RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Ex 1.6

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Ex 1.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.6

प्रश्न 1.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि n (X) = 17, n (Y) 23 तथा n (X ∪ Y) = 38, तो n (X ∩ Y) ज्ञात कीजिए ।
हल:
हम जानते हैं कि n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 38 = 17 + 23 - n (X ∩ Y)
या n(X ∩ Y) = 40 - 38 = 2

प्रश्न 2.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X ∪ Y में 18, X में .8 और X में 15 अवयव हों, तो X ∩ Y में कितने अवयव होंगे?
हल:
यहाँ n(X) = 8, n(Y) = 15 तथा n (X ∪ Y) = 18
∴ सूत्र से n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y)
या 18 = 8 + 15 - n (X ∩Y)
⇒ n (X ∩ Y) = 23 - 18 = 5
अत: X ⇒ Y में 5 अवयव होंगे।

प्रश्न 3.
400 व्यक्तियों के समूह में, 250 हिन्दी तथा 200 अंग्रेजी बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं?
हल:
माना कि H हिन्दी बोलने वाले तथा E अंग्रेजी बोलने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है । अर्थात्
n(H) = 250, n(E) = 200 तथा n (H ∪ E) = 400
n(H ∪ E) = n(H) + n (E) - n(H ∩ E)
या 400 = 250 + 200 - n(H ∩ E)
या n(H ∩ E) = 450 - 400 = 50
अतः 50 व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं ।

प्रश्न 4.
यदि S और T दो ऐसे समुच्चय हैं कि S में 21, T में 32 और S ∩ T में 11 अवयव हों, तो S ∪ T में कितने अवयव होंगे?
हल:
प्रश्नानुसार n (S) = 21, n (T) = 32 तथा n (S ∩ T) = 11, n(S ∪ T) = ?
n(S ∪ T) = n(S) + n (T) - n (S ∩ T)
= 21 + 32 - 11
= 53 - 11 = 42
अत: S ∪ T में 42 अवयव होंगे ।

प्रश्न 5.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X में 40, X ∪ Y में 60 और X ∩ Y में 10 अवयव हों, तो Y में कितने अवयव होंगे?
हल:
यहाँ n(X) यहाँ n(X) = 40, n (X ∪ Y) = 40, n(X ∪ Y) = 60, n (X ∩ Y) = 10, n(Y) = ?
n(X ∪ Y) = n(X) + n (Y) - n (X ∩ Y)
या 60 = 40 + n (Y) - 10
या n (Y) = 60 - 40 + 10 = 30
अतः Y में 30 अवयव होंगे।

प्रश्न 6.
70 व्यक्तियों के समूह में, 37 कॉफी, 52 चाय पसन्द करते हैं और प्रत्येक व्यक्ति दोनों में से कम से कम एक पेय पसन्द करता है, तो कितने व्यक्ति कॉफी और चाय दोनों को पसन्द करते हैं?
हल:
माना कि C कॉफी पीने वाले लोगों का तथा T चाय पीने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है । अर्थात् यहाँ n(C ∪ T) = 70, n(C) = 37, n(T) = 52, n(C ∩ T) = ?
या n(C ∪ T) = n(C) + n(T) - n(C ∩ T)
70 = 37 + 52 – n(C ∩ T)
n(C ∩ T) = 89 - 70 = 19
अतः 19 व्यक्ति कॉफी व चाय दोनों पसन्द करते हैं ।

प्रश्न 7.
65 व्यक्तियों के समूह में, 40 व्यक्ति क्रिकेट और 10 व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस दोनों को पसन्द करते हैं, तो कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पसन्द करते हैं किन्तु क्रिकेट को नहीं? कितने व्यक्ति टेनिस को पसन्द करते हैं?
हल:
माना कि C क्रिकेट पसन्द करने वाले व्यक्तियों का तथा T टेबिल टेनिस पसन्द करने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है अर्थात् यहाँ
n(C ∪ T) = 65, n(C) = 40, n(C ∩ T) = 10
या n(C ∪ T) = n(C) + n (T) – n(C ∩ T)
या 65 = 40 + n(T) - 10a
या n(T) = 65 - 30 = 35
35 व्यक्ति टेनिस पसन्द करते हैं ।
उन व्यक्तियों की संख्या जो केवल टेनिस पसन्द करते हैं किन्तु क्रिकेट नहीं
= n(T) – n(C ∩ T)
= 35 - 10
= 25
अतः टेनिस पसन्द करने वाले व्यक्ति 35 हैं तथा केवल टेनिस पसन्द करने वाले व्यक्ति 25 हैं।

प्रश्न 8.
एक कमेटी में, 50 व्यक्ति फ्रेंच, 20 व्यक्ति स्पेनिश और 10 व्यक्ति स्पेनिश और फ्रेंच दोनों ही भाषाओं को बोल सकते हैं । कितने व्यक्ति इन दोनों ही भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं?
हल:
माना कि फ्रेंच बोलने वालों का समुच्चय F तथा स्पेनिश बोलने वालों का समुच्चय S है । अर्थात् यहाँ n (F) = 50, n(S) = 20,
n(F ∩ S) = 10, n (F ∪ S) = ?
n(F ∪ S) = n(F) + n (S) – n(FS)
= 50 + 20
= 60
अतः 60 व्यक्ति जो कि दोनों भाषाओं में कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं ।