RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
हल-
प्रश्नानुसार
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° - sin² 60°
हल-
2 tan² 45° + cos² 30° - sin² 60°
= 2 (tan 45°)² + (cos 30°)² - (sin 60°)²
= 2(1)² + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
= 2 + \(\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\)
= 2

(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}\)
हल-

(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)
हल-

(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
हल-

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=\)
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल-

सही विकल्प = (A)

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\)
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0
हल-
\(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}=0\)
सही विकल्प = (D)

(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°
हल-
प्रश्नानुसार sin 2A = 2 sin A
जब A = 0° हो तो
sin 2(0) = 2 sin 0
sin 0 = 0
0 = 0; जो सत्य है।
सही विकल्प = (A)

(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}\) बराबर है :
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल-

सही विकल्प = (C)

प्रश्न 3.
यदि tan(A + B) = √3 और tan (A - B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B ≤ 90°, A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
tan (A + B) = √3
tan (A + B) = tan 60°
या A + B = 60° ......(i)
tan (A - B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
या tan (A - B) = tan 30°
A - B = 30° ........(ii)
समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर
A = 45°
समीकरण (i) में मान रखने पर
45° + B = 60°
B = 60° - 45°
B = 15°

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) sin (A + B) = sin A + sin B
हल-
जब A = 60°, B = 30°
L.H.S. = sin (A + B)
= sin (60° + 30°)
= sin 90°
= 1
R.H.S. = sin A + sin B
= sin 60° + sin 30°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\)
≠ 1
अर्थात् L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ यह असत्य है।

(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
हल-
sin 30° = \(\frac{1}{2}\) = 0.5 
क्योंकि sin 0° = 0
sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.7 (लगभग)
sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0.87 (लगभग)
और sin 90° = 1
अर्थात्, जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो sin θ का मान भी बढ़ता है।
परन्तु यह θ = 90° तक ही सही है, आगे नहीं।
∴ यह सत्य है।

(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
हल-
क्योंकि cos 0° = 1
cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0.87 (लंगभग)
cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.7 (लगभग)
cos 60° = \(\frac{1}{2}\) = 0.5
और cos 90° = 0
जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो cos θ का मान घटता है।
अतः यह असत्य है।

(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
हल-
चूँकि sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
और cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
या sin 30° ≠ cos 30°
θ = 45° पर
sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
और cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
सिर्फ θ = 45° पर मान बराबर है।
लेकिन θ के सभी मानों के लिये sin θ ≠ cos θ
∴ दिया गया कथन असत्य है।

(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है
हल-
cot 0° = \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\), या परिभाषित नहीं।
यह सत्य है।