RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन Important Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Chapter 12 Important Questions रैखिक प्रोग्रामन

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

प्रश्न 1.
सुसंगत क्षेत्र होता है
(A) सदैव अवतल बहुभुज
(B) सदैव चतुर्भुज
(C) सदैव उत्तल बहुभुज
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
उत्तरः
(C) सदैव उत्तल बहुभुज

प्रश्न 2.
उद्देश्य फलन का अधिकतम हल स्थित होता है
(A) सुसंगत क्षेत्र में।
(B) सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष पर।
(C) सुसंगत हल नहीं होता।
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
उत्तरः
(B) सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष पर।

प्रश्न 3.
महत्वपूर्ण रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ होती हैं
(A) आहार सम्बन्धी समस्याएँ।
(B) उत्पादन सम्बन्धी समस्याएँ।
(C) परिवहन सम्बन्धी समस्याएँ।
(D) उपर्युक्त सभी प्रकार की समस्याएँ।
उत्तरः
(D) उपर्युक्त सभी प्रकार की समस्याएँ।

प्रश्न 4.
सुसंगत क्षेत्र के बाह्य भाग के किसी भी बिन्दु को कहते हैं
(A) इष्टतम हल
(B) असंगत हल
(C) सुसंगत हल
(D) विसंगत हल
उत्तरः
(B) असंगत हल

प्रश्न 5.
सुसंगत क्षेत्र में कोई बिन्दु जो उद्देश्य फलन का इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) एक देता है, वह कहलाता है
(A) सुसंगत हल
(B) असंगत हल
(C) संगत हल
(D) विसंगत हल
उत्तरः
(A) सुसंगत हल

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
रैखिक प्रोग्रामन की उत्पादन सम्बन्धी समस्याएँ क्या हैं?
उत्तर:
उत्पादन सम्बन्धी समस्याएँ वे समस्याएँ होती हैं जिनमें यह ज्ञात किया जाता है कि विभिन्न उत्पादनों के कितने नग बनाने में एक निश्चित जनशक्ति, मशीन के घण्टे, प्रत्येक नग के निर्माण में व्यय, श्रम के घण्टे माल भण्डारण गोदाम में प्रत्येक उत्पाद को रखने के लिए अलग स्थान आदि को ध्यान में रखते हुए अधिकतम लाभ कमाया जा सके

प्रश्न 2.
इष्टतम सुसंगत समस्याएँ क्या होती हैं ?
उत्तर:
निश्चित व्यवरोधों के अधीन असमिकाओं के समुच्चय द्वारा निर्धारित समस्या जो चरों (यथा दो चर x और y) में रैखिक फलन को अधिकतम या न्यूनतम करे, इष्टतम सुसंगत समस्याएँ कहलाती हैं। जैसे— रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ एक विशिष्ट प्रकार की इष्टतम सुसंगत समस्या है।

प्रश्न 3.
रैखिक प्रोग्रामन की आहार सम्बन्धी समस्याएँ क्या हैं?
उत्तर:
आहार सम्बन्धी समस्याएँ वे समस्याएँ होती हैं जिनमें हम यह ज्ञात करते हैं कि विभिन्न प्रकार के घटक / पोषक तत्व आहार में कितनी मात्रा में प्रयोग किए जाएँ जिससे उसमें सभी पोषक तत्वों की न्यूनतम आवश्यक मात्रा कम से कम लागत दर पर प्राप्त हो सके। जैसे एक डॉक्टर किसी मरीज को दवाइयों के साथ अच्छे आहार की सलाह देता है जिससे मरीज के शरीर में जिस पोषक तत्व की कमी हो, उसकी पूर्ति हो सके।

प्रश्न 4.
रैखिक उद्देश्य फलन की परिभाषा दीजिए ।
उत्तर:
रैखिक फलन Z = ax + by, जबकि a, b अचर हैं जिनका
अधिकतमीकरण या न्यूनतमीकरण होना है, एक रैखिक उद्देश्य फलन कहलाता है। जैसे Z = 500x + 125y
यह एक रैखिक उद्देश्य फलन है। चर x और y निर्णायक चर कहलाते हैं|

प्रश्न 5.
रैखिक प्रोग्रामन की परिवहन सम्बन्धी समस्याएँ क्या हैं?
उत्तर:
परिवहन सम्बन्धी समस्याएँ वे समस्याएँ होती हैं जिनमें परिवहन प्रणाली को तय किया जाता है जिससे संयंत्रों/कारखानों से विभिन्न स्थानों पर स्थित विभिन्न बाजारों में उत्पादों को भेजने में परिवहन व्यय न्यूनतम हो।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत सुसंगत हल क्षेत्र दर्शाइए
8x + 5y ≤ 40, x ≥ 20, y ≥ 20.
हल:
8x + 5y = 40 ......... (1)
x = 0, y = 0 ....... (2)
समीकरण (1) में x = 0, y = 8 एवं y = 0, x = 5 अर्थात् (0, 8) एवं (5, 0)

अतः अभीष्ट सुसंगत क्षेत्र चित्र में रेखांकित OAB है।

प्रश्न 7.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत
2x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
का सुसंगत हल क्षेत्र दर्शाइए।
हल:
2x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 रेखाओं का आरेख

रेखा 2x + y = 6, बिन्दु A (3, 0) तथा B(0, 6) से होकर जाती है।
2x + y ≤ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर हमें प्राप्त होता कि 0 ≤ 6, जो सत्य है।
इसलिये मूल बिन्दु इस क्षेत्र में स्थित है।
2x + y ≤ 6, का क्षेत्र रेखा 2x + y = 6 और इसके नीचे मूल बिन्दु की ओर है।
x ≥ 0, का क्षेत्र y-अक्ष की दायीं ओर और y-अक्ष है। y ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर हैं और x-अक्ष के ऊपर है।
अतः इससे बना हुआ उभयनिष्ठ क्षेत्र AOAB है।

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
आलेखीय विधि से निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
व्यवरोधों x + 2y ≤ 12
2x + y ≤ 12
x + \(\frac{5}{4}\)y ≥ 5; x ≥ 0, y ≥ 0 के अन्तर्गत
Z = 60x + 40y का अधिकतमीकरण कीजिए।
हल:
दिये गये व्यवरोध निम्नलिखित हैं
x + 2y ≤ 12 ......... (1)
2x + y ≤ 12 ....... (2)
x + \(\frac{5}{4}\)y ≥ 5 ...... (3)
x ≥ 0, y ≥ 0 ...... (4)
हम व्यवरोधों (1) से (4) का आलेखन करते हैं। आकृति में दिखाया गया सुसंगत क्षेत्र ABCDE (छायांकित) है जिसको व्यवरोधों (1)

से (4) तक द्वारा निर्धारित किया गया है । अवलोकन करने पर हमें प्राप्त होता है कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है।
कोनीय बिन्दुओं A, B, C, D और E के निर्देशांक क्रमशः (5, 0), (6, 0), (4, 4), (0, 6) और (0, 4) हैं।
इन कोनीय बिन्दुओं (शीर्षों) पर Z = 60x + 40y का मान अग्रलिखित सारणी में दिया गया है-

हम देखते हैं कि बिन्दु (4, 4) Z का अधिकतम मान है।

प्रश्न 2.
आलेखीय विधि द्वारा निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए। निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत
x + 2y ≥ 10
x + y ≥ 6
3x + y ≥ 8
x, y ≥ 0
z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए।

हल:
यहाँ पर Z = 3x + 5y ............ (i)
और निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत
x + 2y ≥ 10 ........... (ii)
x + y ≥ 6 ............ (iii)
3x + y ≥ 8 .......... (iv)
x ≥ 0 .........(v)
y ≥ 20 ......... (vi)
सभी असमिकाओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करने पर इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABCD है जिसके निर्देशांक निम्न प्रकार से हैं A (0, 8), B(1, 5),C (2, 4) तथा D (10, 0) अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे।

अतः कोनीय बिन्दु C (2, 4) पर Z का न्यूनतम मान = 26

प्रश्न 3.
आलेखीय विधि से निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को न्यूनतमीकरण के लिये हल कीजिए:
उद्देश्य फलन Z = 5x + y
व्यवरोध 3x + 5y ≥ 15
5x + 2y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0.
हल:
Z = 5x + y, अवरोध 3x + 5y ≥ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 20, y ≥ 0

(i) 3x + 5y ≥ 15 का क्षेत्र-

रेखा 3x + 5y = 15 बिन्दु A(5, 0) और B(0, 3) से गुजरती है। इसका आरेख रेखा AB है।
3x + 5y ≥ 15 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 15 जो असत्य है|
अर्थात् इस क्षेत्र में बिन्दु AB पर और इसके ऊपर की ओर है।

(ii) 5x + 2y ≤10 का क्षेत्र
रेखा 5x + 2y = 10 बिन्दु P(2, 0) और Q(0, 5) से होकर जाती है। इसका आरेख PQ है।
अब 5x + 2y ≤ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 10 जो सत्य है।
अर्थात् 5x + 2y ≤ 10 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PQ पर और PQ के नीचे मूल बिन्दु की ओर है।

(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर हैं।

(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर है।
इस प्रकार (इस समस्या का) सुसंगत क्षेत्र OBRP है।

अतः कोनीय बिन्दु 0 (0, 0) पर Z का न्यूनतम मान = 0