RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मान निकालिए :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
हल-

(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
हल-

(iii) cos 48° - sin 42°
हल-
cos 48° - sin 42°
= cos (90° - 42°) - sin 42° [∵ cos (90° - θ) = sin θ]
= sin 42° - sin 42°
= 0

(iv) cosec 31° - sec 59°
हल-
cosec 31° - sec 59°
= cosec 31° - sec(90° - 31°)
= cosec 31° - cosec 31° [∵ sec (90° - θ) = cosec θ]
= 0

प्रश्न 2.
दिखाइए कि
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
हल-
L.H.S. = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° × tan(90° - 48°) × tan(90° - 23°)
= tan 48° × tan 23° × cot 48° × cot 23° [∵ tan (90° - θ) = cot θ]
= tan 48° × tan 23° × \(\frac{1}{\tan 48^{\circ}} \times \frac{1}{\tan 23^{\circ}}\)
= 1 [∵ cot θ = \(\frac{1}{\tan \theta}\)]
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ii) cos 38° cos 52° - sin 38° sin 52° = 0
हल-
L.H.S. = cos 38° cos 52° - sin 38° sin 52°
= cos 38° × cos(90° - 38°) - sin 38° × sin(90° - 38°)
= cos 38° × sin 38° - sin 38° × cos 38° [∵ cos (90° - θ) = sin θ,  sin (90° - θ) = cos θ]
= 0
∴ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot (A - 18°), जहाँ 2A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार tan 2A = cot (A - 18°)
A ज्ञात करने के लिए हमें दोनों ओर या तो cot θ चाहिए या tan θ चाहिए। [∵ cot (90° - θ) = tan θ]
⇒ cot(90° - 2A) = cot(A - 18°)
⇒ 90° - 2A = A - 18°
⇒ 3A = 108°
⇒ A = 36°

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
हल-
प्रश्नानुसार tan A = cot B
A + B = 90° दिखाने के लिए
दोनों ओर या तो tan θ चाहिए या cot θ [∵ tan (90° - θ) = cot θ]
⇒ tan A = tan (90° - B)
⇒ A = 90° - B
⇒ A + B = 90°

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec (A - 20°), जहाँ 4A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार sec 4A = cosec (A - 20°)
A, ज्ञात करने के लिए हमें दोनों ओर sec θ या cosec θ चाहिए। [∵ cosec (90° - θ) = sec θ]
⇒ cosec (90° - 4A) = cosec (A - 20°)
⇒ 90° - 4A = A - 20°
⇒ 5A = 110°
⇒ A = 22°

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC, के अन्तःकोण हों, तो दिखाइए कि \(\sin \left(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\right)=\cos \frac{\mathrm{A}}{2}\)
हल-
∵ A, B और C त्रिभुज के अन्तःकोण हैं 
∴ A + B + C = 180° [त्रिभुज के तीनों कोणों का जोड़ 180° होता है]
या B + C = 180° - A
या \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}=\frac{180^{\circ}-\mathrm{A}}{2}\)
या \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}=\left(90^{\circ}-\frac{\mathrm{A}}{2}\right)\)
दोनों ओर sin लेने पर,
\(\sin \left(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\right)=\sin \left(90^{\circ}-\frac{\mathrm{A}}{2}\right)\)
= \(\cos \frac{\mathrm{A}}{2}\) [∵ sin (90° - θ) = cos θ]
इतिसिद्धम्

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल-
sin 67° + cos 75°
= sin (90° - 23°) + cos (90° - 15°)
= cos 23° + sin 15° [∵ sin(90° - θ) = cos θ और cos(90° - θ) = sin θ]