RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Important Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Chapter 2 Important Questions प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

प्रश्न 1.
tan^-1 (-1) का मुख्य मान है-
(A) 45°
(B) 135°
(C) - 45°
(D) - 60°
उत्तर:
(C) - 45°

हल:
माना tan^-1 (- 1) = x
∴ tan x = - 1 = - tan 45°
tan x = tan (- 45°)
∴ x = - 45°
∵ tan^-1 x का मुख्य शाखा का परिसर होता है।
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 2.
यदि tan^-1 = θ तो sin θ का मान है
(A)
(B)
(C)
(D)
उत्तर:
(B)

हल: tan^-1 = θ ∴ tan θ =
∴ sin θ =
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 3.
sin [tan^-1 α + cot^-1 α] का मान है
(A) 1
(B) ∞
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(A) 1

हल:
हम जानते हैं tan^-1 α + cot^-1 α =
sin = 1
∴ अतः सही विकल्प .(A) है।

प्रश्न 4.
यदि sin^-1 = x तो x का व्यापक मान है
(A) 2nπ ±
(B)
(C) nπ±
(D) nπ ± (-1)ⁿ
उत्तर:
(D) nπ ± (-1)ⁿ

हल: यदि sin^-1 = x तब sin x =
sin x = sin तब व्यापक मान x = nπ + (- 1)ⁿ
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5.
sin^-1 + 2 cos^-1 का मान है-
(A)
(B)
(C)
(D) π
उत्तर:
(C)

हल: sin^-1 x का मुख्य शाखा का परिसर होता है
और cos^-1 x का मुख्य शाखा का परिसर [0, π] होता है।

अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 6.
यदि tan^-1(1) + cos^-1 = sin^-1 x तो x का मान है
(A) - 1
(B) 0
(C) 1
(D)
उत्तर:
(C) 1

हल:

प्रश्न 7.
यदि cot^-1 x + tan^-1 = तो x का मान है
(A) 1
(B) 3
(C)
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(C)

हल:

अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 8.
cos^-1 a बराबर है-
(A) sin^-1 a -
(B) -sin^-1 a
(C) -sin^-1a
(D) sin^-1a -
उत्तर:
(B) -sin^-1 a

हल:
हम जानते हैं कि
sin^-1 a + cos^-1 a =
∴ cos^-1 a = - sin^-1 a
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 9.
2 tan^-1 बराबर है
(A) cos^-1
(B) cos^-1
(C) cos^-1
(D) cos^-1
उत्तर:
(A) cos^-1

हल:

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 10.
2 tan [tan^-1 x + tan^-1 x³] का मान है
(A)
(B) 1 + x²
(C) 2x
(D)
उत्तर:
(A)

हल:

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 11.
tan^-1 1 + tan^-1 2 का मान है
(A) tan^-1
(B) tan^-1 3
(C) + tan^-1 3
(D) - tan^-1 3
उत्तर:
(D) - tan^-1 3

हल:
tan^-1 1 + tan^-1 2
⇒
⇒ tan^-1 (- 3) = - tan^-1 3
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 12.
tan^-1 x + cot^-1 x बराबर है
(A) 
(B)
(C)
(D)
उत्तर:
(D)

हल:
हम जानते हैं tan^-1 x + cot^-1 x का मान सदैव के बराबर ही होता है।

प्रश्न 13.
sin cot^-1 x का मान होगा
(A)
(B) x
(C)
(D) (1 + x)
उत्तर:
(D) (1 + x)

हल:
sin cot^-1 x
माना cot^-1 x = θ
∴ x = cot θ
∴ sin θ =

या sin θ =
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 14.
cot^-1 बराबर है
(A) sin^-1
(B) cosec^-1
(C) tan^-1
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(B) cosec^-1

हल:
cot^-1
x = sin θ लेने पर
⇒ cot^-1 = cot^-1
⇒ cot^-1 (cot θ) = θ = sin^-1 x = cosec^-1
अतः सही विकल्प (B) है।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि 4 sin^-1 x + cos-1 x = 7 तो x का मान लिखिये
हल:
4 sin^-1 x + cos^-1 x = π
⇒ 3 sin^-1 x + sin^-1 x + cos^-1 x = π

प्रश्न 2.
cos का मान लिखिये।
हल:

प्रश्न 3.
यदि sin^-1 + sec^-1 = x तो x का मान लिखिये।
हल:

प्रश्न 4.
sin^-1 + 2 tan^-1 का मान लिखिये।
हल:

प्रश्न 5.
यदि sin^-1 + sin^-1 = 90° तो x का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है

[∵ x = - 13 दिए गए समीकरण को संतुष्ट नहीं करता]
या x² = 169 ∴ x = 13

प्रश्न 6.
यदि sin^-1 x = हो, तो sin^-1 {2x} का मान लिखिये।
हल:

प्रश्न 7.
यदि sin^-1 x = हो, तो cos^-1 x का मान लिखिये।
हल:
हम जानते हैं कि sin^-1 x + cos^-1 x =
⇒ + cos^-1 x =
⇒ cos^-1 x =

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिये कि tan^-1 1 + tan^-1 2 + tan^-1 3 = π
हल:
L.H.S. = tan^-1 1 + tan^-1 2 + tan^-1 3
= tan^-1 + tan^-1 3
= tan^-1 (- 3) + tan^-1 - 3
⇒ tan^-1
= tan^-1 0 = π

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिये कि tan^-1 = tan^-1
हल:

प्रश्न 10.
cos^-1 का मुख्य मान ज्ञात कीजिये।
हल:
माना कि cos^-1 = y, अत: cos y = = cos हम जानते हैं कि cos^-1 x की मुख्य शाखा का मान का परिसर [0, π] होता है और cos y = cos है इसलिए cos^-1 का मुख्य मान होगा।

प्रश्न 11.
sin (sec^-1 x + cosec^-1 x), |x | ≥ | का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
यहाँ पर sin (sec^-1 x + cosec^-1 x) = sin = 1

प्रश्न 12.
2 tan^-1 + tan^-1 का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 13.
यदि tan^-1 x + tan^-1 y = ; xy < 1, तब x + y + xy का मान लिखिए।
हल:
tan^-1 (x) + tan^-1 (y) =
⇒ tan^-1 =
⇒ = tan
⇒ = 1
⇒ x + y = 1 - xy
⇒ x + y + xy = 1

प्रश्न 14.
sec^-1 (-2) - sin^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि tan^-1 - tan^-1 (2n + 1) =
हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध करो कि-
tan (2 tan^-1 x) = 2 tan (tan^-1 x + tan-^-1 x³).
हल:
L.H.S. = tan (2 tan^-1 x)

प्रश्न 3.
यदि = 5π तो सिद्ध कीजिये कि x + y + z = xyz
हल:

∴ x + y + z - xyz = 0
⇒ x + y + z = xyz

प्रश्न 4.
cos^-1 + cos^-1 = 2 tan^-1 x
हल:

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए-
tan + tan =
हल:

प्रश्न 6.
समीकरण - tan^-1x = cot^-1 को हल कीजिए।
हल:

⇒ (x + 1) - (1 - x) = (1 + x) (x - 1)
⇒ 1 - x² = x² - 1
⇒ 2x² = 2
⇒ x² = = 1
x = ± 1

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए
2 tan^-1 + sec^-1 + 2 tan^-1 =
हल:

प्रश्न 8.
यदि tan^-1 + tan^-1 = , तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है-

⇒ (x + 1) (1 - x) = (1 + x) (x - 1)
⇒ 1 - x² = x² - 1
⇒ 2x² = 2
⇒ x² = = 1
⇒ x = ± 1

प्रश्न 9.
मान ज्ञात कीजिये

हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि 2 tan^-1 + tan^-1 = tan^-1
हल:
2 tan^-1 + tan^-1 = tan^-1
LHS

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि tan^-1 cos^-1 x, 0 < x < 1.
हल:
सिद्ध कीजिए कि

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि
2
हल:

प्रश्न 2.
यदि cos^-1 + cos^-1 = α तो सिद्ध कीजिए कि cos α + = sin² α
हल:

प्रश्न 3.
निम्न समीकरण को हल कीजिये -
sec^-1 - sec^-1 = sec^-1b - sec^-1a
हल:

या b² (x² - a²) (a² - 1) = a² (b² - 1) (x² - b²)
या (b²x² - b²a²) (a² - 1) = (a²x² - a²b²) (b² - 1)
या b²a²x² - b²a⁴ - b²x² + a²b² = a²b²x² - a²x² - a²b⁴ + a²b²
या a²x² - b²x² = a⁴b² - a²b⁴
या (a² - b²) x² = a²b² (a² - b²)
या x² = a²b²
[∵ x = - ab दिए गए समीकरण को सन्तुष्ट नहीं करता]
⇒ x = ab

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए
cos [tan^-1 {sin (cot^-1x)}] =
हल:
L.H.S. = cos [tan^-1 sin (cot^-1x)]
माना cot^-1x = t ⇒ cot t = x
∴ cosec²t = 1 + cot²t

प्रश्न 5.
निम्न समीकरण को हल कीजिये
sin^-1 x + sin^-1 y =
cos^-1 x - cos^-1 y =
हल:

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए:
tan^-1 x = cos^-1
हल: