RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

प्रश्न 1.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल-
माना कि P(x, y) अभीष्ट बिन्दु है जो दिए गए बिन्दुओं A(-1, 7) और B(4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः अभीष्ट बिन्दु = P(1, 3)

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं A(4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करते हैं अर्थात् P(x₁, y₁) AB को 1 : 2 के अनुपात में और Q(x₂, y₂) AB को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करते हैं।

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झण्डा कहाँगाड़ना चाहिए?

हल-
दी गई आकृति में हम A को मूल बिन्दु मान लेते हैं।
AB को x-अक्ष और AD को y-अक्ष लेने पर - हरे झण्डे की स्थिति = निहारिका द्वारा तय की गई दूरी
= निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है
= \(\frac{1}{4}\) × 100 
= 25 m
∴ हरे झण्डे के निर्देशांक = (2, 25)
अब, लाल झण्डे की स्थिति = प्रीत द्वारा तय की गई दूरी
= प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर दूरी दौड़ती है
= \(\frac{1}{5}\) × 100
= 20 m
∴ लाल झण्डे के निर्देशांक = (8, 20)
∴ हरे और लाल झण्डे के बीच की दूरी = \(\sqrt{(8-2)^{2}+(20-25)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+25}\)
= √61 m
नीले झण्डे की स्थिति = हरे झण्डे और लाल झण्डे को मिलाने वाले रेखाखण्ड का आधा
= \(\left(\frac{2+8}{2}, \frac{25+20}{2}\right)\)
= (5, 22.5)
अतः नीला झण्डा 5वीं पंक्ति में है और AD की ओर 22.5 मीटर की दूरी पर है।

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल-
माना कि बिन्दु P(-1, 6) बिन्दुओं A(-3, 10) और B(6, -8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

-1 = \(\frac{\mathrm{K} \times 6+1 \times(-3)}{\mathrm{K}+1}\)
या -K - 1 = 6K - 3
या -K - 6K = -3 + 1
या -7K = -2
या K = \(\frac{2}{7}\)
∴ K : 1 = \(\frac{2}{7}\) : 1 = 2 : 7
अतः अभीष्ट अनुपात = 2 : 7

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि x-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु P(x, 0) है जो A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः अभीष्ट बिन्दुः = \(\left(-\frac{3}{2}, 0\right)\)

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (1, 2); (4, y); (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि समान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(1, 2); B(4, y); C(x, 6) और D(3, 5) हैं।
परन्तु समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
प्रथम स्थिति- जब E, A(1, 2) और C(x, 6) का मध्य बिन्दु हो।
∴ E के निर्देशांक = \(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{6+2}{2}\right)\)
E = \(\left(\frac{x+1}{2}, 4\right)\) ........(i)

द्वितीय स्थिति- जब E, B(4, y) और D(3, 5) का मध्य बिन्दु है।
∴ E के निर्देशांक = \(\left(\frac{3+4}{2}, \frac{5+y}{2}\right)\)
E = \(\left(\frac{7}{2}, \frac{5+y}{2}\right)\) ......(ii)
परन्तु (i) और (ii) में E के मान समान हैं, इसलिए निर्देशांकों की तुलना करने पर,
\(\frac{x+1}{2}=\frac{7}{2}\) और 4 = \(\frac{5+y}{2}\)
या x + 1 = 7 या 8 = 5 + y
या x = 6 या y = 3
अतः, x और y के मान 6 और 3 हैं।

प्रश्न 7.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
हल-
माना कि A के निर्देशांक (x, y) हैं।
परन्तु, व्यास के शीर्षों का मध्यबिन्दु केन्द्र होता है।
∴ O, A(x, y) और B(1, 4) का मध्य बिन्दु है।

∴ \(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) = (2, -3)
तुलना करने पर,
\(\frac{x+1}{2}\) = 2 और \(\frac{y+4}{2}\) = -3
या x + 1 = 4 या y + 4 = -6
या x = 3 या y = -10
अतः अभीष्ट बिन्दु A = (3, -10)

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac{3}{7}\) AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो।
हल-
माना कि अभीष्ट बिन्दु P(x, y) है।
तथा प्रश्नानुसार AP = \(\frac{3}{7}\) AB
परन्तु, PB = AB - AP
= AB - \(\frac{3}{7}\) AB
= \(\frac{4}{7}\) AB
∴ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\frac{3}{7} \mathrm{AB}}{\frac{4}{7} \mathrm{AB}}=\frac{3}{4}\)
∴ P(x, y) दिए गए बिन्दुओं A और B को 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है:
अन्त:विभाजन सूत्र

अत: P के निर्देशांक हैं : \(\left(-\frac{2}{7},-\frac{20}{7}\right)\)

प्रश्न 9.
बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि C, D और E अभीष्ट बिन्दु हैं जो 'बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

तब D, A और B का मध्य बिन्दु है; C, A और D का मध्य बिन्दु है;
E, D और B का मध्य बिन्दु है, ताकि AC = CD = DE = EB
अब, A और B का मध्य बिन्दु (अर्थात् D के निर्देशांक)
= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)
= (0, 5)
A और D का मध्य बिन्दु (अर्थात् C के निर्देशांक)
= \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)\)
= \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)
D और B का मध्य बिन्दु (अर्थात् E के निर्देशांक)
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{8+5}{2}\right)\)
= \(\left(1, \frac{13}{2}\right)\)
अतः अभीष्ट बिन्दु हैं,
अतः AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक (0, 5), \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\) और \(\left(1, \frac{13}{2}\right)\) हैं।

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।
[संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) (उसके विकर्णों का गुणनफल)]
हल-
माना कि समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिन्दु A(3, 0); B(4, 5); C(-1, 4) और D(-2, -1) हैं।

अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग मात्रक है।