^2}{(5)^2}+\frac{y^2}{(4)^2}\) = 1
नीचे आकृति में दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र ABA'B'A का क्षेत्रफल = 4 (दिये हुये वक्र,x-अक्ष, कोटियों x= 0, x = 5 द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र AOBA का क्षेत्रफल)

(क्योंकि दीर्घवृत्त x-अक्ष एवं y-अक्ष दोनों के परितः सममित है)
= 4\(\int_0^5\) y dx

यहाँ पर ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ ली गयी हैं।

अब हम दिये गये दीर्घवृत्त के समीकरण से y का मान निकालने पर

यहाँ पर हम y का मान धनात्मक ही लेंगे चूँकि क्षेत्र AOBA प्रथम चतुर्थांश में है। इसलिये अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 7.
दो परवलयों x² = 4y एवं y² = 4x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (उत्तर-पुस्तिका में चित्र बनाइए)
हल:
वक्र x² = 4y ...(1)
एवं y² = 4x ...(2)

वक्रों के समीकरण को प्रतिच्छेदन हेतु हल करने पर
\(\left(\frac{x^2}{4}\right)^2\) = 4x [समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखा गया है।]
⇒ x⁴ = 16 x 4x = 64x
x⁴ - 64x = 0.
x (x³ - 64) = 0
x = 0, 4
जब x = 0, तब y = 0 एवं
जब x = 4 तब y = 4
यहाँ पर y का मान धनात्मक इसलिये लिया गया है चूँकि छायांकित भाग प्रथम पाद में है। अत: दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 0) एवं (4, 4) होंगे।

∴ अभीष्ट उभयनिष्ठ क्षेत्रफल = छायांकित भाग OQAP का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल OPAB - क्षेत्रफल OQAB