RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित Important Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Chapter 10 Important Questions सदिश बीजगणित

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि सदिश 3î + 2ĵ - k̂ तथा 6î - 4pĵ + qk̂ समान्तर हों, तो p तथा q के मान क्रमशः होंगे
(A) - 1, -2
(B) -1, 2
(C) 1, 2
(D) 1, -2
हल:
(A) - 1, -2

अतः p = -1 और q= - 2
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 2.
यदि सदिश \(\vec{a}\) = 2î + 5ĵ और \(\vec{b}\) = 2î - ĵ हो, तो सदिश \(\vec{a} + \vec{b}\) की दिशा में इकाई सदिश है
(A) î + ĵ
(B) \(\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}\)
(C) √2(î + ĵ)
(D) √2(î - ĵ)
हल:
(B) \(\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}\)

अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 3.
त्रिभुज ABC का केन्द्रक G हो, तो \(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\) का मान होगा
(A) 3 \(\overrightarrow{\mathrm{GA}}\)
(B) 3\(\overrightarrow{\mathrm{GB}}\)
(C) \(\overrightarrow{0}\)
(D) 3\(\overrightarrow{\mathrm{GC}}\)
हल:
(C) \(\overrightarrow{0}\)

माना कि ΔABC में D, E तथा F क्रमशः भुजा BC, CA तथा AB के मध्य बिन्दु हैं। G के सापेक्ष बिन्दु B तथा C के स्थिति सदिश क्रमशः GB तथा GC हैं। क्योंकि D, भुजा BC का मध्य बिन्दु है।
\(\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})\) ....(1)

अब बिन्दु G त्रिभुज ABC का केन्द्रक है अत: GAD को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करेगा

अतः सही विकल्प (C) है।।

 

प्रश्न 4.
यदि A और B के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}-3 \vec{b}\) तथा 6\(\vec{b} - 2\vec{a}\) हों, तो AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश होगा
(A) - \(\vec{a} + 3\vec{b}\)
(B) \(\frac{\vec{b}-\vec{a}}{3}\)
(C) \(\frac{-\vec{a}+3 \vec{b}}{3}\)
(D) \(\overrightarrow{0}\)
हल:
(D) \(\overrightarrow{0}\)

माना A और B के स्थिति सदिशों को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिन्दु R है तब R के स्थिति सदिश

अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5.
यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) हैं, तो त्रिभुज के केन्द्रक का स्थिति सदिश है
(A) \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)
(B) \(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)
(C) \(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{6}\)
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं
हल:
(B) \(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)

त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) हैं इसलिए केन्द्रक का स्थिति सदिश \(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\) होगा।
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु A व B के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) हों, तो रेखा AB के मध्य बिन्दु का स्थिति सदिश होगा
(A) \(\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\)
(B) \(\vec{a}-\vec{b}\)
(C) \(\vec{a}+\vec{b}\)
(D) \(\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})\)
हल:
(A) \(\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})\)

बिन्दु A व B के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) हैं इसलिये रेखा AB के मध्य बिन्दु का स्थिति सदिश
= \(\frac{1 \cdot \vec{a}+1 \cdot \vec{b}}{1+1}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)
अतः सही विकल्प (A) है।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
स्थिति सदिश को परिभाषित कीजिए।
हल:
माना \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) एक सदिश है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु O पर स्थिर बिन्दु अथवा मूल बिन्दु है, तब \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) को बिन्दु P का स्थिति सदिश कहते हैं जो स्थिर बिन्दु O के सापेक्ष, बिन्दु P की स्थिति को व्यक्त करता है। अतः स्थिति सदिश के द्वारा किसी चर बिन्दु P की स्थिति को, एक स्थिर बिन्दु (मूल बिन्दु) O के सापेक्ष ज्ञात किया जाता है जिसे \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) द्वारा व्यक्त करते हैं।

प्रश्न 2.
2î + 2ĵ + k̂ की दिशा में इकाई सदिश लिखिए।
हल:

प्रश्न 3.
ΔABC में क्रमशः \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}\) से निरूपित तीन सदिशों का योग लिखिए।
हल:
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}})+\overrightarrow{\mathrm{CA}}\)
= \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}\)
= \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}\)

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) का मान बताइए।

हल:
सदिशों के योग त्रिभुज नियम से
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)
= \(\vec{a}+\vec{b}\)

प्रश्न 5.
शून्य सदिश को स्पष्ट कीजिए।
हल:
वह सदिश जिसका परिमाण (मापांक) शून्य (0) हो, शून्य सदिश कहलाता है। इसकी दिशा अनिश्चित होती है। वे सदिश जिनके प्रारम्भिक बिन्दु और अन्तिम बिन्दु एक ही हों, जैसे \(\overrightarrow{\mathrm{AA}}, \overrightarrow{\mathrm{BB}}\),..... इत्यादि, सदैव शून्य सदिश को व्यक्त करते हैं । इसे \(\overrightarrow{0}\) या काले शून्य (0) से प्रदर्शित किया जाता है।

प्रश्न 6.
OABC एक चतुष्फलक है । \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) सदिशों को \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}\) व \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) के पदों में लिखिए।
हल:

प्रश्न 7.
यदि \(\vec{a}\) एक सदिश तथा m एक अदिश राशि है तथा \(m\vec{a} = \vec{0}\) तब \(\vec{a}\) तथा m के क्या वैकल्पिक मान सम्भव हैं?
हल:
या तो m = 0 या \(\vec{a}\) = 0

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु P व Q के निर्देशांक क्रमशः (2, - 1, 1) तथा (1,-3,-5) हों, तो सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O मूल बिन्दु है।
∴ स्थिति सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) = 2î - ĵ + k̂
स्थिति सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) = î -3ĵ - 5k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)
= î -3ĵ - 5k̂ - 2î + ĵ - k̂
= -î - 2ĵ - 6k̂

प्रश्न 9.
यदि बिन्दु (12, n) का स्थिति सदिश \(\vec{a}\) इस प्रकार है कि |\(\vec{a}\)| = 13, तब n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु (12, n) का स्थिति सदिश = 12î + nĵ ∴ \(\vec{a}\) = 12î + nĵ
⇒ \(|\vec{a}|=\sqrt{12^2+n^2}\) ⇒ 13 = \(\sqrt{144+n^2}\)
⇒ 169 = 144 + n² ⇒ n² = 25.
⇒ n = ±5

प्रश्न 10.
यदि सदिश aî - aĵ + k̂ एवं aî + ĵ - 2k̂ एक-दूसरे पर लम्ब हों, तो a का मान ज्ञात करें।
हल:
aî - aĵ + k̂ , aî + ĵ - 2k̂ एक-दूसरे पर लम्ब हैं।
(aî - aĵ + k̂) . (aî + ĵ - 2k̂) = 0
⇒ a² - a - 2 = 0 ⇒ (a - 2) (a + 1) = 0
a = 2, -1

प्रश्न 11.
त्रिभुज OAC में यदि B, भुजा AC का मध्य-बिन्दु हो तथा \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) क्या होगा?
हल:

प्रश्न 12.
सदिश \(\vec{a}\) = î + 2ĵ - 3k̂ तथा \(\vec{b}\) = 3î - ĵ + 2k̂ दोनों के लम्बवत एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिये, जिसका परिमाण 171 हो।
हल:
दिया है \(\vec{a}\) = î + 2ĵ - 3k̂ तथा \(\vec{b}\) = 3î - ĵ + 2k̂

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
सदिश 2î - ĵ के समान्तर सदिश लिखिए जिसका परिमाण 5 इकाई है।
हल:
माना इसके समान्तर सदिश a₁î + a₂ĵ है। दिया गया है
|a₁î + a₂ĵ| =5
\(\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) = 5
a₁² + a₂² = 25 ...........(1)

समान्तर होने पर
\(\frac{a_1}{2}=\frac{a_2}{-1}\) = k (माना)
a₁ = 2k
ap = – k समीकरण (1) में मान रखने पर
(2k)² + (-k) = 25
4k² + 2 = 25
5k² = 25
k = √5
a₁ = 2√5 और a₂ = -√5
अतः समान्तर सदिश होगा 2√5î - √5ĵ

प्रश्न 2.
यदि सदिश î + 3ĵ + 2k̂, 2î - ĵ + 4k̂ और 3î + 2ĵ + pk̂ समतलीय हों, तोp का मान क्या होगा?
हल:
तीन सदिश समतलीय होने के लिए सारणिक का मान शून्य के बराबर होना चाहिए। अतः
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & p \end{array}\right|\) = 0
1 (-p- 8) - 3(2p - 12) + 2(4 + 3) = 0
-p-8 - 6p + 36 + 14 = 0
- 7p + 42 = 0
⇒ 7p =42
P = \(\frac{42}{7}\) = 6
⇒ p = 6

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि \(\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}\) तथा -7 \(\vec{b}+10 \vec{c}\) संरेखीय हैं।
हल:
माना मूल बिन्दु 0 के सापेक्ष बिन्दुओं A, B, C के स्थिति-सदिश
क्रमशः \(\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}, -7 \vec{b}+10 \vec{c}\) हैं ।

इससे प्रकट होता है कि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) समान्तर हैं जो केवल तभी सम्भव हो सकता है जब तीनों बिन्दु A, B, C एक ही रेखा में स्थित हों, चूँकि इन दोनों सदिशों का प्रारम्भिक बिन्दु A उभयनिष्ठ है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि \(\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})+\vec{b} \times(\vec{c}+\vec{a})+\vec{c} \times(\vec{a}+\vec{b})\) = 0
हल:
सदिश गुणन के बंटन के नियम का प्रयोग करने पर

प्रश्न 5.
मान लीजिये कि \(\vec{a}\) = î + 4ĵ + 2k̂, \(\vec{b}\) = 3î - 2ĵ + 7k̂ और \(\vec{c}\) = 2î - ĵ + 4k̂. एक ऐसा सदिश \(\vec{d}\) ज्ञात कीजिये जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दोनों पर लम्ब हो और \(\vec{c}.\vec{d}\) = 27
हल:
प्रश्नानुसार सदिश \(\vec{a}\) = î + 4ĵ + 2k̂ और \(\vec{b}\) = 3î - 2ĵ + 7k̂ के लम्ब
कोई सदिश = \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7 \end{array}\right|\)
= (28 + 4) î + (6 - 7)ĵ + (-2 - 12) k̂
= 32î - ĵ - 14k̂

माना कि \(\vec{d}\) = λ (32î - ĵ - 14k̂)
∴ \(\vec{d}\) सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के लम्ब है। परन्तु
\(\vec{c}.\vec{d}\) = 27
(2î - ĵ + 4k̂). λ(32î - ĵ - 14k̂) = 27
या λ. (64 +1-56) = 27
या aλ = 27 ∴ λ = 3
⇒ \(\vec{d}\)= 3(32î - ĵ - 14k̂)
= 96î - 3ĵ - 42k̂

प्रश्न 6.
यदि \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ + 3k̂, \(\vec{b}\) = -î + 2ĵ + k̂ और \(\vec{c}\) = 3î + ĵ इस प्रकार हैं कि \(\vec{a} + λ\vec{b}\) सदिश \(\vec{c}\) पर लंब है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ + 3k̂,
\(\vec{b}\) = -î + 2ĵ + k̂
\(\vec{a} + λ\vec{b}\) = (2î +2ĵ + 3k̂) + 2 (-î + 2ĵ + k̂)
= (2 - λ)î + (2 + 2λ)ĵ + (3 + λ)k̂

तथा दिया है \(\vec{c}\) = 3î + ĵ
∵ \(\vec{a}+\lambda \vec{b} \perp \vec{c}\) (दिया है)
\((\vec{a}+\lambda \vec{b}).\vec{c}\) = 0
⇒ [(2 - λ)î +(2 + 2λ)ĵ + (3 + λ)k̂].[3î + ĵ] = 0
⇒ 3(2 - λ) + (2 + 2λ) . 1 + (3 + λ) . 0 =0
⇒ 6 - 3λ + 2 + 2λ = 0
⇒ 8 - λ=0
⇒ λ = 8

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष बिन्दु
A (1, 1, 1), B (1, 2, 3) और C (2, 3, 3) हैं।
हल:
प्रश्नानुसार त्रिभुज ABC के शीर्षों के स्थिति सदिश A (1, 1, 1), B (1, 2, 3), C (2, 3, 3) हैं और माना O मूल बिन्दु है, तब

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
A और B दोबिन्दु हैं। बिन्दुA का स्थिति सदिश 6\(\vec{b} - 2\vec{a}\) है। एक बिन्दु P रेखा AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।यदिएका स्थिति सदिश \(\vec{a} - \vec{b}\) हो, तो बिन्दु B का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मूल बिन्दु O है, तब

बिन्दु B का स्थिति सदिश 7\(\vec{a}\) - 15\(\vec{b}\) होगा

प्रश्न 2.
सदिशं विधि से सिद्ध कीजिये कि किसी ΔABC में
\(\frac{\sin \mathrm{A}}{a}=\frac{\sin \mathrm{B}}{b}=\frac{\sin \mathrm{C}}{c}\)
हल:
माना ΔABC में

प्रश्न 3.
किसी सदिश के लिए सिद्ध कीजिये कि
\(|\overrightarrow{{a}} \times \hat{{i}}|^2+|\overrightarrow{{a}} \times \hat{{j}}|^2+|\overrightarrow{{a}} \times \hat{{k}}|^2=\mathbf{2}|\overrightarrow{{a}}|^2\)
हल:

प्रश्न 4.
सदिश विधि से ΔABC में सिद्ध कीजिए कि
cos(α - β) = cos α cos β + sin α .sinβ
हल:
माना î एवं ĵ, X-अक्ष एवं Y-अक्ष के अनुदिश इकाई सदिश हैं।
माना , OP = 0Q = 1 इकाई

= (î cos α + ĵ sina).(î cos β + ĵ sin β) = 1.1.cos(α - β)
इसलिए cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

प्रश्न 5.
सदिशों \(\vec{a}\) व \(\vec{b}\) के लिए सिद्ध कीजिए कि
\(|\vec{a} \times \vec{b}|^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-|\vec{a} \cdot \vec{b}|^2\)
हल:

प्रश्न 6.
सदिश \(\vec{a}, \vec{b}\) व \(\vec{c}\) इस प्रकार से हैं कि \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) = 0 और \(|\vec{a}|\) = 3, \(|\vec{b}|\) = 5 एवं \(|\vec{c}|\) = 7 तब \(\vec{a}\) व \(\vec{b}\) के बीच कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः \(\vec{a}\) व \(\vec{b}\) के बीच कोण \(\frac{\pi}{3}\) है।

प्रश्न 7.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (a, b, c) से गुजरता है और यह समतल \(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = 2 के समान्तर
हल:
चूँकि अभीष्ट समतल \(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = 2 के समान्तर है अतः अभीष्ट समतल का अभिलम्ब
\(\vec{n}\) = î + ĵ + k̂ ....(1)

अतः इसका समीकरण
\((\vec{r}-\vec{p}) \cdot \vec{n}\) = 0
⇒ \(\vec{r} \cdot \vec{n}=\vec{p} \cdot \vec{n}\)
⇒ \(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = (aî + bĵ + ck̂) . (î + ĵ + k̂)
⇒ \(\vec{r}\).(î + ĵ + k̂) = a + b + c