RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Ex 1.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Ex 1.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.5

प्रश्न 1. 
मान लीजिए कि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} और = {3, 4, 5, 6} तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए
(i) A'
(ii) B'
(iii) (A ∪ C)' 
(iv) (A ∪ B)'
(v) (A')' 
(vi) (B - C)'
हल:
दिया है U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4},
B = {2, 4, 6, 8} तथा C = {3, 4, 5, 6}
(i) A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {1, 2, 3, 4}
= {5, 6, 7, 8, 9}

(ii) B' = U - B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {2, 4, 6, 8}
= {1, 3, 5, 7, 9}

(iii) A ∪ C = {1, 2, 3, 4} ∪ (3, 4, 5, 6}
⇒ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ (A ∪ C)' = U - (A ∪ C) ·
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {7, 8, 9}

(iv) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 4, 6, 8} 
= { 1, 2, 3, 4, 6, 8}
∴ (A ∪ B)'= U - (A ∪ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {1, 2, 3, 4, 6, 8}
= {5, 7, 9}

(v) A' = U - A
⇒ A'= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {1, 2, 3, 4}
⇒ A'= {5, 6, 7, 8, 9}
अब (A)'= U - A'

⇒ (A)'= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {5, 6, 7, 8, 9}
⇒(A)'= {1, 2, 3, 4}
⇒ (A)'= A

(vi) B - C = {2, 4, 6, 8} - {3, 4, 5, 6}
= {2, 8}

∴ (B - C)' = U - (B - C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {2, 8}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

 

प्रश्न 2.
यदि U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, तो निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए-
(i) A = {a, b, c} 
(ii) B = {d, e, f, g}
(iii) C = {a, c, e, g}
(iv) D = {f, g, h, a}
हल:
(i) A' = U - A
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c} 
= {d, e, f, g, h}

(ii) B' = U - B
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {d, e, f, g}
= {a, b, c, h}

(iii) C' = U - C
 = {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, c, e, g}
 = {b, d, f, h}

(iv) D' = U - D
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {f, g, h, a}
= {b, c, d, e}

प्रश्न 3.
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय मानते हुए, निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए-
(i) {x: x एक प्राकृत सम संख्या है }
(ii) {x: x एक प्राकृत विषम संख्या है }
(iii) {x: x संख्या 3 का एक धन गुणज है}
(iv) {x: x एक अभाज्य संख्या है}
(v) {x: x, 3 और 5 से विभाजित होने वाली एक संख्या है }
(vi) (x: x एक पूर्ण वर्ग संख्या है }
(vii) (x: x एक पूर्ण धन संख्या है }
(viii) {x: x + 5 = 8}
(ix) {x: 2x + 5 = 9}
(x) {x: x ≥ 7}
(xi) {x: x ∈ N और 2x + 1 > 10}
हल:
दिया है-
U = {x: x सभी प्राकृतिक संख्याएँ हैं}
अर्थात् U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..........}

(i) माना A = {x: x एक प्राकृत सम संख्या है}
A = {2, 4, 6, 8, 10, ...........}
A' = U - A
⇒ A'= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .....} - {2, 4, 6, 8, 10, ......}
⇒ A'= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, .........} 
⇒ A'= {x: x एक प्राकृत विषम संख्या है }

(ii) माना B = {x: x एक प्राकृत विषम संख्या है}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11,..............}
B' = U - B
⇒ B'= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......} - {1, 3, 5, 7, 9, ........}
⇒ B'= {2, 4, 6, 8, 10, .......}
B'= {x: x एक सम प्राकृतिक संख्या है} 

(iii) U = प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .....} {x : x संख्या 3 का एक धन गुणज है } 
= {3, 6, 9, 12, 15, ...........} {x: x संख्या 3 का धन गुणज है} का पूरक
N= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,...........}
N = {x : x ∈ N; और x, 3 का गुणज नहीं है }

(iv) A = {x: x एक अभाज्य संख्या है }
∴ A'= U - A
अत: A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ....}
अतः A' = {x:x एक धन भाज्य संख्या है अथवा x = 1}
अर्थात् उन प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय जो अभाज्य नहीं हैं या भाज्य हैं ।

(v) {x: x ∈ N और x एक धन पूर्णांक है जो 3 से भाज्य नहीं है या जो 5 से भाज्य नहीं है ।}

(vi) {x : x ∈ N और x एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है} 

(vii) {x : x ∈ N और x - एक पूर्ण घन संख्या नहीं है} 

(viii) {x : x ∈ N और x = 3}
∴ x + 5 = 8 को हल करने पर x = 3, अतः समुच्चय में 3 को छोड़कर सभी प्राकृत संख्याएँ होंगी।

(ix) {x : 2x + 5 = 9} यदि हम 2x + 5 = 9 को हल करें तो 
2x + 5 = 9
2x = 9 - 5 = 4
या x = 2
अतः समुच्चय में 2 को छोड़कर सभी प्राकृत संख्याएँ होंगी ।
⇒ {x: x ∈ N, x ≠ 2}

(x) {x : x ≥ 7 } इस समुच्चय में x = 7 या x > 7 तथा संख्याएँ अवयव हैं।
अतः इसका पूरक समुच्चय x 7 होगा तथा इसे इस प्रकार लिखा जाएगा-
{ x : x ∈ N, x < 7}

(xi) {x: x ∈ N और 2x + 11 > 10} यहाँ पर
2x + 1 > 10 से 2x > 9
या x > \(\frac{9}{2}\)

अतः इसका पूरक समुच्चय इस प्रकार लिखा जायेगा-
{x: x ∈ N और x > \(\frac{9}{2}\)

प्रश्न 4.
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} और B = {2, 3, 5, 7}, तो सत्यापित कीजिए कि
(i), (A ∪ B) = A′ ∩ B'
(ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'
हल:
(i) (A ∪ B) = A' ∩ B'
L.H.S. = A ∪ B
= {2, 4, 6, 8} ∪ {2, 3, 5, 7}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

∴ (A ∪ B)'= U - (A ∪ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
= {1, 9}

पुनः A'= U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {2, 4, 6, 8}
= {1, 3, 5, 7, 9}

तथा B'= U - B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {2, 3, 5, 7}
= {1, 4, 6, 8, 9}

∴ R.H.S. A' ∩ B'
= {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 6, 8, 9} 
= {1, 9}
∴ (A ∪ B)'= A' ∩ B' (इति सिद्धम् )

(ii) (A ∩ B)'= A' ∪ B'
L.H.S. = (A ∩ B)'
∴ A ∩ B = {2, 4, 6, 8} ∩ {2, 3, 5, 7} 
= {2}
(A ∩ B)'= U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {2} 
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
R.H.S. = A' ∪ B'

L.H.S. = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {1, 4, 6, 8, 9} [(i) के अनुसार]
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
L.H.S = R.H.S.
अंत: (A ∩ B) = A' ∪ B' ( इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए उपयुक्त वेन आरेख खींचिए
(i) (A ∪ B)'
(ii) A' ∩ B'
(iii) (A ∪ B)'
(iv) A' ∪ B'
हल:
(i) (A ∪ B)'
(A ∪ B)'= U - (A ∪ B)|
im-1
छायांकित भाग (A ∪ B) को प्रदर्शित करता है ।

(ii) A' ∩ B' = (U - A) ∩ (U - B)
अत: A' ∩ B' = U के ऐसे अवयवों का समुच्चय जो न A में हो, न B में हो ।
im-2
छायांकित भाग A' ∩ B' को प्रदर्शित करता है ।

(iii) (A ∩ B)'
∴ (A ∩ B)' = U - (A ∩ B)
अतः ऐसे अवयवों का समुच्चय जो A व B दोनों में न हो ।
im-3
छायांकित भाग (A ∩ B)' को प्रदर्शित करता है ।

(iv) A' ∪ B'
यहाँ पर A' = U - A और B = U - B अत: A' ∪ B' = (U - A) ∪ (U - B)
ऐसे अवयवों का समुच्चय जो A या B समुच्चय में न हो ।
im-4
छायांकित भाग A' ∪ B' को प्रदर्शित करता है ।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि किसी समतल में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय U है। यदि A उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनमें कम से कम एक कोण 60° से भिन्न है, तो A' क्या है?
हल:
प्रश्नानुसार U ={x: x समतल में एक त्रिभुज है} 
A = {x: x एक ऐसा त्रिभुज जिसका कम से कम एक कोण 60° का न हो}
∴ A' = { सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय }

प्रश्न 7.
निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों को भरिए
(i) A ∪ A' = ........
(ii) Φ ∩ A = .........
(iii) A ∩ A' = ........
(iv) U' ∩ A = ........
हल:
(i) A ∪ A' = U
(ii) Φ ∩ A = A
(iii) A ∩ A' = Φ
(iv) U' ∩ A = Φ