RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
A.P. : 121, 117, 113, .... का कौनसा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा? [संकेत : a_n < 0 के लिए n ज्ञात कीजिये।]
हल-
प्रश्नानुसार A.P. : 121, 117, 113, .....
यहाँ a = a₁ = 121, a₂ = 117, a₃ = 113, .....
d = a₂ - a₁
= 117 - 121
= -4
∵ a_n = a + (n - 1)d
= 121 + (n - 1) (-4)
= 121 - 4n + 4
= 125 - 4n
a_n < 0
या 125 - 4n < 0
या 4n > 125
या 125 > 4n
या n > \(\frac{125}{4}\)
या n > 31\(\frac{1}{4}\)
या n > 31.25
या n < 32
क्योंकि n एक पूर्णांक है।
परन्तु पहले ऋणात्मक पद के लिए n एक पूर्णांक होगा।
∴ n = 32
अतः, दी गई A.P. का 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 16 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल-
मान लीजिए 'a' और 'd' दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर है।
पहली शर्त के अनुसार,
a₃ + a₇ = 6
[a + (3 - 1)d] + [a + (7 - 1)d] = 6 [∵ a_n = a + (n - 1)d]
या a + 2d + a + 6d = 6
या 2a + 8d = 6
या a + 4d = 3 ......(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
a₃(a₇) = 8
या [a + (3 - 1)d] [a + (7 - 1)d] = 8 [∵ a_n = a + (n - 1)d]
या (a + 2d) (a + 6d) = 8
या [3 - 4d + 2d] [3 - 4d + 6d] = 8 [∵ (1) से a = 3 - 4d]
या (3 - 2d) (3 + 2d) = 8
या 9 - 4d² = 8
या 4d² = 9 - 8 = 1
या d² = \(\frac{1}{4}\)
या d = ±\(\frac{1}{2}\)
स्थिति I. जब d = \(\frac{1}{2}\)
d = \(\frac{1}{2}\) का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a + 4\((\frac{1}{2})\) = 3
या a + 2 = 3
या a = 3 - 2 = 1

स्थिति II. जब d = \(\frac{-1}{2}\)
d = \(\frac{-1}{2}\) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 4\((\frac{-1}{2})\) = 3
या a - 2 = 3
या a = 3 + 2 = 5

अतः 16 पदों का योगफल = 20

प्रश्न 3.
एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं (देखिए आकृति)। डंडों की लम्बाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लम्बाई 25 cm है। यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी 2\(\frac{1}{2}\) m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी? [संकेत : डंडों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) + 1 है।]

हल-
प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की दूरी = 2\(\frac{1}{2}\) m = \(\frac{5}{2}\) m
= (\(\frac{5}{2}\) × 100) सेमी.
= 250 सेमी.
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 सेमी.
∴ सीढ़ी में डण्डों की संख्या

∵ प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 सेमी.
और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 सेमी.
∴ 11 डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{11}{2}\) (25 + 45)
= \(\frac{11}{2}\) × 70
= 11 × 35
= 385 सेमी.
= 3.85 मीटर
अतः सीढी के डण्डों में प्रयुक्त लकडी की लम्बाई = 385 सेमी. = 3.85 मीटर

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए। [संकेत : S_x-1 = S₄₉ - S_x है।]
हल-
मान लीजिए 'x' किसी मकान की संख्या को व्यक्त करता है।
यहाँ a = a₁ = 1; d = 1
प्रश्न के अनुसार,

अतः x का मान 35 है।

प्रश्न 5.
एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी हैं। प्रत्येक सीढ़ी में \(\frac{1}{4}\) m की चढ़ाई है और \(\frac{1}{2}\) m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}\) है।]

हल-
पहली सीढ़ी बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन

अतः, चबूतरे को बनाने में लगी कुल कंक्रीट का कुल आयतन 750 m³ है।