RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1

8.1 Class 10 Maths Solutions Hindi प्रश्न 1.
∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
हल-
(i) ज्ञात करना है- sin A, cos A

यहाँ AB = 24 cm, BC = 7 cm
पाइथागोरस प्रमेय से
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = (24)² + (7)²
⇒ AC² = 576 + 49
⇒ AC² = 625
⇒ AC = \(\sqrt{625}\)
⇒ AC = 25 cm
sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} = \frac{7}{25}\)
तथा cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{24}{25}\)

8.1 Class 10 In Hindi प्रश्न 2.
आकृति में, tan P - cot R का मान ज्ञात कीजिए।

हल-
कर्ण PR = 13 cm
पाइथागोरस प्रमेय से
PR² = PO² + OR²
या (13)² = (12)² + QR²
या 169 = 144 + (QR)²
या 169 - 144 = (QR)²
या 25 = (QR)²
या QR = ±√25
या QR = 5, -5
परन्तु QR = 5 cm [∵ QR ≠ -5 क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]

तब tan P - cot R = \(\frac{5}{12}-\frac{5}{12}\) = 0

Class 10 Math 8.1 In Hindi प्रश्न 3.
यदि sin A = \(\frac{3}{4}\), तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।
हल-
माना कि ABC कोई समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण B पर समकोण है।
sin A = \(\frac{3}{4}\)
परन्तु sin A = \(\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{4}\)
माना BC = 3K
AC = 4K

पाइथागोरस प्रमेय से
AC² = AB² + BC²
या (4K)² = (AB)² + (3K)²
या 16K² = AB² + 9K²
या 16K² - 9K² = AB²
या 7K² = AB²
या AB = ±√7K²
या AB = ±√7K [∵ AB ≠ -7K क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
या AB = √7K

Class 10th Math Exercise 8.1 Hindi Medium प्रश्न 4.
यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि ABC कोई समकोण त्रिभुज है जिसमें A न्यून कोण है और B पर समकोण है।

15 cot A = 8
cot A = \(\frac{8}{15}\)
परन्तु cot A = \(\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\frac{A B}{B C}=\frac{8}{15}\) = k (माना)
∴ AB = 8K, BC = 15K
पाइथागोरस प्रमेय से
(AC)² = (AB)² + (BC)²
या (AC)² = (8K)² + (15K)²
या (AC)² = 64K² + 225K²
या (AC)² = 289K²
या AC = ±√1289K²
या AC = ±17K
या AC = 17K [AC = -17K, क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
sin A = \(\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{15 \mathrm{~K}}{17 \mathrm{~K}} = \frac{15}{17}\)
और sec A = \(\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} = \frac{17 K}{8 K}=\frac{17}{8}\)

Class 10 Maths 8.1 Hindi Medium प्रश्न 5.
यदि sec θ = \(\frac{13}{12}\), हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल-
माना कि ABC कोई समकोण त्रिभुज है जिसमें B पर समकोण है।

पुनः माना कि ∠BAC = θ
प्रश्नानुसार
sec θ = \(\frac{13}{12}=\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\)
∴ sec θ = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\)
\(\frac{A C}{A B}=\frac{13}{12}\)
माना AC = 13k और AB = 12k
पाइथागोरस प्रमेय से
(AC)² = (AB)² + (BC)²
या (13k)² = (12k)² + (BC)²
या 169k² = 144k² + (BC)²
या 169k² - 144k² = (BC)²
या (BC)² = 25k²
या BC = ±√25k²
या BC = ±5k
या BC = 5k [BC ≠ -5k क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]

Class 10 Maths Chapter 8 Exercise 8.1 Hindi Medium प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हों, जहाँ cos A = cos B, हो, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.
हल-
माना कि ABC कोई त्रिभुज है जहाँ ∠A और ∠B न्यून कोण हैं। cos A और cos B ज्ञात करने हैं।
अब CM ⊥ AB खींचिए।

∴ ∠AMC = ∠BMC = 90°
समकोण ∆AMC में
\(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AC}}\) = cos A ......(i)
पुनः समकोण ∆BMC में,
\(\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BC}}\) = cos B .......(ii)
परन्तु cos A = cos B (दिया है) .......(iii)
(i), (ii) और (iii) से,
\(\frac{A M}{A C}=\frac{B M}{B C}\)
\(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{CM}}\)
∴ ∆AMC ~ ∆BMC [SSS समरूपता कसौटी से]
⇒ ∠A = ∠B [∵ समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।]

Class 10th Math 8.1 Solution In Hindi प्रश्न 7.
यदि cot θ = \(\frac{7}{8}\), तो
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot²θ का मान निकालिए।
हल-
(i) ∠ABC = θ
समकोण त्रिभुज ACB में C पर समकोण है।

प्रश्नानुसार
cot θ = \(\frac{7}{8}\)
परन्तु cot θ = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{B C}{A C}=\frac{7}{8}\)
माना BC = 7k, AC = 8k
पाइथागोरस प्रमेय से
(AB)² = (BC)² + (AC)²
या (AB)² = (7k)² + (8k)²
या (AB)² = 49k² + 64k²
या (AB)² = 113k²
या AB = ±√113k²
या AB = √113k [∵ AB = -√113k क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]

अतः cot²θ का मान = \(\frac{49}{64}\)

Class 10 Maths 8.1 Hindi Medium Question 8 प्रश्न 8.
यदि 3 cot A = 4 तो जाँच कीजिए कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}\) = cos²A - sin²A है या नहीं।
हल-
माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें B पर समकोण है।
प्रश्नानुसार 3 cot A = 4
∵ cot A = \(\frac{4}{3}\)
परन्तु cot A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{3}\)

माना AB = 4k, BC = 3k
पाइथागोरस प्रमेय से
(AC)² = (AB)² + (BC)²
या (AC)² = (4k)² + (3k)²
या (AC)² = 16k² + 9k²
या (AC)² = 25k²
या AC = ±√25k
या AC = ±5k
परन्तु AC = 5k [AC ≠ -5k, क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]

(i) और (ii) से,
L.H.S. = R.H.S.
∴ \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A} \)= cos²A - sin²A

प्रश्न 9.
त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C - sin A sin C
हल-
(i) प्रश्नानुसार ∆ABC जिसका कोण B समकोण है।

tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) .....(i)
परन्तु tan A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\) .......(ii)
(i) और (ii) से,
\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
माना BC = k, AB = √3k
पाइथागोरस प्रमेय से,
(AC)² = (AB)² + (BC)²
या (AC)² = (√3k)² + (k)²
या AC² = 3k² + k²
या AC² = 4k²
या AC = ±√4k²
या AC = ±2k
जहाँ AC = 2k [AC ≠ -2k क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]

Class 10 Maths Chapter 8 Exercise 8.1 In Hindi प्रश्न 10.
∆PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार ∆PQR, में Q पर समकोण है।
PR + QR = 25 cm
PQ = 5 cm
समकोण त्रिभुज PQR में,

पाइथागोरस प्रमेय से
(PR)² = (PQ)² + (RQ)²
या (PR)² = (5)² + (RQ)²
[∵ PR + QR = 25 ⇒ QR = 25 - PR]
या (PR)² = 25 + (25 - PR)²
या (PR)² = 25 + (25)² + (PR)² - 2 × 25 × PR
या (PR)² = 25 + 625 + (PR)² - 50PR
या (PR)² - (PR)² + 50PR = 650
या 50PR = 650
या PR = 13
QR = 25 - PR
या QR = 25 - 13
या QR = 12 cm
sin P = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PR}}=\frac{12}{13}\)
cos P = \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{5}{13}\)
tan P = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PQ}}=\frac{12}{5}\)

Class 10 Maths Chapter 8.1 In Hindi प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \(\frac{12}{5}\)
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = \(\frac{4}{3}\)
हल-
(i) असत्य है।
चूंकि समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई के मान कुछ भी हो सकते हैं। इसलिये tan A का मान कुछ भी हो सकता है।

(ii) sec A = \(\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }}=\frac{12}{5}\) = 2.40 > 1
∵ कर्ण और आधार का अनुपात 12 : 5 होता है।
ऐसा सदैव होना आवश्यक नहीं है, पर किसी मान के लिए सत्य है।
अतः कथन सत्य है।

(iii) ∵ cos A कोण A की cosine A का संक्षिप्त रूप होता है।
जबकि cosecant A का अर्थ है cosec A अतः दिया हुआ कथन असत्य है।

(iv) असत्य।
क्योंकि cot A, कोण A का cotangent से है न कि cot और A का गुणनफल।

(v) असत्य sin θ = \(\frac{4}{3}\) = 1.666 > 1
क्योंकि sin θ सदैव 1 और 1 से कम होता है।