RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4

प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल-
सर्वसमिका का प्रयोग करने पर,
cosec² A - cot² A = 1
⇒ cosec² A = 1 + cot² A
⇒ (cosec A)² = cot² A + 1
⇒ \(\left(\frac{1}{\sin A}\right)^{2}\) = cot² A + 1
⇒ (sin A)² = \(\frac{1}{\cot ^{2} \mathrm{~A}+1}\)
⇒ sin A = \(\pm \frac{1}{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}\)
न्यून कोण A के लिए sin A के ऋणात्मक मानों को छोड़ने पर
अतः, sin A = \(\frac{1}{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}\)
सर्वसमिका का प्रयोग करने पर,
sec² A - tan² A = 1
⇒ sec² A = 1 + tan² A
⇒ sec² A = 1 + \(\frac{1}{\cot ^{2} \mathrm{~A}}\)
⇒ sec² A = \(\frac{\cot ^{2} \mathrm{~A}+1}{\cot ^{2} \mathrm{~A}}\)
⇒ sec A = \(\frac{\sqrt{\cot ^{2} \mathrm{~A}+1}}{\cot \mathrm{A}}\)
tan A = \(\frac{1}{\cot A}\)

प्रश्न 2.
∠A के सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल-
sin² A + cos² A = 1
⇒ sin² A = 1 - cos² A
⇒ sin² A = 1 - \(\frac{1}{\sec ^{2} A}\)
⇒ sin² A = \(\frac{\sec ^{2} A-1}{\sec ^{2} A}\)
⇒ (sin A)² = \(\frac{\sec ^{2} A-1}{\sec ^{2} A}\)
⇒ sin A = \(\pm \frac{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}{\sec A}\) [न्यून कोण A के लिए -ve चिह्न को छोड़ने पर]
⇒ sin A = \(\frac{\sqrt{\sec ^{2} \mathrm{~A}-1}}{\sec \mathrm{A}}\)
cos A = \(\frac{1}{\sec A}\)
1 + tan² A = sec² A
tan² A = sec² A - 1
(tan A)² = sec² A - 1
∴ tan A = \(\pm \sqrt{\sec ^{2} A-1}\) [न्यून कोण A के लिए -ve चिह्न को छोड़ने पर]
अर्थात tan A = \(\sqrt{\sec ^{2} A-1}\)

प्रश्न 3.
मान निकालिए-
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
हल-

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल-
sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
= sin 25° × cos (90° - 25°) + cos 25° × sin (90° - 25°) [∵ cos(90° - θ) = sin θ, sin(90° - θ) = cos θ]
= sin 25° × sin 25° + cos 25° × cos 25°
= sin² 25° + cos² 25°
= 1

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए :
(i) 9 sec² A - 9 tan² A बराबर है :
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0
हल-
9 sec² A - 9 tan² A
= 9(sec² A - tan² A)
= 9 × 1
= 9
∴ सही विकल्प = (B)

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ - cosec θ) बराबर है :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
हल-
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ - cosec θ)

(iii) (sec A + tan A) (1 - sin A) बराबर है :
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
हल-

(iv) \(\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}\) बराबर है :
(A) sec² A
(B) -1
(C) cot² A
(D) tan² A
हल-

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण हैं :
(i) (cosec θ - cot θ)² = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
हल-

(ii) \(\frac{\cos \mathrm{A}}{1+\sin \mathrm{A}}+\frac{1+\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}\) = 2 sec A
हल-

(iii) \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\) = 1 + sec θ cosec θ
[संकेत: व्यंजक को sin θ और cos θ के पदों में लिखिए]
हल-

(iv) \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
[संकेतः वाम पक्ष और दाँया पक्ष को अलग-अलग सरल कीजिए]
हल-

(v) सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot² A को लागू करके \(\frac{\cos \mathrm{A}-\sin \mathrm{A}+1}{\cos \mathrm{A}+\sin \mathrm{A}-1}\) = cosec A + cot A
हल-

(vi) \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A
हल-

(vii) \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\) = tan θ
हल-

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
हल-

(ix) (cosec A - sin A)(sec A - cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
[संकेत : वाम पक्ष और दाँया पक्ष को अलग-अलग सरल कीजिए]
हल-

(x) \(\left(\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}\right)=\left(\frac{1-\tan \mathrm{A}}{1-\cot \mathrm{A}}\right)^{2}=\tan ^{2} \mathrm{~A}\)
हल-