RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Important Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Chapter 11 Important Questions त्रिविमीय ज्यामिति

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न में से कौनसा समूह एक रेखा की दिक्कोज्याएँ नहीं हैं
(A) 1, 1, 1
(B) 0, 0, - 1
(C) - 1, 0, 0
(D) 0, - 1, 0
उत्तर:
(A) 1, 1, 1

हल:
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा की दिककोज्याओं के वर्गों का योग सदैव 1 होता है अतः समूह (A) दिक्कोज्याएँ रेखा की नहीं हैं। अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 2.
यदि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात a₁, b₁, c₁ तथा a₂, b₂, c₂ हैं तो वे परस्पर लम्बवत् होंगी, यदि
(A) a₁b₂ + a₂b₁ + c₁c₂ = 0
(B) a₁² + b₁² + c₁² = 1
(C) a₂² + b₂² + c₂² = 1
(D) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
उत्तर:
(D) a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

हल:
हम जानते हैं cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
यदि θ = 90° तब cos 90° = 0
अतः मान रखने पर a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 प्राप्त होगा।
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 3.
बिन्दु (x, y, z) की z-अक्ष से लम्बवत् दूरी है
(A) \(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
(B) \(\sqrt{x^2+y^2}\)
(C) 1
(D) z
उत्तर: 
(B) \(\sqrt{x^2+y^2}\)

हल:
z-अक्ष पर x = 0, y = 0 होता है अतः z-अक्ष पर बिन्दु (0, 0, 2) होगा।
अतः z-अक्ष से लम्बवत् दूरी = \(\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-z)^2}\)
= \(\sqrt{x^2+y^2}\)
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 4.
यदि एक रेखाखण्ड के अक्षों पर प्रक्षेप की लम्बाइयाँ क्रमश: 3, 4, 12 हैं तब रेखा की लम्बाई है
(A) 3
(B) 4
(C) 12
(D) 13
उत्तर:
(D) 13

हल:
x-अक्ष पर प्रक्षेप = r.l
y-अक्ष पर प्रक्षेप = r.m
z-अक्ष पर प्रक्षेप = r.n
प्रश्नानुसार
3 = r.l ...... (1)
4 = r.m ...... (2)
12 = r.n ...... (3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) का वर्ग करके जोड़ने पर
3² + 4² + 12² = r²(l² + m² + n²)
r² = 9 + 16 + 144 = 169
∵ l² + m² + n² = 1
∴ r² = √169 = 13
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5.
अक्षों पर \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{1}{c}\) अन्तःखण्ड काटने वाले समतल का समीकरण है
(A) ax + by + Cz = 1
(B) ax + by + cz = abc
(C) ax + by + cz = 3
(D) ax + by + cz = \(\frac{1}{a b c}\)
उत्तर:
(A) ax + by + Cz = 1

हल:
हम जानते हैं अक्षों पर a, b, c अन्त:खण्ड काटने वाले समतल का समीकरण \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 होता है। अतः प्रश्नानुसार अक्षों पर \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\) अन्त:खण्ड काटने वाले समतल का समीकरण होगा

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 6.
समतल 2x + 3y - 3z = 5 का अभिलम्बरूप में समीकरण है
(A) \(\frac{2}{5} x+\frac{3}{5} y-\frac{3}{5} z\) = 1
(B) \(\frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{\frac{5}{3}}+\frac{z}{\frac{5}{3}}\) = 0
(C) \(\frac{2}{\sqrt{22}} x+\frac{3}{\sqrt{22}} y-\frac{3}{\sqrt{22}} z=\frac{5}{\sqrt{22}}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(C) \(\frac{2}{\sqrt{22}} x+\frac{3}{\sqrt{22}} y-\frac{3}{\sqrt{22}} z=\frac{5}{\sqrt{22}}\)

हल:
समतल 2x + 3y - 3z = 5
अभिलम्ब रूप के लिये

उपरोक्त समतल का समीकरण lx + my + nz = p रूप का है जो कि अभिलम्ब रूप है।
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 7.
समतल x = a है
(A)x-अक्ष के समान्तर
(B) yz समतल के समान्तर
(C) yz समतल के लम्बवत्
(D)xy समतल के समान्तर

उत्तर:
(B) yz समतल के समान्तर

हल:
समतल x = a, yz समतल के समान्तर समतल होता है।
अत: सही विकल्प B है।

प्रश्न 8.
समतल ax + by + cz + d = 0 के लम्बवत् रेखा के दिक्अनुपात है।
(A) a, b,c
(B) \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\)
(C) b, c, a
(D) \(\frac{1}{a}\), b, c
उत्तर:
((A) a, b,c

हल:
समतल के लम्बवत् रेखा को अभिलम्ब कहते हैं, अतः समतल ax + by + cz + d = 0 के लम्बवत् रेखा अर्थात् अभिलम्ब के दिक्अनुपात a, b, c होंगे।
अतः सही विकल्प A है।

अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
दो समतलों 3x - 6y + 2z = 7 और 2x + 3y + 6z = 5 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ पर a₁ = 3, b₁ = - 6, c₁ = 2
एवं a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = 6
माना समतलों के मध्य कोण θ है, अतः

∴ θ = cos^-1 (0) = 90°

प्रश्न 2.
समतल 3x - 4y + 12z = 3 पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समतल
3x - 4y + 12z - 3 = 0 ......(1)
समतल (1) की बिन्दु (0, 0, 0) से लाम्बिक दूरी

प्रश्न 3.
बिन्दु (1, 0, 0) एवं (0,1, 1) को मिलाने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा के दिक्-अनुपात
0 -- 1, 1 - 0, 1 - 0 अर्थात् - 1, 1, 1 होंगे।
अतः रेखा के दिक्-कोसाइन

प्रश्न 4.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से +3 इकाई की दरी पर हो तथा इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 12, -4, 3
हल:
समतल के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 12, -4, 3 हैं अतः दिक्कोसाइन

प्रश्न 5.
एक समतल बिन्दु P(2, 3, 1) से गुजरता है तथा OP इसके लम्ब रेखा है। जहाँ पर 0 मूल बिन्दु है। समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ पर OP समतल का अभिलम्ब है अतः OP के दिक्-अनुपात 2 - 0, 3 - 0, 1 - 0,
⇒ 2, 3, 1 होंगे
अतः बिन्दु (2, 3, 1) से जाने वाले समतल का समीकरण
A(x - 2) + B(y - 3) + C(z - 1) = 0

⇒ यहाँ पर A, B तथा C अभिलम्ब के दिक्-अनुपात होंगे
⇒ 2(x - 2) + 3(y - 3) + 1(z - 1) = 0
⇒ 2x - 4 + 3y - 9 + z - 1 = 0
⇒ 2x + 3y + z = 14
जोकि समतल का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 6.
(α, β, γ) से जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो कि समतल ax + by + cz = 0 के समान्तर है।
हल:
बिन्दु (α, β, γ) से जाने वाला समतल का समीकरण
A(x - α) + B(y - β) + C(z - γ) = 0.....(1)
समीकरण (1) समतल ax + by + cz = 0 के समान्तर है अतः
\(\frac{\mathrm{A}}{a}=\frac{\mathrm{B}}{b}=\frac{\mathrm{C}}{c}\) = λ
A = aλ, B = bλ, C = cλ
समीकरण (1) में मान रखने पर
aλ(x - α) + bλ(y - β) + cλ(z - γ) = 0
या a(x - α) + b(y - β) + c(z - γ) = 0
या ax + by + cz = aα + bβ + cγ

प्रश्न 7.
दो परस्पर लम्बवत् रेखाओं के दिक्-अनुपात 1, 2, 3 तथा 3, 2, λ हैं, तो λ का मान लिखिए।
हल:
लम्बवत् के लिए
a₁a₂, + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
1 × 3 + 2 × 2 + 3 × λ = 0
⇒ 3 + 4 + 3λ = 0
∴ 3λ = - 7
या λ = - \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 8.
यदि रेखा AB की दिक्-कोज्याएँ cos α, cos β, cos γ हैं, तो रेखा BA की दिक्-कोज्याएँ क्या होंगी?
हल:
cos (π - a), cos (π - B), cos (π - Y)
अर्थात् - cos α, - cos β, - cos γ होंगी।

प्रश्न 9.
तीन संगामी रेखाएँ जिनकी दिक्-कोसाइन l₁, m₁, n₁; l₂, m₂, n₂ तथा l₃ m₃, n₃ हैं, के समतलीय होने का प्रतिबन्ध लिखिए।
हल:
अभीष्ट प्रतिबन्ध \(\left|\begin{array}{lll} l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{array}\right|\) = 0

प्रश्न 10.
दी गयी रेखा \(\frac{4-x}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z+2}{6}\) के समान्तर रेखा के दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 11.
रेखाओं 2x = 3y = - z तथा 6x = - y = - 4z के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
दी गई रेखाओं
2x = 3y = - z तथा 6x = - y = - 4z को निम्न तरह से लिखा जा सकता है-

इसलिये दोनों रेखाओं के बीच का कोण = दोनों सदिशों \(\overrightarrow{\mathrm{b}}_1\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{b}}_2\) के बीच का कोण

प्रश्न 12.
मूल बिन्दु से समतल \(\vec{r}\).(2î + ĵ + 2k̂) = 6 की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं
\(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂
∴ (xî + yĵ + zk̂). (2î + ĵ + 2k̂) = 6
⇒ 2x + y + 2x = 6
क्योंकि तल के अभिलम्ब के दिक् अनुपात 2, 1, 2 हैं इसलिये इसकी दिक्-कोसाइन है-

अर्थात् \(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\)
इसलिये समीकरण 2x + y + 2z = 6 को 3 से भाग करने पर हम प्राप्त करते हैं।
\(\frac{2}{3}\)x + \(\frac{1}{3}\)y + \(\frac{2}{3}\)z = 2
और यह lx + my + nz = d, के रूप में है जहाँ मूल बिन्दु से समतल की दूरी d है इसलिये समतल की मूल बिन्दु से दूरी 2 है।

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि एक रेखा निर्देशी अक्षों के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती है तो cos2α + cos2β + cos2γ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है कि रेखा निर्देशी अक्षों के साथ क्रमशः α, β व γ कोण बनाती है तब रेखा की दिक्-कोसाइन l = cos α, m = cos β तथा n = cos γ. होगी।
हम जानते हैं,
l² + m² + n² = 1
⇒ cos²α + cos²β + cos²γ = 1
⇒ \(\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}+\frac{1+\cos 2 \beta}{2}+\frac{1+\cos 2 \gamma}{2}\) = 1
⇒ 1 + cos2α + 1 + cos2β + 1 + cos2γ = 2
⇒ 3 + cos2α + cos2β + cos2γ = 2
⇒ cos2α + cos2β + cos2γ = 2 - 3 = - 1
अतः cos2α + cos2β + cos2γ का मान - 1 के बराबर होगा।

प्रश्न 2.
बिन्द (2, - 1, 5) से दी गयी रेखा \(\frac{x-11}{10}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z+8}{-11}\) पर खींची गयी लम्ब की लम्बाई और पाद की निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखा का समीकरण
\(\frac{x-11}{10}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z+8}{-11}\) = λ(माना)

रेखा पर N के निर्देशांक होंगे
(10λ + 11, - 4λ - 2, - 11λ - 8)
अतः PN रेखा के दिक्-अनुपात
10λ + 11 - 2, - 4λ - 2 + 1, - 11λ - 8 - 5
⇒ 10λ + 9, - 4λ - 1, - 11λ - 13
और दी गयी रेखा के दिक्-अनुपात 10, - 4, - 11 हैं।
PN रेखा पर लम्ब है इसलिये
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 से
⇒ 10(10λ + 9) - 4(- 4λ - 1) - 11(- 11λ - 13) = 0
⇒ 100λ + 90 + 16λ + 4 + 121λ + 143 = 0
237λ + 237 = 0
λ = - 1
इसलिये लम्ब पाद के निर्देशांक
N(- 10 + 11, 4 - 2, 11 - 8)
या N(1, 2, 3)
अतः लम्ब की लम्बाई
PN = \(\sqrt{(2-1)^2+(-1-2)^2+(5-3)^2}\)
= \(\sqrt{1+9+4} \)= √14 इकाई

प्रश्न 3.
बिन्दु P(5, 4, 2) से रेखा \(\vec{r}\) = - î + 3ĵ + k̂ + λ (2î +3ĵ - k̂) पर डाले गये लम्ब के पाद के निर्देशांक तथा उसकी लम्बाई ज्ञात कीजिए। बिन्दु P का दी गई रेखा में प्रतिबिम्ब भी ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\vec{r}\) = - î + 3ĵ + k̂ + λ (2î +3ĵ - k̂)
रेखा का कार्तीय रूप में समीकरण

रेखा (1) पर किसी बिन्दु N के निर्देशांक
N(2λ - 1, 3λ + 3, - λ + 1)
PN के दिक्-अनुपात होंगे
(2λ - 1 - 5, 3λ + 3 - 4, - λ + 1 - 2)
या (2λ - 6, 3λ - 1, - λ - 1)
चूँकि PN एवं रेखा (1) लम्बवत् है, अतः
al + bm + cn = 0
⇒ (2λ - 6) × 2 + (32 - 7) × 3 + (- 2 - 1)(-1) = 0
इसलिए 4λ - 12 + 9λ - 3 + 2 + 1 = 0
या 14λ = 14 ⇒ λ = 1
अतः N(1, 6, 0)
PN की लम्बाई = \(\sqrt{(5-1)^2+(4-6)^2+(2-0)^2}\)
= \(\sqrt{16+4+4}\) = √4
= 2√6 इकाई

प्रश्न 4.
निम्न रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये
\(\vec{r}\) = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ(2î + 3ĵ + 4k̂)
\(\vec{r}\) = (2î + 4ĵ + 5k̂) + μ(4î + 6ĵ + 8k̂)
हल:
दी गई रेखाओं के समीकरणों की तुलना
\(\ddot{r}=\overrightarrow{a_1}+\lambda \vec{b}_1\), और \(\ddot{r}=\overrightarrow{a_2}+\lambda \vec{b}_2\), से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है।
\(\overrightarrow{a_1}\) = î + 2ĵ + 3k̂, \(\overrightarrow{b_1}\) = 2î + 3ĵ + 4k̂
\(\overrightarrow{a_2}\) = 2î + 4ĵ + 5k̂ और \(\overrightarrow{b_2}\) = 4î + 6ĵ + 8k̂
∴ \(\overrightarrow{b_2}=2 \overrightarrow{b_1}=\vec{b}\)
इसलिए
a₂ - a₁ = 2î + 4ĵ + 5k̂ - î - 2ĵ - 3k̂
= î + 2ĵ + 2k̂
यहाँ पर दोनों रेखायें आपस में समान्तर हैं, इसलिये समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी

प्रश्न 5.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो समतलों 2x + y - z = 3 तथा 5x - 3y + 4x + 9 = 0 की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाता है तथा रेखा \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{5-z}{-5}\) के समान्तर है
हल:
उस समतल का समीकरण जो दो दिये गये समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाता है।
2x + y - 2 - 3 + λ (5x - 3y+ 4z +9) = 0
⇒ (2 + 5λ) x + (1 - 3λ)y + (- 1 + 4λ) z - 3 + 9λ = 0
⇒ (2 + 5λ) x + (1 - 3λ)y + (- 1 + 4λ)z + 9λ - 3 = 0 ...... (1)
समतल (1) की समीकरण, रेखा
\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-5}{5}\) के समान्तर है, अतः
(2 + 5λ). 2 + (1 - 3λ). 4 + (4λ - 1).5 = 0
⇒ 4 + 10λ + 4 - 12λ + 20λ - 5 = 0
⇒ 18λ + 3 = 0 ⇒ λ = \(\frac{-3}{18}=-\frac{1}{6}\)
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर

या 7x + 9y - 10z - 27 = 0
या 7x + 9y - 10z = 27
या 7x + 9y - 10z - 27 = 0
जो कि समतल का अभीष्ट समीकरण है।

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दु (1, 3, 4) का समतल x - y + z= 5 में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए। यह भी सत्यापित कीजिए कि यह प्रतिबिम्ब समतल x - 2y + z - 7 = 0 पर स्थित है।
हल:
समतल का समीकरण x - y + z = 5 ......(1)

रेखा PP¹ का समीकरण
\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{1}\) = r (माना) .......... (2)
समीकरण (2) पर किसी बिन्दुःPI के निर्देशांक
(r + 1, - r + 3, r + 4)
माना PP¹ का मध्य बिन्दु है अत: M के निर्देशांक

या r + 2 + r - 6 + r + 8 = 10
या 3r + 10 - 6 = 10
या 3r = 6
⇒ [r = 2]
r का मान P¹ में रखने पर (2 + 1, - 2 + 3, 2 + 4)
या (3, 1, 6)
यदि P¹ बिन्दु समतल x - 2y + 2 - 7 = 0 पर स्थित है, तो इस समीकरण को सन्तुष्ट करेगा
LHS = 3 - 2 × 1 + 6 - 7 = 3 - 2 + 6 - 7 = 0 = RHS
अतः प्रतिबिम्ब P¹(3, 1, 6) समतल x - 2y + z - 7 = 0 पर स्थित है।

प्रश्न 2.
यदि किसी चर रेखा की दो आसन्न स्थितियों की दिक्-कोज्याएँ l, m, n तथा l + δl, m + δm, n + δn हों तथा इन स्थितियों के मध्य कोण δθ हो, तो सिद्ध कीजिए
(δθ)² = (δl)² + (δm)² + (δn)²
हल:
l, m, n रेखा की दिक्-कोज्याएँ हैं।
अतः l² + m² + n² = 1
l + δl, m + δm, n + δn भी रेखा की दिक्-कोज्याएँ हैं।
इसलिए
(1 + δ1)² + (m + δm)² + (n + δn)² = 1
या l² + m² + n² + (δl)² + (δm)² + (δn)² + 2lδl + 2mδm + 2nδn = 1
या (δ1)² + (δm)² + (δn)² = - [2 (lδl + mδm + nδn)] ....... (1)
अब cos δθ = l(l + δl) + m (m + δm) + n (n + δn)
= l² + 1δ1 + m² + mδm + n² + nδn
= l² + m² + n² + lδl + mδm + nδn
= l + lδl + mδm + nδn
cos δθ = 1 - \(\frac{1}{2}\)[(δ1)² + (δm)² + (δn)²]
[समीकरण (1) से मान रखने पर]
या - [(δl)² + (δm)² + (δn)²] = 2 (cos θ - 1)
या (δl)² + (δm)²+ (δn)² = 4 sin²\(\frac{\delta \theta}{2}\) ≈ 4\(\left(\frac{\delta \theta}{2}\right)^2\)
[∵ δθ बहुत छोटी राशि है अतः sin\(\frac{\delta \theta}{2} \rightarrow \frac{\delta \theta}{2}\)]
या (δl)² + (δm)² + (δn)² = (δθ)²

प्रश्न 3.
बिन्दु P(1, 2, 3) से रेखा \(\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}\) लम्ब डाला गया है, तो निम्न को ज्ञात कीजिए
(i) बिन्दु N के निर्देशांक
(ii) PN की लम्बाई
(iii) PN का समीकरण।
हल:
बिन्दु P(1, 2, 3) से रेखा \(\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}\) = r (माना)
पर लम्ब PN डाला गया है।
तब N के निर्देशांक (3r + 2, 4r + 3, 5r + 4) लिए जा सकते हैं।
PN के दिक्-अनुपात
3r + 2 - 1, 4r + 3 - 2, 5r + 4 - 3
अर्थात् 3r + 1, 4r + 1, 5r + 1 है।
चूँकि PN रेखा के लम्बवत् है अतः

3(3r + 1) + 4(4r + 1) + 5(5r + 1) = 0
या 9r + 3 + 16r + 4 + 25r + 5 = 0
या 50r + 12 = 0
या r = \(\frac{-12}{50}\) = \(\frac{-6}{50}\)
अत: N के निर्देशांक

प्रश्न 4.
समतल ax + by + cz + d = 0 तथा a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो xy-समतल पर लम्ब हो।
हल:
समतल ax + by + cz + d = 0 तथा a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरने वाले समतल का समीकरण होगा
ax + by + cz + d + λ (a₁x + b₁y + c₁z + d₁) = 0
⇒ (a + λa₁)x + (b + λb₁)y + (c + λc₁)z + d + λd₁ = 0 ...... (1)
समीकरण (1) का समतल xy-समतल पर लम्ब है।
xy-समतल का समीकरण-z = 0
⇒ 0. x + 0.y+ 1. z = 0 ...... (2)
समतल (1) तथा (2) लम्बवत् हैं, अतः
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 से
(a + λa₁) . 0 + (b + λb₁).0 + (c + λc₁). 1 = 0
⇒ 0 + 0 + c + λc₁ = 0
⇒ λ = - \(\frac{c}{c_1}\) ....... (3)
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर-

⇒ (ac₁ - a₁c)x + (bc₁ - cb₁)y + dc₁ - cd₁ = 0

प्रश्न 5.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल ax + by + cz + d = 0 तथा a'x + b'y + c'z + d' = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरता है और समतल lx + my + nz = p पर लम्ब है।
हल:
दिए हुए समतलों के प्रतिच्छेद से होकर जाने वाले किसी भी समतल का समीकरण होगा-
ax + by + cz + d + λ(a'x + b'y + c'z + d') = 0
या (a + a'λ)x + (b + b'λ)y + (c + c'λ)z + d +d'λ = 0 .......... (1)
यदि यह समतल, lx + my + nz = p पर लम्ब है, तो
(a + a'λ) l + (b + b'λ) m + (c + c'λ)n = 0
[∵ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 से]
या λ = - \(\frac{a l+b m+c n}{a^{\prime} l+b^{\prime} m+c^{\prime} n}\)
λ का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
(ax + by + cz + d) - \(\frac{a l+b m+c n}{a^{\prime} l+b^{\prime} m+c^{\prime} n}\) (a'x + b'y + c'z + d') = 0
या (ax + by + cz + d)(a'l + b'm + c'n) - (al + bm + cn)(a'x + by + c'z + d') = 0
जो कि समतल का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 6.
रेखाओं \(\frac{x+3}{2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z-7}{-3}\) तथा \(\frac{x+1}{4}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-1}{-1}\) को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें।
हल:

रेखा (i) से जाने वाले समतल का समीकरण
A(x + 3) + B(y + 5) + C(z - 7) = 0 ........ (3)
चूँकि समतल (iii) रेखा (i) से गुजर रहा है, अतः समतल का अभिलम्ब रेखा (i) के लम्बवत् होगा।
⇒ 2A + 3B - 3C = 0 ...... (4)
चूँकि समतल (iii) रेखा (ii) से भी गुजरता है अतः रेखा (ii) पर स्थित बिन्दु (-1, - 1,- 1) समतल (iii) को संतुष्ट करेगा
2A + 4B - 8C = 0
⇒ A + 2B - 4C = 0 ....... (5)
समीकरण (4) एवं (5) को सरल करने पर
2A + 3B-3C = 0
A + 2B - 4C = 0

⇒ A = - 6λ, B = 5λ, C = λ
A, B, C के मान समीकरण (3) में रखने पर
- 6(x + 3) + 5(y + 5) + 1(z -7) = 0
⇒ - 6x - 18 + 5y + 25 + z -7 = 0
⇒ 6x - 5y - z = 0,
'जोकि रेखाओं को समाहित करने वाला अभीष्ट समीकरण होगा।

प्रश्न 7.
प्रदर्शित कीजिए कि रेखाएँ \(\frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{5}=\frac{z+5}{7}\) और \(\frac{x-2}{1}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-6}{5}\) आपस में काटती है। प्रतिच्छेदन बिन्द के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ हैं

रेखा (i) पर किसी बिन्दु के निर्देशांक
P(3λ - 1, 5λ - 3, 7λ - 5) ....... (iii)
रेखा (ii) पर किसी बिन्दु के निर्देशांक
Q(μ + 2, 3μ + 4, 5μ + 6) ....... (iv)
रेखा (i) व (ii) के प्रतिच्छेदन के लिए आवश्यक है कि P व Q एक ही बिन्दु के निर्देशांक हों
∴ 3λ - 1 = μ + 2 ⇒ 3λ - μ = 3 ...... (v)
5λ - 3 = 3μ + 4 ⇒ 5λ - 3μ = 7 ..... (vi)
7λ - 5 = 5μ + 6 ⇒ 7λ - 5μ = 11 ....(vii)
समीकरण (v) व (vi) को हल करने पर
λ = \(\frac{1}{2}\), μ = - \(\frac{3}{2}\)
समीकरण (vii) में 2. वu का मान प्रतिस्थापित करने पर

जो कि सत्य है। अतः समीकरण (i) व (ii) प्रतिच्छेदित करते हैं । अभीष्ट प्रतिच्छेदन बिन्दु
P\(\left(3 \times \frac{1}{2}-1,5 \times \frac{1}{2}-3,7 \times \frac{1}{2}-5\right)\) (λ = \(\frac{1}{2}\) रखने पर)
= P\(\left(\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}\right)\)

प्रश्न 8.
बिन्दु (6, 5, 9) से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो कि बिन्दुओं A (3,- 1, 2)B (5, 2, 4) तथा C(-1, -1, 6) से निर्धारित तल के समान्तर है। अतः इस समतल की बिन्दु A से दूरी भी ज्ञात कीजिये।
हल:
तीन बिन्दुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण-

⇒ (x - 3) (12 - 0) - (y + 1) (8 + 8) + (z - 2) (0 + 12) = 0 .
⇒ 12 (x - 3) - 16 (y + 1) + 12 (z - 2) = 0
⇒ 12x - 36 - 16y - 16 + 12z - 24 = 0
⇒ 12x - 16 y + 12 z - 76 = 0
या 3x - 4y + 3z - 19 = 0 ........ (1)
अतः समीकरण (1) तीन बिन्दुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण है। अब हम इस समतल के समान्तर समतल का समीकरण ज्ञात करेंगे।
समान्तर समतल का समीकरण होगा
3x - 4y + 3z + k = 0 ....... (2)
यह समतल बिन्दु P (5, 6, 9) से गुजरता है।
∴ 3 × 6 - 4 × 5 + 3 × 9 + k = 0
18 - 20+ 27 + k = 0
∴ k = - 25
समीकरण (2) में k का मान रखने पर
3x - 4y + 3z - 25 = 0 .......... (3)
अब हम इस समतल की बिन्दु A से दूरी ज्ञात करेंगे।