RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सम्बन्धों में कौनसे फलन हैं? कारण का उल्लेख कीजिए। यदि सम्बन्ध एक फलन है, तो उसका परिसर निर्धारित कीजिए
(i) {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), 17, 1)}
(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}.
हल:
(i) यह सम्बन्ध फलन है क्योंकि R के प्रान्त के प्रत्येक अवयव 2, 5, 8, 11, 14, 17 के प्रतिबिम्ब अद्वितीय हैं ।
R का प्रान्त = {2, 5, 8, 11, 14, 17}
R का परिसर = {1}

(ii) यह सम्बन्ध फलन है क्योंकि R के प्रान्त के प्रत्येक अवयव 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 के प्रतिबिम्ब अद्वितीय हैं ।
R का प्रान्त = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
R का परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(iii) यह सम्बन्ध फलन नहीं है क्योंकि ( 1. 3), (1, 5) में पहला घटक समान है

प्रश्न 2.
निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए-
(i) f(x) = -|x|
(ii) f(x) = \(\sqrt{9-x^2}\)
हल:
(i) दिया है- f(x) = - |x|, ∀ x ∈ R
∵ |x| एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। अतः |x| एक वास्तविक संख्या होगी यदि x ∈ R अर्थात् फलन का प्रान्त ( वास्तविक संख्याएँ)
पुन: |x| ≥ 0 तब |x| ≤ 0. ∀ x ∈ R
अतः फलन का परिसर = {-∞, 0}

(ii) प्रश्नानुसार f(x) = \(\sqrt{9-x^2}\)
f(x) परिभाषित नहीं है जब 9 - x² < 0
या x² > 9
⇒ x > 3 और x < - 3
∴ f परिभाषित है जब – 3 ≤ x ≤ 3 
∴ f का प्रान्त = - 3 ≤ x ≤ 3, x ∈ R 
अर्थात् फलन का प्रान्त = [- 3, 3] 
पुन: माना कि f (x) = y
⇒ y = \(\sqrt{9-x^2}\)
⇒ y² = 9 - x²
⇒ x² = 9 - y²
⇒ x = \(\sqrt{9-x^2}\)
⇒ 9 - 12 ≥ 0 
⇒ y² - 9 ≤ 0 ∵ x² ≥ 0
⇒ (y + 3) (y - 3 ) ≤ 0
⇒ - 3 ≤ y ≤ 3
परन्तु y ≥ 0
अत: 0 ≤ y ≤ 3
अर्थात् फलन का परिसर = [0, 3] 

प्रश्न 3.
एक फलन f(x) = 2x - 5 द्वारा परिभाषित है । निम्नलिखित के मान लिखिए-
(i) f(0)
(ii) f(7)
(iii) f(-3).
हल:
∵ फलन f(x) = 2x - 5 द्वारा परिभाषित है
(i) f(0) = 2.0 - 5 = - 5
(ii) f(7) = 2.7 - 5 = 14 - 5 = 9
(iii) f(−3) = 2(-3) - 5 = -6 - 5 = 11

प्रश्न 4.
फलन 't' सेल्सियस तापमान का फारेनहाइट तापमान में प्रतिचित्रण करता है, जो t(C) = \(\frac{9 C}{5}\) + 32 द्वारा परिभाषित है, निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए-
(i) t(0) 
(ii) t(28)
(iii) t(-10)
(iv) C का मान, जब t(C) = 212.
हल:
प्रश्नानुसार t(C) = \(\frac{9 C}{5}\) + 32

(i) t(0) = \(\frac{9.0}{5}\) +32 = 0 + 32 = 32

(ii) t(28) = \(\frac{9.28}{5}\) + 32 = \(\frac{252}{5}\) + 32
= \(\frac{412}{5}\) = 82.4

(iii) t(-10) = \(\frac{9 .(-10)}{5}\) + 32 = -\(\frac{90}{5}\) + 32
= -18 + 32 = 14

(iv) जब 1(C) = 212 अर्थात् 212 = \(\frac{9C}{5}\) + 32
⇒ 212 = \(\frac{9 \mathrm{C}+160}{5}\)
⇒ 1060 = 9C + 160
⇒ 9C = 900 या C = 100
∴ C का मान 100 होगा ।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक फलन का परिसर ज्ञात कीजिए-
(i) f(x) = 2 - 3x, x ∈ R, x > 0.
(ii) f(x) = x² + 2 x एक वास्तविक संख्या है।
(ii) f(x) = x, x एक वास्तविक संख्या है।
हल:
(i) माना कि y = 2 - 3x, x ∈ R, x > 0
y - 2 = 3x ⇒ 3x = 2 - y
या x = \(\frac{2-y}{3}\)
यदि x > 0 तो \(\frac{2-y}{3}\) > 0 या 2 – y > 0
⇒ 2 > y
अतः परिसर = (- ∞, 2)

(ii) माना कि y = x² + 2, x एक वास्तविक संख्या है।
अर्थात् x² = y - 2
x = \(\sqrt{y-2}\)
यदि x वास्तविक है तो y - 2 ≥ 0
⇒ y ≥ 2
अत: परिसर = [2, ∞)

(iii) f(x) = x, x एक वास्तविक संख्या है।
माना y = f(x) = x
या y = x
अब प्रत्येक x के लिए y एक वास्तविक संख्या होगी क्योंकि y = x
अत: फलन का परिसर = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय = R
जहाँ R = (-∞, ∞)
⇒ परिसर = (-∞, ∞)